高二数学排列2
_6.2.2排列数 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
方案中有 种不同方法，那么完成这件事共有 = 1 + 2 + 3 + ⋯
+ 种不同方法。
2.分步乘法计数原理:如果完成一件事情有k个步骤，做第1步有1 种不
同方法，做第2步有2 种不同方法，……， 做第k步有 种不同方法
=
!
(−)!
=
!
0!
. 0! = 1
问题5 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位
十位
个位
9种
8种
9种
分析: 在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在
任意数位上，所以0是一个特殊的元素，百位是一个特殊位置。
解法1: 如果优先考虑百位上的数字，可以分三步完成：
，那么完成这件事共有 = 1 2 3 ⋯ 种不同方法。
3.排列：从个不同的元素中取出( ≥ )个元素，并按一定的顺序
排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列
（arrangement）。
环节一、创设情境，铺垫方法
问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、
共有( − 1)( − 2) ⋯ ( − + 1)种排法。
小结: 从个不同的元素中取出( ≥ )个元素按一定的顺序
排成一列，所有不同排列的方法总数为( − 1)( − 2) ⋯ ( −
+ 1)，排列的方法总数也称为排列数，可以用排列的英文单
词arrangement的首字母A和、组合并标记为A
右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
左 右
解：完成这件事情可以分为两个步骤：
高中排列组合知识点 高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结
《高中排列组合知识点高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结》摘要：()()()(+)!()!(规定0!)，()()!!(()!!);()();，()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)排列组合是高二数学选修3教学重要容了助高二学生掌握排列组合容下面编给带高二数学选修3排列组合易错知识希望对你有助高二数学排列组合错知识排列组合问题依据是分类相加分步相乘有序排列无序组合排列组合问题规律是相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排排法;至多至少问题接法二项式系数与展开式某项系数易混r+项二项式系数二项式系数项与展开式系数项易混二项式系数项项或两项;展开式系数项法要用不等式组确定r3你掌握了三种常见概率公式吗?(①等可能事件概率公式;②斥事件有发生概率公式;③相独立事件发生概率公式)分布列答题你能把步骤写全吗?5如何对总体分布进行估计?(用样估计总体是研究统计问题基思想方法般地样容量越这种估计就越精确要能画出频率分布表和频率分布直方图;理频率分布直方图矩形面积几何义)6你还记得般正态总体如何化标准正态总体吗?(对任正态总体说取值x概率其表示标准正态总体取值概率)高二数学选修3知识排列及计算公式从不元素任取()元素按照定顺序排成列叫做从不元素取出元素排列;从不元素取出()元素所有排列数叫做从不元素取出元素排列数用()表示()()()(+)!()!(规定0!)组合及计算公式从不元素任取()元素并成组叫做从不元素取出元素组合;从不元素取出()元素所有组合数叫做从不元素取出元素组合数用()表示()()!!(()!!);()();3其他排列与组合公式从元素取出r元素循环排列数(r)r!r(r)!元素被分成k类每类数分别是k这元素全排列数!(!!k!)k类元素每类数无限从取出元素组合数(+k)排列((下标上标))()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)组合((下标上标));!!()!;(两分别上标和下标);(下标上标);公式是指排列从元素取R进行排列公式是指组合从元素取R不进行排列元素总数R参与选择元素数!阶乘如9!987653从倒数r表达式应该()()(r+);因从到(r+)数(r+)r高二数学学习方法()记数学笔记特别是对概念理不侧面和数学规律教师课堂拓展课外知识记录下你觉得有价值思想方法或例题以及你还存问题以便今将其补上()建立数学纠错把平容易出现错误知识或推理记下以防再犯争取做到错、析错、改错、防错达到能从反面入手深入理正确东西;能由朔因把错误原因弄水落石出、以便对症下药;答问题完整、推理严密(3)熟记些数学规律和数学结论使己平运算技能达到了动化或半动化熟练程()常对知识结构进行梳理形成板块结构实行整体集装如表格化使知识结构目了然;常对习题进行类化由例到类由类到多类由多类到统;使几类问题归纳知识方法(5)数学课外籍与报刊参加数学学科课外活动与讲座多做数学课外题加学力拓展己知识面(6)及复习强化对基概念知识体系理与记忆进行适当反复巩固消灭前学忘(7)学会从多角、多层次地进行总结归类如①从数学思想分类②从题方法归类③从知识应用上分类等使所学知识系统化、条理化、专题化、络化(8)常做题进行定反思思考下题所用基础知识数学思想方法是什么什么要这样想是否还有别想法和法题分析方法与法其它问题是否也用到(9)无论是作业还是测验都应把准确性放位通法放位而不是味地追速或技巧这是学数学重要问题猜你感兴趣高二数学排列与组合知识总结高二数学选修知识总结3高二上学期数学复习知识归纳高二数学排列组合题技巧5高二上数学知识总结607高二数学排列组合公式知识总结。
数学高二-选修2-3知识导航 第一章2排列
§2 排列自主整理1.一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照______________排成一列，叫作从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.我们把有关求_____________问题叫作排列问题.2.我们把_____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作_____________.3.排列数A mn 式的展开式为：A mn=_____________，规定A0n=_____________.当n=m时，A nn=_____________.4.n的阶乘的展开式为：n!= _____________，规定0!=_____________，利用阶乘表示排列数A mn 的展开式为：A mn=_____________.高手笔记排列数公式A mn=n（n-1）…（n-m+1）的特点是：从自然数n开始，后一个因数比前一个因数小1，最后一个因数是n-m+1，共m个因数相乘.当m=n时，排列数公式为A nn=n！. 名师解惑1.如何理解排列的定义？剖析：排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排列”.因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，它们才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列.定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了,否则就变成了取出两个相同元素.定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题，对有些具体情况，如取出数字1，2，3组成三位数，就与位置有关，因123和132是不同的三位数；但如取出数字1，2，3，考虑它们的和，则与位置无关.2.正确区分排列与排列数两个定义剖析：“排列”与“排列数”是两个不同的定义.一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它是具体的形式，而不是数；而排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，即排列共有多少种形式，它是一个数，如从a,b,c中任取两个元素的排列有以下6种：ab,ac,ba,bc,ca,cb，每一种都是一个排列，而数字6就是排列数.3.在解答有关排列问题的应用题时应注意什么？剖析：（1）注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏；（2）对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；（3）同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活运用；（4）从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累;（5）要通过解答排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保：①分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集等于空集，这样才能“不重不漏”；②分步要使得各步具有连续性和独立性，保证“不重不漏”.4.排列问题的常见类型和解题策略是什么？剖析：排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，大部分排列问题都可以转化为这两类问题.对有约束条件的排列问题，应注意以下类型： ①某些元素不能排在或必须排在某一位置； ②某些元素要求连排（即必须相邻）； ③某些元素要求分离（即不能相邻）.其基本解法是：有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理元素（位置）法（即优先法．．．）;某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，称这种方法为“捆绑法．．．”；某些元素不相邻排列时，可选排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，称这种方法为“插空法．．．”.对于较复杂的排列问题常常通过试验、简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.常用思维形式有直接和间接、逆向思维等. 讲练互动【例1】计算下列各式的值：（1）59694858A A A A -+; （2）A .24112nn n n A +-+分析：利用排列数A m n 的展开式A mn =)!(!m n n -求解.解：（1）59694858A A A A -+=275!9!94!8!84!4!9!3!9!4!8!3!8=-•+•=-+. （2）由⎪⎩⎪⎨⎧∈+≤<≤-<+,4202110N n n n nn ,解之得311≤n≤4,n ∈N +,∴n=4.∴原式=A 78+A 88=2×8!=80 640.绿色通道:使用排列数公式A mn 时，注意m,n ∈N +，m≤n 等限制条件. 变式训练 1.证明：A kn k n kn A kA 11+-=+证明：左式=)!(!k n n -+k·)!1(!+-k n n =)!1()!1()!1(]1[!+-+=+-++-k n n k n k k n n =右边.∴等式成立.【例2】7名班委中有A 、B 、C 三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.（1）若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？（2）若正、副班长两职至少要选这三人中的1人担任，有多少种分工方案？分析：显然这是一道排列应用题，问题（1）可分两步进行，优先安排受限制的正、副班长，然后再排其余5名班委职务.问题（2）的反面情形比较简单，可采用排除法求解.解：（1）先安排正、副班长有A 23种方法，再安排其余职务有A 55种方法，依分步乘法计数原理，共有A 23A 55=720种分工方案.（3）7人的任意分工方案有A 77种，A 、B 、C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有A 24A 55种，因此A 、B 、C 三人中至少有1人任正、副班长的方案有A 77-A 24A 55=3 600种. 绿色通道:排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置，并非一定要排成“一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用，在处理“至多”或“至少”等问题时非常有效.当然问题（2）亦可以逐一分类，算式为13A A 14A 55+13A A 14A 55+23A A 55=3 600种. 变式训练2.用2，3，4，5排成四位数：（1）无重复数字的四位数有多少个？ （2）无重复数字的四位偶数有多少个？（3）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？ （4）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（5）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？ 解：（1）A 44=24个.（2）个位上只能是2或4，有2A 33=12个.（3）所有的四位数中，2在3的左边的数与2在3的右边的数各占一半，共有21A 44=12个. （4）2在千位上，3，4，5只能在另外的三个位置排列，有A 33=6个. （5）法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位或百位上，有 2A 33=12个.法二：从A 44中减去不符合要求的（5在十位、个位上），有A 44-2A 33=12个.【例3】7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下各有不同站法多少种？（1）两名女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻；（3）教师不站中间，女生不站两端.分析：这是一个有限制条件的排列问题，可以运用“捆绑法”“插空法”等排队技巧.解：（1）2名女生站在一起有站法A 22种，视为一个元素与其余5人全排，有A 66种排法， ∴有不同站法A 22·A 66=1 440种.（2）先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有插入方法A 44种， ∴共有不同站法A 33·A 44=144种.（3）中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：（1）老师站两侧之一，另一侧由男生站，有12A ·A 14·A 55种站法，（2）两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一 ，有A 24·A 14·A 44种站法.∴共有不同站法12A ·A 14·A 55+A 24·A 14·A 44=2 112种.绿色通道:（1）为要求某些元素相邻，可用“捆绑法”；（2）为要求某些元素不相邻，用“插入法. 变式训练3.五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？ （1）其中甲不站排头；（2）其中甲不站排头，乙不站排尾； （3）其中甲、乙两人必须相邻； （4）其中甲、乙两人必须不相邻； （5）其中甲、乙中间有且只有一人； （6）其中甲必须排在乙的右边.解：（1）如先排甲，有4种排法，然后排其余4人，有A 44种排法，故有4×A 44=96种；如先排排头，有4种排法，然后其余4个位置有A 44种排法，故有4A 44=96种；如先不考虑排头，则5个人排成一排有A 55种排法，其中甲在排头有A 44种排法，所以甲不站排头有A 55-A 44=96种.（2）如甲在排尾，其余四人有A 44种排法，如甲排在中间三个位置中一个，而乙不在排尾，则有A 13×A 13×A 33=54种，共有A 44+54=78种；如先不考虑排头、排尾，则五个人排一排有A 55种排法，其中甲在排头有A 44种，乙在排尾有A 44种，甲在排头且乙在排尾共有A 33种.故共有A 55-2A 44+A 33=78种.（3）将甲、乙两人捆在一起作为一个元素，与其他3个元素作全排列有A 44种，然后甲乙再作全排列有A 22种，故有A 44A 22=48种.（4）五个人排成一排有A 55种排法，除去甲、乙两人相邻的排法48种，故共有A 55-48=72种.如先排甲、乙以外的三个，则有A 33种排法；这三个之间及两端留出4个空位去排甲、乙两人有A 24种排法，故共有A 33A 24=72种.（5）甲、乙两人有A 22种排法，从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间，有A 13种，然后再将三人看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有A 33种，故共有A 22·A 13·A 33=36种. （6）五个人全排列有A 55种，甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右边的排法种数各占一半，故共有21A 55=60种. 【例4】5人围桌而坐，共有多少种坐法？分析：对于环状排列我们可以想象成这5人是手拉手的排列，因此，可采用剪断直排列法求解.由于5个人有5个连接点，故有5种剪断直排列的方法，而对于同一环状排列，这5种剪断方法会形成5种不同的直排列. 解：5人围桌而坐，共有51A 55=24种不同的坐法. 绿色通道:一般地，当n 个不同元素作圆形排列时，共有（n-1）!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有m1A mn 种排法. 变式训练4.4名学生和2名老师围圆桌入座. （1）有多少种不同的入座方法？（2）如果老师必须相邻，有多少种不同的入座方法？解：（1）6人全排列有A 66种方法，由于6种剪断直排列对应同一种圆排，故共有61A 66=120种不同的入座方法.（2）由于老师必须相邻，要将2名老师看作1人，故只有5种剪断法，但老师又可以相互交换位置，故共有5!52 =48种不同的入座方法.。
高二数学(选修-人教A版)-排列组合应用(2)-教案
教案看一看：1.这张图表示的是哪里？2.它的绘制方式有什么特点？想一想：1.用这样的方式绘制有什么好处吗？2. 结合绘制过程你能提出数学问题吗？读一读：1.提出“绘制一张地图至少需要几种颜色”的问题2.四色猜想：任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色.在图中，我们选定延庆区、怀柔区、密云区和平谷区作为研究对象，现在有四种不同的颜色，用于给这四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色，有公共边界的区域涂不同的颜色（只共点不算），请问：不同的涂色方法有多少种？根据区域的相对位置特征，做一个简化的平面图形法一：按照区域顺序从左至右逐一进行法二：按照所用颜色的个数进行分类对比：两种做法所使用的原理城市文化介绍：1.在2017年发布的《北京市总体规划（2016年-2035年）》中，将东城区和西城区划分为核心区.2.2010年7月，国务院正式批复撤销崇文区和宣武区，设立的新的北京市东城区和西城区.用四种颜色给图中原西城区、原宣武区、原东城区、原崇文区涂色，每个区域只能涂一种颜色，有公共边界的区域涂不同颜色（只共点不算），不同的涂色方法有多少种？观察区域图形特征，进行简化，得到一个平面四边形法一：按照区域顺序逐一涂色下面是某个同学的做法，请你来判断他的做法对不对？4×3×3×2=72这样的过程是有问题的，第四步能选用的颜色个数，受第三步用了哪一种颜色而影响. 4×3×（1×3+2×2）=84法二：按照所用颜色个数分类44A +234A +24A =84研究这些计数问题有什么价值吗？1. 比如：在城市绿化过程中，为了能营造出美景氛围，经常要对不同植物合理分配，在这其中就蕴含着排列组合方法的运用. 实例1：广场上的一个圆形花坛有五个区域，对应的编号分别如右图所示. 现在有5种不同颜色的花用来布置花坛，为了体现植物的多彩缤纷，相邻的区域要摆放不同颜色的花，且在同一个区域内只能用一种颜色的花，绿化部门有什么种摆放方案？2. 再比如：同学们上课所用的课程表. 由于每个同学所选科目的不同，每天的课程安排也是不同的. 因此，掌握一些排列组合知识就能知道有多少种选科组合，了解课程有多少种排列，是进行排课必不可少的条件. 实例2：要排出某班一天语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同的排法有多少种？如图，给四棱锥S-ABCD 各面涂色， 要求相邻面不同色（只共点不算），若有5种颜色选用，有多少种不同的涂法？观察四棱锥五个面的位置有什么特征？底面与四个侧面都相邻，侧面中相对的两个面是不相邻的，由此可将立体图形转化为平面图形.SDC BA。
高中数学高二理科选修2-3排列组合导学案
《排列（1）》导学案【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【重点难点】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【学法指导】（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？【教学过程】（一）导入探究任务一：排列问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？新知1：排列的定义一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试：写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列. 反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？探究任务二：排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从个元素中取出（nm≤）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合表示.试试：从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？⑶从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数是多少？新知3 排列数公式从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数=mnA新知4 全排列从n个不同元素中取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为=nnA（二）深入学习例1计算：⑴410A;⑵218A; ⑶441010AA÷.变式：计算下列各式：⑴215A; ⑵66A⑶28382AA-; ⑷6688AA.例2若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．（,n N ∈）例3 求证： 11--=m n m n nA A变式 求证： 7766778878A A A A =+-小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 动手试试 n 2 3 4 5 6 7n ！练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ .【当堂检测 】1. 计算：=+243545A A ;2.. 计算：=+++44342414A A A A ；3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.1. 求证：11211--++=-n n n n n n A n A A2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？【反思 】1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式《排列（2）》导学案【学习目标 】1熟练掌握排列数公式； 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【重点难点 】 1熟练掌握排列数公式； 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【学法指导 】 （预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处） 复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也复习2：排列数公式：mn A ＝ （,,m n N m n *∈≤）全排列数：nn A ＝ ＝ . 复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是【教学过程 】 （一）导入 探究任务一：排列数公式应用的条件 问题1：⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二：解决排列问题的基本方法问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等. （二）深入学习 例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？ （2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？ （3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？ （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？变式：：某小组6个人排队照相留念．(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ (3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ (5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数？变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数？⑵能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？※动手试试练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？【当堂检测】1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有块.2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有种.3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有种不同的方法.5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有种.1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？【反思 】1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.《组合（1）》导学案【学习目标 】1. 正确理解组合与组合数的概念；2. 弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算；. 【重点难点 】1. 正确理解组合与组合数的概念；2. 弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算； 【学法指导】（预习教材P 21~ P 23，找出疑惑之处）复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 . 复习2：排列数的定义：从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示复习3：排列数公式：mn A = （,,m n N m n *∈≤）【教学过程 】 （一）导入探究任务一：组合的概念问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？新知：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？ 探究任务二．组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式 m n C ＝ ＝我们规定：=0nC （二）深入学习例1 甲、乙、丙、丁4个人，（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况； （2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.例2 计算：（1）47C ； （2）710C变式：求证：11+⋅-+=m n m nC mn m C※ 动手试试 练1.计算：⑴ 26C ； ⑵ 38C ；⑶ 2637C C -； ⑷ 253823C C -.练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？【当堂检测 】1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有个. 3. 计算：310C = .4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .5.写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合 1.计算：⑴ 215C ； ⑵ 2836C C ÷；2. 圆上有10个点：⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？ 、【反思 】1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或者：)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且《 组合（2）》导学案【学习目标 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题； 【重点难点 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题； 【学法指导 】（预习教材P 24~ P 25，找出疑惑之处）复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示.复习2： 组合数公式： m n C ＝ ＝【教学过程 】 （一）导入探究任务一：组合数的性质问题1：高二（6）班有42个同学⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？新知1：组合数的性质1：mn n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=试试：计算：1820C反思：⑴若y x =，一定有yn x n C C =？⑵若yn x n C C =，一定有y x =吗？问题2 从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m n C +1-m n C（二）深入学习例1（1）计算：69584737C C C C +++；变式1：计算2222345100C C C C ++++例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C变式2：证明：111m m m n n n C C C ++++=小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.例3解不等式()321010n n-C n -<∈+C N .练3 ：解不等式：46n nC C <※ 动手试试练1.若542216444x x C -C C C -=+，求x 的值练2. 解方程： （1）3213113-+=x x C C（2）333222101+-+-+=+x x x x x A C C【当堂检测 】1. 908910099C -C ＝2. 若231212n n-C C =，则n =3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；4. 若7781n n n C C C +=+，则n = ；5. 化简：9981m m m C -C C ++= .1. 计算：⑴ 197200C ; ⑵ 21-+•n n n n C C2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？3. 若128n n C C =，求21n C 的值【反思 】1. 组合数的性质1：mn n m n C C -=2. 组合数性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C《组合（3）》导学案 【学习目标 】 1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.【重点难点 】1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.【学法指导 】（预习教材P 27~ P 28，找出疑惑之处）复习1：⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．，用符号 表示；从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示. ⑵ mn A ＝mn C ＝ ＝m n A 与mn C 关系公式是 复习2：组合数的性质1： ．组合数的性质2： ．【教学过程 】 （一）导入探究任务一：排列组合的应用问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问： ⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？ 反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？ （二）深入学习 例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.⑴ 有多少种不同的抽法？⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件： ⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？ ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步.例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：⑴分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；⑵分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；⑶平均分成三堆.变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例 3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动, （1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条；2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有个；3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是；4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是；5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？⑷如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.1111。
高中数学排列二的教案
高中数学排列二的教案
年级：高中
课时：1课时
一、教学目标
1. 了解排列与组合的基本概念与性质。
2. 掌握排列与组合的计算方法。
3. 能够运用排列与组合的知识解决实际问题。
二、教学重点与难点
重点：排列与组合的基本概念及计算方法。
难点：灵活运用排列与组合知识解决实际问题。
三、教学准备
1. 教材：高中数学教材《数学排列与组合》相关章节内容。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题练习册等。
四、教学步骤
步骤一：导入（5分钟）
教师通过引入现实生活中的例子来引起学生的兴趣，如：排队买餐、选班干部等。
然后引入排列和组合的概念。
步骤二：概念讲解（15分钟）
1. 讲解排列与组合的定义及区别。
2. 介绍排列与组合的计算公式并通过示例进行说明。
3. 教师讲解排列组合知识要点，引导学生掌握。
步骤三：练习与讨论（20分钟）
1. 按照课本上的排列与组合的练习题进行训练。
2. 学生自主讨论解题思路，并解析答案。
3. 老师针对难点继续讲解。
步骤四：总结与作业布置（10分钟）
1. 整理本节课的重点知识点与难题。
2. 布置相关作业，要求学生查漏补缺，巩固提高。
五、课后反思
通过教学实施，评估学生对排列与组合的理解程度和能力，为下节课教学提供参考。
排列(课件)-高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)...[n-m+1]
探究新知
排列数公式
∗
= − 1 − 2 . . . − + 1 ，其中， ∈ N ，并且 ≤ .
把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。此时，
分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5 x 5 x 5 = 125
探究新知
二、排列数
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上
午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
解析：要解决该问题，可以分为两个步骤：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1名参加上午的活动，
（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
◆排列数公式的应用
探究新知
1.公式 A ＝n（n-1）·…·（n-m+1）适用于具体计算以及解当m较小时
m
n
的含有排列数的方程或不等式.在运用该公式时要注意它的特点：从n
起连续写出m个数的乘积.
2.公式 A ＝ (n n!m)! 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题.
少种排法.
问题引入
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,
另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
上午
甲
乙
丙
下午
相应的选法
乙
甲乙
丙
甲
甲丙
乙甲
丙
甲
乙丙
丙甲
丙乙
乙
我们把上面问题中被取出的对象叫做元素.
共有6种选法.
6.2.2 排列数(课件)高二数学(新教材人教A版选择性必修第三册)
十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．
6.2.2 排列数(教学课件)-【名师教与练】2022-2023学年高二数学同步备课系列(人教A版2
可记作：A4 4 3 2 24.
m
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 An (m≤n)是多少?
我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排
m
3
2
列数An 是多少？An 又是多少？进而归纳An ( m n) 是多少？
2
排列数 An 可以按依次填2个空位得到：
例3
计算：（1）
（2）
（3）
（4） ×
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
：
Ann
n!
n( n 1)( n 2) ( n m 1)( n m ) 2 1
n m
.
An m (n m )!
(n m ) 2 1
排列数公式的阶乘形式：
n!
A
.
( n m )!
m
n
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
n!
A
.
( n m )!
m
n
A66
A77 7!
4
2
6
4
思考 由例3可以看到，A 4 ；A6 A2 6! A6 ,即A6 2 . 观察这
A4 4!
A2
两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
3
7
n
A
Anm nn m .
人教A版数学高二选修2-3学案第一课时排列与排列数公式
1．2．1排列第一课时排列与排列数公式预习课本P14～20，思考并完成以下问题1．排列的概念是什么？2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？3．排列数公式有哪些性质？[新知初探]1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．[点睛]排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．3．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法A m n排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式A m n＝n！(n－m)！性质A0n＝1备注n，m∈N*，m≤n[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则P中的元素个数为()A．3B．4C．6D．8答案：A3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6排列的概念[典例]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组种菜；(3)某班40名同学在假期互发短信．[解](1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．(2)不存在顺序问题，不是排列问题．(3)A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法[活学活用]判断下列问题是否为排列问题．(1)选10人组成一个学习小组；(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；(3)10个车站，站与站间的车票．解：(1)不存在顺序问题，不是排列问题．(2)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．(3)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．简单排列问题[典例](1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[活学活用]写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解：如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB ，共12种．排列数公式及应用 [典例] (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)；(2)计算2A 34＋A 44；(3)求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n ．[解] (1)∵55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15个元素，∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ．(2)2A 34＋A 44＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝48＋24＝72． (3)证明：A m n －1＋m A m －1n －1＝(n －1)！(n －1－m )！＋m ·(n －1)！(n －m )！＝(n －1)！(n －m ＋m )(n －m )！＝n ！(n －m )！＝A m n ．排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．[活学活用] 计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59； (3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n ．解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720．(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1． (3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0． 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5．层级一 学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( ) A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B ．从40人中选5人组成篮球队 C ．从100人中选2人抽样调查 D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B 列树形图如下： 丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：选D 因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20． 4．计算：A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选DA 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36． 5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( ) A ．6种 B ．30种 C ．360种D ．A 56种解析：选D 问题为6选5的排列即为A 56．6．计算：5A35＋4A24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348．答案：3487．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个．答案：128．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________．解析：当x≠0时，有A44＝24个四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，即24(1＋4＋5＋x)＝288．解得x＝2，当x＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不合题意，∴x＝2．答案：29．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5xA 5x ＝89；(2)解不等式：A x 9>6A x －29．解析：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89． ∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90． 故x ＝－4(舍去)，x ＝15．法二：由A 7x －A 5x A 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！．∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！，∴(x －5)(x －6)＝90．解得x ＝－4(舍去)，x ＝15． (2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，∴2≤x ≤9，x ∈N *．化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0， 即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13． 又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *．故x ＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．12D ．24解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12．2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A ．n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D ∵A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A mn ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D ．3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为A ．6B ．9C ．12D ．24解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C(n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确． 5．满足不等式A 7nA 5n>12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2．又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10． 答案：106．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．解析：画出树形图，如下：由树形图可知，共有11种不同的试种方案．7．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14．所以原有车站14个，现有车站16个．8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广． (1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080．(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2．令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 －∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33．。
高二数学排列和组合知识点
高二数学排列和组合知识点在高二数学学习过程中，排列和组合是一个重要的知识点，也是数学中一个常用的概念。
掌握排列和组合的相关知识，对于解决实际问题以及进一步深入数学学习都非常有帮助。
本文将介绍高二数学排列和组合知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、排列的概念排列是从给定的对象集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法数。
在排列中，元素的顺序很重要，不同的排列方式被视为不同的结果。
1.1 线性排列线性排列是最基础也是最常见的排列方式。
在线性排列中，从给定的对象集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列，每个元素只能使用一次。
1.2 循环排列循环排列是指从给定的对象集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列，并且排列中的元素可以重复出现。
循环排列中的排列方式具有循环的性质，即排列的开头和结尾是相连的。
二、组合的概念组合是从给定的对象集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合的方法数。
在组合中，元素的顺序不重要，同样的元素组合方式被视为相同的结果。
2.1 无限制组合无限制组合是指从给定的对象集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合，并且可以重复选取元素。
2.2 有限制组合有限制组合是指从给定的对象集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合，并且每个元素只能使用一次。
三、排列和组合的应用排列和组合在实际生活中有着广泛的应用，例如：3.1 考试座位安排在学校的考试中，考试座位需要进行排列。
通过排列的方式可以确保每个学生都能坐在一个指定的位置上，避免作弊等问题。
3.2 奖品抽取在抽奖活动中，需要从参与抽奖的人员中选取一定数量的获奖者。
通过组合的方式可以确定每个获奖者的组合方式，保证公平公正。
3.3 生肖组合在中国传统文化中，属相有十二种，根据生肖的组合可以预测一个人的命运、性格等。
通过组合的方式可以得到不同的组合结果，为人们提供参考和娱乐。
四、排列和组合的计算公式在排列和组合的计算过程中，有一些通用的计算公式可以帮助我们求解问题，例如：4.1 排列计算公式排列的计算公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n表示对象的总数，m表示选取的元素数量。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列(二)优化训练 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试
1.2 排列(二)五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将5辆车停在5个车位上,其中A 车不停在一号车位上,B 车要停在二号车位上.不同的停车方案有 ( )A.6种B.18种C.24种D.78种 答案：B解析：N=3313A A =18(种).2.用1,2,3三个数字,可组成无重复数字的正整数共( )A.6个B.27个C.15个D.9个 答案：C解析：利用1,2,3可组成数字不重复的一位,二位,三位正整数,于是有N=332313A A A ++=15(个).3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12 答案：A解析：分两类:①两个新节目相邻的插法有622A 种;②两个新节目不相邻的插法有26A 种,故N=6×2+6×5=42.或者直接采用插空法:N=1716A A •=42.4.3个男生和2个女生排成一排,若两端不能排女生,则共有____________种不同的排法. 答案：36解析：男生排在两端有23A 种排法,其余位置有33A 种排法.故共有23A ·33A =36种排法. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.一个人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为( )A.2544A A B.25A C.44A D.4488A A -答案：B解析：命中4枪,恰好有3枪连在一起的“三枪”看作一个整体(一个元素)，第4枪看作一个元素,共两个元素.打不中的四枪间,连同前后共5个空,任选两个空插入,有25A 种. 2.将1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种 答案：B有3种情况,总共3×3=9种.3.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是______________.(用数字作答) 答案：12解析：工程甲、工程乙、工程丙、工程丁的顺序已确定且丙丁相邻，则只需将剩下的2个工程安排好，即24A =12.4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成____________个没有重复数字且能被5整除的六位数. 答案：216解析：分两类：末位数字是0的有55A =120（个），末位数字是5的有4414A A =96（个）. 总共120+96=216(个).5.一天课表中,6节课要安排3门理科,3门文科,要使文,理科间排,不同的排课方法有_________种;要使数学与物理连排,化学不得与数学,物理连排,不同的排课方法有___________种. 答案：72 144解析：要使文理科间排,有两种情况:文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,4,6,共有33333333A A A A •+•=72.数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：2433A A •·2=144.6.在3 000至8 000中有多少个无重复数字的奇数?解法一:分两类:首位数字是3,5,7的四位奇数有281413A A A ••=672（个）；首位数字是4，6的四位奇数有281512A A A ••=560（个）.故满足条件的数共有672+560=1 232(个).解法二:若允许首末位数字相同,则末位可取1,3,5,7,9五个数字,首位可取3~7五个数,于是3 000~8 000中的奇数有281515A A A 个;其中首末位数字相同的情况是3**3,5**5,7**7,共有13A 28A 个.于是共有:28A ×5×5-13A ·28A =1 400-168=1 232（个）满足题设条件的数.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从5位同学中选派4位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六,星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )A.40种B.60种C.100种D.120种 答案：B解析：先从5人中选2人安排在星期五,再从剩下的3人中选1人安排在星期六,从最后02人中选1人安排在星期日.121325C C C =60.2.若n∈N *,n<20,则(20-n)·(21-n)…(29-n)·(30-n)等于( )A.1020A B.1120n A - C.1030n A - D.1130n A -答案：D解析：mn A =n(n-1)…(n -m+1), 故原式=1130n A -.3.不等式21-n A -n≤0的解是( )A.n=3B.n=2C.n=2或n=3D.n=1或n=2或n=3 答案：A解析：∵n -1≥2,又(n-1)(n-2)≤n, ∴n=3.4.200件产品中有197件合格品，3件次品，现从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A.219733319723C C C C +种B.319723C C -种 C.51975200C A -种 D.4197135200C C C -种答案：A解析：有两件次品的抽法为233197C C ,有三件次品的抽法为332197C C ,共有232197233197C C C C +种.5.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中,若百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为（ ）A.12B.8C.6D.4 答案：C解析：百位数字量大,所以安排5,剩余的4个空位,安排1,2,3,4,全排列有44A 个,但要求万位数字比千位数字小,即这两个位置大小次序一定,属于定序问题,所以应去掉对顺序的安排22A ;同理个位、十位也要去掉对顺序的安排22A ，所以这样的五位数的个数共有222244A A A =6个.6.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有___________种. 答案：1 440解析：先排数学有33A 种排法; 再排外语有22A 种排法;将数学,外语看成整体与其他书全排有55A 种排法. ∴N=33A ·22A ·55A 1 440(种).7.由四个不同数字1,4,5,x(x≠0)组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各位数字之和为288,求x 的值.解：因为1,4,5,x 四个数字互不相同,故在排成的四位数中,1在千位上,百位上,十位上,个位数字上分别出现33A 次,故所有的1的和为1×4×33A =24.同理可知，所有4的和共有4×4×33A =96,所有5的和共有5×4×33A 120,所有x 的和共有x·433A =24x.由题设得24+96+120+24x=288,解得x=2.8.用1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少?解:满足要求的五位数分为三类:偶奇偶奇奇:221312A A A ••； 奇偶奇偶奇:221213A A A ••；奇奇偶奇偶:221312A A A ••；共有3221312A A A ••=36（个）.9.从-1、0、1、2、3中选三个（不重复）数字组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数. (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条?(2)与x 轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x 轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条?解:(1)a>0且c≠0,共有131313A A A ••=27种.(2)只需ac<0,故-1必须排除,有221313A A A ••=18种.(3)可分为三类:第一类与x 轴正、负半轴均有交点的直线共有18条,第二类过原点且与x 轴负半轴有一个交点,此时,c=0,ab>0,共有23A =6条.第三类,与x 轴负半轴有两个交点,则必须满足⎩⎨⎧≥-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆同号a 、、b、ac b ac a b040002 即b=3,a 、c 在1、2中取，有2条，由分类计数原理可得有26条. 10.4名男生和3名女生并坐一排,分别回答下列问题. (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)男生相邻,女生也相邻的坐法有多少种? (4)女生顺序已定的坐法有多少种?解:(1)从整体出发,将4名男生看成一个“大元素”与3名女生进行全排列，有44A 种排法，而“大元素”内部又有44A 种排法，故共有44A ·44A =576种坐法.(2)先将4名男生排好,有44A 种排法,然后在男生之间隔出的五个空档中插入3名女生,故有44A ·33A =1 440种坐法.(3)N=44A ·33A ·22A =288种坐法.(4)N=473377A A A =840种坐法.。
排列组合综合(二)讲义-2021-2022学年高二下学期数学北师大版选修2-3
排列组合综合应用（二）知识要点常用方法：1.优先排序法--特殊位置或特殊元素2.捆绑法--哥俩好(先捆再排)3.插空法--离我远点(先排再插)4.排除法--正难则反5.隔板法--相同物品放在不同位置(或分给不同的人)精讲精练【例题1】A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有多少种?练习1：1、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？2、7名同学排队照相。
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法?(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法?【例题2】某博物馆要在10天内接待4所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这10天内不同的安排方法数是多少种？练习2：1、某学生制定了数学问题解决方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题个数与前一天相比，要么“多一种”要么“持平”要么“少一种”。
在一周中每天所解决问题个数不同方案共有多少种？2、有10件不同电子产品，其中有2件产品运营不稳定。
技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定产品所有找出后测试结束，则正好3次就结束测试办法种数是多少种？【例题3】如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有多少种？练习3：1、某都市街道如图，某人从A地前去B地，则路程最短走法有多少种？2、如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，规定每个点涂一种颜色，且图中每条线段两个端点涂不同颜色，则不同涂色办法有多少种？【例题4】把10个相同的球放入3个不同的盒子里，若要求(1)每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？(2)每个盒子里都至少有2个球，有多少种放法？(3)某些盒子允许空着，有多少种放法？练习4：1、学校筹划运用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科专项讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同安排办法共有多少种？2、六名大四学生(其中4名男生，2名女生)被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C学校，男生甲不能到A学校，则不同安排办法为多少种？【例题5】(1)方程x+y+z=13有多少组正整数解？(2)方程x+y+z=13有多少组非负整数解？(3)方程x+y+z=13有多少组x，y，z均不小于2的正整数解？练习5：1、求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
7.3排列与组合(2)学案-2021-2022学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册
氾水高级中学2021-2022学年度高二数学(下)导学活动单(30)课题排列与组合(2)学习目标1、会求解实际应用问题中，排列组合的混合问题；2、掌握排列组合应用题的处理策略和常用方法。
教学过程学法指导活动一：问题诊断1、平面M内有5个点，平面N内有4个点，且平面M与平面N平行，这9个点最多能构成_______个不同的四面体。
2、从1，3，5，7，9 中任取3 个数字，从2，4，6，8中任取2 个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的五位数。
活动二：活动探究类型有限制条件的排列组合混合应用问题例1、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？变式拓展：1、6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？2、5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？3、5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4、6本不同的书全部送给3人，每人2本，有多少种不同的送书方法？例2、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前，问此考生共有多少种不同的填表方法？练习：某中学高二年级有7个班，从中选出12名同学参加市中学生数学竞赛，每班至少1人，问名额分配方案有有多少种？例3、将编号为1、2、3、4的4个小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，(1)有多少种不同的方法？(2)每个盒内至多放1个球，有多少种不同的方法？(3)恰好有1个空盒，有多少种不同的方法？(4)每个盒内放1个球，且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的方法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有1个空盒，有多少种不同的方法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种不同的方法？练习：6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，(1)有多少种不同的方法(允许有空盒)？(2)每个盒内至少放1个球，有多少种不同的方法？(3)恰好有1个空盒，有多少种不同的方法？例4、有10只不同的实验产品，其中4只不合格品，6只合格品，现每次取一只测试，直到4只不合格品全部测出为止，问最后一只不合格品正好是第五次测试时被查出的不同情况有多少种？变式拓展：有10只不同的实验产品，其中4只不合格品，6只合格品，现每次取一只测试，直到4只不合格品全部测出为止，问最后一只不合格品正好是第六次测试时被查出的不同情况有多少种？活动三：课堂检测1、某人抛掷硬币8次，其中4次正面向上，则向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有_______2、从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为_______3、如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途径C地，要求所走路程最短，共有_______种不同的走法(用数字作答)。
第二节 排列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
6.2 排列知识清单1．排列一般的，从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列．两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．2．排列数我们把从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示．3．排列数公式（1）)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n，这里，*∈N n m ，，并且n m ≤，这个公式叫做排列数公式．（2）特别地，我们把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列．即123)2()1(⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n A n n ．（3）正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示．于是，n 个元素的全排列公式可以写成!n A n n =．另外，我们规定1!0=．（4）!)(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=，*∈N n m ，，且n m ≤． 4．排列问题的常见模型（1）特殊元素（位置）——————优先法；（2）相邻问题——————————捆绑法；（3）不相邻问题—————————插空法；（4）定序问题——————————倍缩法（除法）；（5）相同元素排列问题——————倍缩法（除法）；（6）圆形排列——————————倍缩法（除法）．题型训练题型一 特殊元素（位置）问题对于特殊元素（位置）的排列问题，一般先考虑特殊，再考虑其他，也可以选择间接法．1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24B．48C．60D．722．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种3．有6人站成前后两排，每排3人，甲在前排，乙不在后排的边上，则不同的排法种数为（）A．96 种B．192 种C．216 种D．288 种4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288 种5．用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243B．252C．261D．2796．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种7．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个8．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有（）A．24种B．36种C．48种D．72种9．已知有5名同学站成一排．（1）甲不站排头，则不同的排法种数为（2）甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的排法种数为（3）甲不站排头，乙不站排尾，且丙站中间，则不同的排法种数为10．用0，1，2，3，4 这五个数字．（1）组成无重复数字的四位数的个数为（2）组成无重复数字的四位偶数的个数为（3）组成组成无重复数字且大于2000的四位偶数的个数为题型二相邻问题（捆绑法）当有元素要求相邻时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序．11．有6名同学排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站一起，则不同的排法种数为（）A．24种B．72种C．144种D．288种12．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目相邻的排法种数为（）A．36种B．48种C．54种D．72种13．某班有6位学生与班主任老师合影，班主任站在正中间且甲乙相邻，则排法的种数为（）A．144种B．192种C．216种D．240种14．一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3!B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!15．六个停车位置，有3辆汽车要求停放，若要使3辆汽车相邻停放，则停放的方法种数为（）A．24种B．36种C．48种D．72种16．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种17．有5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，则这样的排列种数为（）A．57600种B．5760种C．28800种D．2880种18．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种19．有6名同学站成一排．（1）甲、乙相邻，则不同的排法种数为（2）甲、乙均与丙相邻，则不同的排法种数为（3）甲、乙相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为（4）甲、乙相邻，且丙不站首位，则不同的排法种数为（5）甲、乙相邻，且丙不站首位，丁不站末位，则不同的排法种数为20．有3名男生与3名女生站成一排，若女生相邻且男生甲不站两端，则不同的排法种数为题型三不相邻问题(插空法)当某些元素要求不能相邻时，可以先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置.21．某小区的6个停车位连成一排，现有3辆车随机停放在车位上，则任何两辆车都不相邻的停放方式有（ ）种．A ．24B ．72C ．120D ．14422．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的6位数中，数字1、2相邻且3、4不相邻的6位数共有（ ）A ．72个B ．144个C ．216个D ．288个23．有6把椅子摆成一排，3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．2424．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2425．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用上这五个音阶，排成一．五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（ ）A ．20种B ．24种C ．32种D ．48种26．有3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360种B ．288种C ．216种D ．96种27．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16828．有6名同学站成一排．（1）甲、乙不相邻，则不同的排法种数为（2）甲、乙不相邻，且甲、乙均不站两端，则不同的排法种数为（3）甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的排法种数为（4）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（5）甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（6）甲、乙不相邻，且丙、丁不相邻，则不同的排法种数为题型四 定序问题（倍缩法）在n 个不同元素的排列中，当有m 个元素要求按一定的顺序排列时，排法种数为m mn n A A ． 29．有6人赛跑，其中甲比乙先到终点，乙比丙先到终点的不同比赛结果的种数为（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16830．我们把每个数字比它左边的数字大的正整数称为“渐升数”（如1237），则用1-9九个数字组成的不同四位渐升数的个数为31．元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有 种不同取法．32．有6名同学站成一排，（1）甲站在乙的左边（可以不相邻），则不同的排法种数为（2）甲、乙、丙按照由左至右的顺序排列（可以不相邻），则不同的排法种数为（3）甲站在乙的左边（可以不相邻），丙站在丁的右边（可以不相邻），则不同的排法种数为（4）甲、乙均站在丙的同侧，则不同的排法种数为题型五 相同元素排列问题（倍缩法）在n 个元素的排列中，当有m 个元素相同（其他元素不同）时，排法种数为m mn n A A ． 33．4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（ ）A ．16个B ．70个C ．140个D ．256个34．有2个相同的红球，2个相同的白球，2个相同的黑球排成一列，则不同的排法种数为35．用一个0，一个1，一个2，三个3，可组成不同六位数的个数为36．用数字1，2，3组成五位数，且数字1，2，3至少都出现一次，这样的五位数共有 个题型六 圆形排列对n 个不同元素进行圆形全排列，总共的排法总数为nA n n ． 37．五颗不同的珠子串成一串手链，则组成不同手链的种数为38．有7个人手拉手站成一个圆，且甲乙相邻，则不同的站法种数为综合训练1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种2．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（ C ）A．24种B．72种C．84种D．120种3．有3个男生与4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法种数有（）A．56种B．72种C．84种D．120种4．在某活动中，从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种5．由数字1，2，3，…9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“421”）顺序排列的数的个数是（）A．120B．168C．204D．2166．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．288种B．264种C．240种D．168种7．将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．180B．192C．204D．2648．如图，用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有（）种．A．144B．216C．264D．3609．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72B．96C．108D．14410．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152种B．126种C．90种D．54种11．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为12．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．14．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种．16．江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行次试验．第二节排列参考答案题型一特殊元素（位置）问题1-5 D，C，C，B，B 6-8 B，B，B9．（1）96 （2）78 （3）1410．（1）96 （2）60 （3）42题型二相邻问题（捆绑法）11-15 CDBCA 16-18 BAC19．（1）240 （2）48 （3）96 （4）192 （5）156 20．72题型三不相邻问题(插空法)21-25 ABDAC 26-27 BB28．（1）480 （2）144 （3）144 （4）144 （5）288 （6）336题型四定序问题（倍缩法）29-31 B，126 ，9032．（1）360 （2）120 （3）180 （4）480题型五相同元素排列问题（倍缩法）33-36 B，90，100，150题型六圆形排列37-38 24，120综合训练1-5 A，C，B，A，B 6-10 B，C，B，C，B11-16 17，24，96，36，480，120。
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例3.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个 队参加，每队要与其余各队在主、客场分别 比赛一次，共进行多少场比赛？ 解：任意两队间进行1次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从14个元素中 任取2个元素的一个排列．因此，比 赛的总场次是
A 14 13 182
2 14
本 例4(1）从5本不同的书中选 选 3本送给3名同学， 每人各1本，共有多少种不同的送法？ 种 买 3本送给3名同学， (2）从5种不同的书中买 每人各1本，共有多少种不同的送法？
3 10 2 9
练习3：解答
问题:用0,1,2,3,4这5个数字。 1.组成几个五位数？
2.组成几个五位偶数？ 3.组成几个百位数不为4的五位数?
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活力的食物。我用法术把其它猫隔离在外，独自享用这从未有过的美味。同时，我尾巴上的金色花纹持续增加，第四条 尾巴又出现了。”“正在我欣喜之时，石壁上居然打开了一道门，石门打开的同时，一股浓烈的杀气从石门背后涌出， 我转身看去，身后猫还没来得及发出惨叫，就已经死去了。我惊恐的等着那扇门，走进来的并不是什么可怕的魔鬼，而 是一个银色头发的少女，给人一种澄澈清纯的感觉。尽管她隐藏的很好，但我还是看出，她不过是一只修为极高的妖。 ”“哦……没想到百蝶也有清纯的时代……可惜当时没有照相机……”慕容凌娢貌似有些抓错了重点，“那之后又怎么 样了？百蝶为什么单单没有杀你？”“‘没想到旧地重游还能碰见同类，你我都是修炼的妖，相遇也算是缘分，我叫百 蝶。来吧，我带你出去。’那时的百蝶伸出手，对我如是所说……”茉莉45°角仰望星空，一看就是在回忆过去。“那 是的百蝶还真是心地善良啊……我是说，抛开那几只被秒的猫，百蝶确实挺乐于助人……”看到茉莉阴森的眼神，慕容 凌娢马上改了口。“她把我带出了墓地，并且告诉我，像我这样不需掠夺生命就可以增长修为的妖是很少见的，我尾巴 上的条纹就是我经历的劫数，我其实已经死过很多次，只是自己没有发觉而已。她还说她有办法可以快速提高修为，问 我愿不愿和她一起修炼。我不愿意为了增长修为而打开杀戒，毕竟，修炼对于我来说，是一种顺其自然的东西……于是 ，百蝶就带着我来到了大陆东南边的海岸上，她的速度很快，几乎是在一瞬间就到达了目的地。海岸边停止一支船队， 她指着那艘最大的船对我说，‘登上它吧，它也许能带你回家。’我趁人不注意，偷偷爬上了甲板，向百蝶道谢时，她 又问我，‘真的不跟我去闯荡世界？我说‘不去。’‘不后悔?’‘绝对不后悔。’”“SO……”慕容凌娢好不容易理 清了思路，“你是登上某航海家的船才偷渡到天朝来的？这算不算生物入侵啊！”“我其实也是被百蝶坑了，本来以为 能坐上这条船回老家，结果又跑到了这个国度。然后呢……我就开始在这附近游荡，顺便等着百蝶。因为……我确实后 悔了。现在没实力干什么都麻烦，我要赶快突破万年修为大关，然后就可以为所欲为了！”“额……茉莉啊，你变了 ……”第073章 古代版家长寄语“这样很好啊，朝廷需要你这样的人才，(虽然不知道你除了弹琴好听，还有什么特长) 晴朝等着你去发展(比如说那个没事儿就乱嗑 药的皇帝)，历史等着你去改写(圆明园的建成及毁灭，列强入侵， WW2……要是这些都消失，那我们的历史书要少好多页啊！保护树木，从你开始。)”慕容凌娢边开导边在脑海中吐槽， 这个时代的BUG实在是太多了，要是真的修
1 4 2 4 3 4
4 4
(2)5 A 4 A
3 5
m n m n
2 4
m 1 n 1 m 1 n
(3) A ____ A
(4) A ____ A
(m 1)! (
练习2：选择
n! (1)若x ，则x等于（ ） 3! n 3 n n A: A 3 B:A C:A D:A n n 3 n 3
两个问题的区别： (1)是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，各人得到的书不同， 属于求排列数问题； (2)由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件， 只能用分步乘法计数原理进行计算．
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
（2）100 99 98... 88等于( A:A11 100 B:A12 100 C:A13 100 D:A14 100 )
（3）m N*且m<15，则（15-m）(16-m)...(20-m)等于( ) A:A
6 15 m
B:A
15 m 20 m
C:A
6 20 m
D:A
5 20 m
解法 1
：
A A 9 9 8 648
1 9 2 9
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
解法 2 ：
A A A 648
3 9 2 9 2 9
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
解法 3
：
A A 10 9 8 9 8 648
1.2.1排列（二）
复习：
1.排列的定义
2.排列要满足的2个条件 3.排列数公式：
A n(n 1)(n 2)...(n m 1)
m n
4.阶乘
例1．用计算器计算： （1） A
4 10
5 （2） A18
（3） . 解：用计算器可得：
A A
18 18
13 13
练习1：计算
(1) A A A A