高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（B）9(B)-3课件

答案：B
3 ． 如 图 所 示 ， 已 知 △ ABC 为 直 角 三 角 形 ， 其 中
∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平
面，那么
()
A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC 答案：M是Rt△ABC斜边AB的中点， ∴MA＝MB＝MC. 又∵PM⊥平面ABC，∴MA、MB、MC分别是PA、PB、 PC在平面ABC上的射影．∴PA＝PB＝PC.应选C. 答案：C
(1)若D是BC的中点，则AD与CC1面交侧棱于M，若 AM＝MA1，则截面MBC1与侧面BB1C1C的关系是______． 答案：(1)垂直 (2)垂直
三、三垂线定理应用失误
3．如下图，A∉平面α，AB、AC是平面α的两条斜线，
思路点拨：(1)“射影”与“垂直”相连，“证线面垂 直，先找线线垂直”；
(2)“垂心”是“高”的交点，线线垂直，由此根据三 垂线定理去找；
(3)“重心”的性质是把中线分为2 1，“平行”当然 由平行截割定理而得到．
解答：(1)∵AD＝BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴△ABD≌△ACD，AB＝AC. 又∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴AB＝BC. ∴△ABD≌△BCD，∴△BDC为直角三角形， ∠BDC＝90°，BD⊥CD. 又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.
(3) 连 结 MB ， 延 长 BM 交 AD 于 M′ ， 连 结 BN 并 延 长 交 CD于N′.连结M′N′，
在△BM′N′中，M，N分别为△ABD与△BDC的重心，
∴MN∥M′N′，M′N′⊂平面ACD，MN⊄平面ACD， ∴MN∥平面DAC.
拓展提升：三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂 直关系：一是直线与平面垂直；二是平面内一条直线与斜 线的射影(或斜线)垂直；三是这条直线与斜线(或射影)垂 直，构成定理的五个元素是“一面四线”．运用三垂线定 理及其逆定理的步骤是：确定平面→作出垂线→找到斜线 →连成射影→找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线.
(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD， ∴PD⊥DC，△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边 PC的中线， ∴DE⊥PC，①又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC， ∴BC⊥平面PDC.
而DE⊂平面PDC.∴BC⊥DE.② 由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC， ∴DE⊥PB，又DF⊥PB且DE∩DF＝D， 所以PB⊥平面EFD.
●基础知识
一、直线与平面垂直 任意一 1．定义：如果一条直线l和一个平面α内
条直线都垂直 ，那么就说这条直线l和平面α 互相垂直．
(3)其它方法
二、两个平面垂直 1．定义：两个平面相交，如果 它们所成的 ，就
二面角是直二面角 说 这 两 个 平 面 互 相 垂 直．
2．判定定理：
●易错知识 一、对面面垂直的定义、定理或性质理解不透 1．与一个平面都垂直的两个平面的位置关系是 ______． 答案：平行或相交 二、化归与转化思想应用错误 2．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是 等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
【例2】 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)． (1)求证：B1D⊥BC1； (2)求证：B1D⊥面ACD1； (3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DO OB1＝1 2.
[证明] (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴ DC⊥ 面 BCC1B1 ， B1D 在 面 BCC1B1 内 的 射 影 为 B1C.∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C. ∴BC1⊥B1D，即B1D⊥BC1.(三垂线定理) (2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直， 同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1. (3)设AC与BD的交点为O′，
⑦若α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ(√) ⑧若α⊥β，m∥β，则m⊥α(×) ⑨若线段AB、CD在同一平面α内的射影相等．则AB ＝CD(×) ⑩在平面α内总能找到一条直线与直线m垂直(√)
2．(2009·北京丰台一模)已知直线m⊂平面α，直线n⊂ 平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的
(2)如图所示，设D在△ABC内的射影为H′，连结CH′延 长并交AB于E，
∵CD⊥AD，且CD⊥DB， ∴CD⊥面ADB， ∴CD⊥AB，由三垂线定理得CE⊥AB. 同理，连结BH′并延长交AC于F，BF⊥AC ∴H′ 为 △ ABC 的 垂 心 ， 即 D 在 平 面 ABC 内 的 射 影 为 △ABC的垂心， ∴H′与H重合，H是D在平面ABC内的射影．
(1)求证：BC⊥面D1DB； (2)求D1B与平面D1DCC1所成角的大小． 答案： 解法一：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱， ∴DD1⊥平面ABCD ∴BC⊥D1D ∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴四边形ABCD为直角梯形． 又∵AB＝AD＝1，CD＝2， ∴BC⊥DB. ∵D1D∩DB＝D， ∴BC⊥平面D1DB.
[解答] (1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中 点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BG⊥平面PAD. (2)证明：连接PG，因为△PAD为正三角形， G为AD的中点，得PG⊥AD， 由(1)知BG⊥AD， PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB， 所以AD⊥PB.
(2009·湖南长沙联考19)如下图，在四棱锥P－ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， 侧 棱 PD⊥ 底 面 ABCD ， PD ＝ DC. 过 BD 作 与 PA 平 行 的 平 面 ， 交 侧 棱 PC 于 点 E ， 又作 DF⊥PB，交PB于点F.
(1)证明：点E是PC的中点； (2)证明：PB⊥平面EFD. 证明：(1)连结AC，交BD于O，则O为AC的中点，连 结EO. ∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE， ∴PA∥OE. ∴点E是PC的中点；
() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：若“直线c⊥平面α”则直线c垂直于平面α内的 所有直线，而m⊂平面α，直线n⊂平面α，所以“直线c⊥m， 直线c⊥n”必要性成立．若直线m⊂平面α，直线n⊂平面α， “直线c⊥m，直线c⊥n”，当m∥n时，直线c与平面α不一 定垂直，充分性不成立．
[探究拓展] (1)证明面面垂直，关键是寻找一个平面 内的直线与第二个平面垂直，即将证明面面垂直转化为证 明线面垂直，利用判定定理证明．也可作出二面角的平面 角，证明平面角为直角．利用定义证明．
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何的一个基 本原则．解题时要抓住几何图形的自身特点，如等腰(边) 三角形的三线合一，中位线定理，菱形的对角线互相垂直 等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件， 对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题
【例3】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三 角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，
(1)求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使 平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． [分析] (1)题中可证BG⊥AD，利用面面垂直的性质 定理得出结论． (2)题欲证AD⊥PB可先证AD⊥平面PBG，再利用线面 垂直的性质定理得出结论． (3)由(2)可知平面PBG⊥平面ABCD，欲使平面DEF⊥ 平面ABCD，只需使平面DEF∥平面PBG即可．
(2)解法一：如图所示，设F是AB的中点，连结DF、
DC1、C1F.由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质及D是A1B1的中 点知，A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF.
又C1D∩DF＝D，所以A1B1⊥平面C1DF. 而AB∥A1B1，所以AB⊥平面C1DF. 又AB⊂平面ABC1，故平面ABC1⊥平面C1DF. 过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1. 连结AH，则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角．
则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1， 则O′D1∩B1D＝O，
[反思归纳]用三垂线定理及其逆定理要注意：一定平 面；二定垂线；三找斜线，射影即现．主要用来证明线线 垂直．
如图所示，△ADB和△ADC都以D为直角顶点的直角 三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
(1)求证：BD⊥平面ADC； (2)若H为△ABC的垂心， 求证：H是D在平面ABC内的射影； (3)若M，N分别是△ABD与△BCD的重心， 求证：MN∥面ADC.
(2009·湖 南 ， 18) 如 图 所 示 ， 在 正 三 棱 柱 ABC －
A1B1C1中， 且DE⊥AE.
点 D 是 A1B1 的 中 点 ， 点 E 在 A1C1 上 ，
(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值． 解析：(1)由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平 面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1. 而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1. 又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.
1．在直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关 系的推理论证中，应熟练掌握其性质定理及判定定理，使 三种垂直关系得以循环转化．而三种垂直关系中，直线与 平面垂直是核心．
2．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面 的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来 解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面 内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化 为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间 的转化条件是解决这类问题的关键．
(3)解：当F为PC的中点时， 满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE、EF、DF， 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中， GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF， EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB， 因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， ∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD.
(2)取DC中点E，连结BE、D1E.如图． ∵DB＝BC，
∴BE⊥CD.
∵ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱， ∴平面ABCD⊥平面D1DCC1. ∴BE⊥平面D1DCC1. ∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影， ∴∠BD1E为所求角．
解法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系D－xyz， D(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．
O是A在平面α内的射影，
BO⊥OC ，
∠OBA＝30° ，则C到AB的距离为________．
●回归教材 1．判断下列命题的真假． ①若m∥α，m⊥β，则α⊥β(√) ②若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β(√) ③若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α(× ) ④若m是n在α内的射影，且l⊥n，则l⊥m(× ) ⑤若m⊥α，α∥β，则m⊥β(√) ⑥若m⊥α，n⊥α，则m∥n(√)
4．(2009·泰安模拟)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB ＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上 一个动点，则PM的最小值为________．
答案：如右图，作CH⊥AB于H，连结PH， ∵PC⊥面ABC，∴PH⊥AB， 则PH为PM的最小值，等于2. 答案：2
【例1】 (2009·北京崇文一模)如图所示，已知直四 棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝AD＝1，DD1＝ CD＝2，AB⊥AD.