自动控制原理电子教案-第二章

第二章 自动控制系统的数学描述
第一节 概论 第二节 机理分析建模方法 第三节 拉氏变换和传递函数 第四节 典型环节的动态特性 第五节 系统方框图等效变换和信号流图 第六节 实验建模方法 第七节 PID 控制器
第一节
控制系统数学模型的定义
概论
揭示系统各变量内在联系的数学表达式和关系图表
数学模型的类型
2 M d y f dy f dx 2 y x K dt K dt K dt
y
2.2.2.1 建模举例---机械系统
4). 机械转动系统
已知: 转动惯量 J , 转矩 T , 摩擦系数 f , 转角 . 求: 系统动态方程式. 解: T 根据牛顿第二定律 J
(2)
解: 根据物质守恒定律 和流量近似公式
Q2 K1 H1 H 2
(3)
Q3 K 2 H 2
中间变量为 Q2, Q3, H1, 由(2),(4) dH 2 1 Q2 K 2 H 2 dt F2 dH 2 K 2 H 2 Q2 或 F2 dt
(4)
(5)
2.2.2.3 建模举例---液力系统
Le
1

at

0
e e dt e
at st 0

a s t
1 dt sa
1 L e at s a
2.3.1.2 典型函数的拉氏变换(续)
4）正弦函数的拉氏变换
x(t ) sin t
0
t0
Lx(t ) sin t e st dt 1 jt e e jt e st dt 0 2j 1 1 1 s j s j s 2 2 2j
2.2.2.1 建模举例---机械系统
3). 无固定的弹簧--阻尼--质量系统
已知: 弹簧系数 K , 位移 x , 阻尼系数 f , 位移 y, 质量 M. 求: 系统动态方程式. K 解: M f 根据牛顿第二定律 d ( y x) d2y x f K ( y x) M 2 dt dt 整理成规范形式
1 e dt s
st
2）单位斜坡函数的拉氏变换
x(t ) t u (t )
2.3.1.2 典型函数的拉氏变换(续)
Lx(t )
1

0
1 L 2 t t u (t ) s
1 te dt 2 s
st
3)指数函数的拉氏变换 at x(t ) e t0
dU i dU 0 I 2 C dt dt 1 1 dU dU 0 I I 2 dt I 2 U i U 0 C i CR1 R1 dt dt
U 0 IR2 R2 U i U 0 R2C dU i dU 0 R1 dt dt
dt
2.2.3 物理系统的相似性
物理系统遵循基本的物理定律, 不同的物理系统质 同形不同, 有相似性. 上述四种物理系统的相似性:
物理系统 电气系统 液力系统 热力系统 机械系统 势
U h
流
I q Q v
阻
R R R f
容
C A C K
感
L

F
m
利用物理系统的相似性, 可使机理分析建模工作大 为简化
F1 F2 d 2 H 2 1 1 F2 dH 2 F1 2 K K K dt H 2 K1 K 2 dt 2 2 1 Q 1 K2
2.2.2.4 建模举例---热力系统
1). 绝热加热过程
已知: 进热量 Qi , 出热量 Qo, 工质流量 G , 温度, 比热 Cp， 器内质量 M 求: 以 Qi 为输入 为输出的系统动态方程式. 解: 根据能量守恒定律 d
dU 0 iC dt d 2U 0 (t ) dU 0 (t ) LC RC U 0 (t ) U i (t ) 2 dt dt
U
i
2.2.2.2 建模举例---电气系统
2). RC 串并联电路 I1
R1 I R2 Uo
已知: RC 电路如图 .
Ui I2 C
求: 以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式.
K1 Q1dt F1
2.2.2.3 建模举例---液力系统
2) . 双容水箱(续3)
dH 2 F1 F2 F1 K1 K 2 K1 F2 H 2 K1 K 2 H 2 dt dt K1 Q1dt
d 2H2 dH 2 F1 F2 F1 K1 K 2 K1 F2 K1 K 2 H 2 2 dt dt K1Q1
dU 0 R2 dU i R2 R2C 1 U 0 R2C U i R dt dt R1 1
R1 R2C dU 0 dU R1 R2 U 0 R1 R2C i R2U i dt dt
2.2.2.3 建模举例---液力系统
Q0 H
dH 1 Qi H dt A Q dH H i 或 dt A A 规范化 A dH 1 H Qi dt
H Qo
A
2.2.2.3 建模举例---液力系统
2). 双容水箱
物理化学定律例如: 牛顿第一定律,能量守恒定 律,基尔霍夫定律,欧姆定律，道尔顿定律
消除元件动态方程式中的中间变量, 推导元 件的输入输出关系式 整理出系统的输入输出关系式
2.2.2.1 建模举例---机械系统
1). 弹簧--质量--阻尼系统
已知: 弹簧系数 K ,质量 M , 外力F(t) , 阻尼系数 f . 求: 系统动态方程式. 解: 根据牛顿第二定律 F(t) 2
1). 单容水箱
已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 解: 根据物质守恒定律 dH Qi Q0 AdH Qi Q0 dt 或 dt A 中间变量为 Qo, 据流量公式 Q0 H Qi 线性化处理:
2). 弹簧--阻尼系统
已知: 弹簧系数 K , 外力 x , 阻尼系数 f , 位移 y. 求: 系统动态方程式. K 解: 根据牛顿第三定律
dy (t ) f Ky(t ) x(t ) dt
整理成规范形式
x y
f
f dy (t ) 1 y (t ) x(t ) K dt K
解:
I I1 I 2 U I R IR 1 1 2 i U 0 IR 2 1 I 1 R1 I 2 dt C
1 U i I 2 dt U 0 C
应消去中间变量 I , I1 , I 2
2.2.2.2 建模举例---电气系统
2). RC 串并联电路(续)
K
M
dy (t ) d y (t ) F (t ) f Ky(t ) M dt dt 2
整理成规范形式
2 M d y(t ) f dy(t ) 1 y(t ) F (t ) 2 K dt K dt K
f
y(t)
2.2.2.1 建模举例---机械系统


1 2j
X (s)estds j
j
2.3.1 拉普拉斯(Laplace )变换
2.3.1.2 典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的拉氏变换
x(t ) u (t ) 0(t 0) 或 1(t 0)
Lu (t )
1

0
1 L u (t ) s
静态特性模型和动态特性模型 图，表，表达式 图 ： 方框图，信号流图，特性关系图 表达式： 微分方程，传递函数，频率特性函数，差分方程
数学模型的建立原则
分清主次，合理简化，选定类型，整理归纳
数学模型的建立方法
分析法： 据物理化学规律推导 实验法： 据实验数据拟合
第二节 机理分析建模方法
MC p dt Qi Q0
中间变量为 Qo, Q0 GC p
Qo G
Qi
Cp M
MC p
∴
d GC p Qi dt d 1 M Qi dt GC p
2.2.2.4 建模举例---热力系统
2). 加热装置
已知: 进热量 hi , 工质流量 q , 进口温度i, 出口温度 o, 环境 温度c, 热容 C， 进口工质比热 Cp ，热阻 R 求: 绝热时和不加热时的系统动态方程式. 解: 根据能量守恒定律 0 c d 0 hi qC p i 0 c R dt d 0 c 1 C qC p 0 hi qC p i dt R R 绝热时 d 0 C qC p 0 hi qC p i o hi dt 绝热且不加热时 Cp c d 0 C C qC p 0 qC p i Cp,q, i
2). 双容水箱(续2)
dH1 1 dH 2 Q1 F2 K2 H 2 dt F1 dt
由(1)(5)得
由(3), (5), (6)
1 H1 Q1dt F2 H 2 K 2 H 2 dt F 1
2.3.1 拉普拉斯(Laplace )变换
2.3.1.1 定义
拉氏变换的定义 其中 x(t)---原函数, X(s)---象函数,
L x(t ) X (s) 0 x(t )e dt
l


st
复变量 s = + j
拉氏反变换的定义
x(t ) L X (s)
1
2.2.1 建立模型的方法
2.2.2 建立模型举例
2.2.2.1 机械系统 2.2.2.2 电气系统 2.2.2.3 液力系统
2.2.2.4 热力系统
2.2.3 物理系统的相似性
2.2.1 建立模型的步骤
划分系统元件, 确定各元件的输入和输出 根据物理化学定律列写各元件的动态方程 式, 为使问题简化可忽略次要因素
J T
d 2 d J 2 f T dt dt
f

2.2.2.2 建模举例---电气系统
1). RLC 电路
Ui
R L
C
Uo
已知: RLC 电路如图 . 求: 以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式. 解: 根据基尔霍夫定律 U
di 1 U i U R U L U 0 Ri L idt dt C 消去中间变量，



(6)
1 dH 2 F2 K 2 H 2 K1 F dt 1

Q1dt F2 H 2 K 2 H 2dt H 2
F2
dH 2 KK KF K 2 H 2 K1 H 2 1 2 H 2 dt 1 2 H 2 dt F1 F1
已知: 流量 Q1,Q2,Q3; 截面 F1,F2; 液位 H1,H2; 液阻 K1,K2
Q1 H1 H2
F1
K1 Q2
F2
K2
Q3Biblioteka 求: 以Q 1为输入，H2 为输出的系统动态方程式.
2.2.2.3 建模举例---液力系统
2). 双容水箱(续1)
dH1 1 Q1 Q2 dt F1 dH 2 1 Q2 Q3 F dt 2 (1)
第三节
拉氏变换与传递函数
2.3.1 拉普拉斯(Laplace )变换 2.3.1.1 定义 2.3.1.2 典型函数的拉氏变换 2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理 2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程 2.3.2 传递函数 2.3.2.1 定义 2.3.2.2 传递函数的求取方法 2.3.2.3 传递函数的性质