内蒙古自治高一上学期期中考试数学试卷

内蒙古自治区通辽市甘旗卡2013年高一上学期期中考试
数学试卷
注意：1．答卷前，将姓名、考号填在答题卡的密封线内。

2．答案必须写在答题纸上，在试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成 （ ） A ．棱锥 B ．棱柱 C ．平面 D ．长方体
3．已知集合}1,log |{3>==x x y y A ，}0,3|{>==x y y B x
，则A ∩B ＝( )
A ．}310|{<<y y
B ．}0|{>y y
C ． }13
1
|{<<y y D ．}1|{>y y 4．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2
B ．3x ＋1
C ．3x －1
D ．3x ＋4
5．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y =
B ．22x y -=
C ．13+=x y
D ．2)1(-=x y
6
A B C D
7．下列四个函数：①3y x =-；②211y x =+；③2
210y x x =+-；④(0)
1(0)x x y x x
⎧-≤⎪=⎨-
>⎪⎩.
其中值域为R 的函数有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3， (x >10)，
f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为 ( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．24
9．函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=-0
,0
,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围是 （ ）
A ．{}11<<-x x
B ． {}1->x x
C ．}20|{-<>x x x 或
D ．}11|{-<>x x x 或
10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P 且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x |1<x <3}，那么P －Q 等于( )
A ．{x |0＜x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |2≤x ＜3}
11．若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )
A ．
42 B ． 22 C ． 41 D ． 2
1 12．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝1
2log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )
A ．x >y >z
B ．x >y >x
C ．y >x >z
D ．z >x >y
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13.=+
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛++-
-48
37
3271021.0)
9
72(03
225
.0π .
14．已知幂函数()y f x =的图象过2,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则()9f ＝_________ .
15．函数)10(11
≠>+=-a a a
y x 且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 _______.
16．关于函数2
2log (23)y x x =-+有以下4个结论:
① 定义域为(,3](1,);-∞-⋃+∞ ② 递增区间为[1,);+∞ ③ 最小值为1; ④ 图象恒在x 轴的上方，其中正确的有 .
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，集合B ＝{x |x <－1或x >5}，分别就下列条件求实数a 的取值范围：
(1)A ∩B ≠∅，(2)A ∩B ＝A .
18．(本小题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm 与60cm,现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
19．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求当x <0时，f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．
20. (本小题满分12分)已知函数()l o g (1a f x x =+，()log (1)a g x x =-，其中(01)a a >≠且,设
()()()h x f x g x =-．
(1)判断()h x 的奇偶性，并说明理由；
(2)若(3)2f =，求使()0h x >成立的x 的集合．
21. (本小题满分12分)若f(x)是定义在（0, +∞）上的增函数，且对一切x, y>0，满足f(
y
x
)=f(x)－f(y). （1）求f(1)的值；
（2）若f(6)=1，解不等式f(x+3)－f(3
1)<2.
22. (本小题满分12分)为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与
t 的函数关系式为
a
t y -⎪⎭
⎫ ⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式;
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.
高一数学参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13.100 14. 1
3
15. ()1,2 16.②③④ 三．解答题
17. (本题满分10分)解： (1)因为A ∩B ≠∅，所以a <－1或a ＋3>5，即a <－1或a >2.
(2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋3<－1，即a >5或a <－4. 18. (本题满分12分)如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ， 则AF ＝40－y .
∵△AFE ∽△ACB .∴AF AC ＝FE BC 即∴40－y 40
＝x 60∴y ＝40－2
3x .剩下的残料面积为：
S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200＝23
(x －30)2＋600
∵0<x <60∴当x ＝30时，S 取最小值为600，这时y ＝20.
∴在边长60cm 的直角边CB 上截CD ＝30cm ，在边长为40cm 的直角边AC 上截CF ＝20cm 时，能使所剩残料最少．
19．(本题满分12分)解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2
＋2x ，
又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴当x <0时，f (x )＝x 2
＋2x .
(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－2x ，x ≥0，x 2
＋2x ，x <0.
)
作出f (x )的图象如图所示：
由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
f (x )的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)．
20．(本题满分12分)解：(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，
即x>－1，
x<1.∴函数f(x)的定义
域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)， ∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)， h(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝log a (1－x)－log a (1＋x) ＝g(x)－f(x)＝－h(x)， ∴h(x)是奇函数． (2)由f(3)＝2，得a ＝2.
此时h(x)＝log 2(1＋x)－log 2(1－x)， 由h(x)>0即log 2(1＋x)－log 2(1－x)>0， ∴log 2(1＋x)>log 2(1－x)． 由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x 的集合是{x|0<x<1}． 21. (本题满分12分)（1）令1x y ==⇒()10f = （2）易知30x +> ①， 又由()()()()13333x f f x f y f x f f x y ⎛⎫
⎛⎫
=-⇒+-=+⎡⎤
⎪ ⎪⎣⎦
⎝⎭
⎝⎭
即()()()33266f x f f +<=+⎡⎤⎣⎦，()()()()3336662x f x f f f f +⎛⎫
+-<⇒<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，由()f x 在()0,+∞上单调递增，所以
3
62
x +< ②，由①②知39x -<< 22．(本题满分12分)解：（1）依题意： [0,0.1], ()t y kt t ∈=当时设为常数， 由图可知，图象过点（0.1,1）]1,1.0[(10101.01∈=∴=∴=∴t t y k k
当),1[+∞∈t 时，)
()16
1(
为常数a y a
t -=
由图可知，图象过点（0.1,1）
1
.0)16
1
(11.0=∴=∴-t a
综上：⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈=-)
,1.0()161
(]1.0,0[101.0t t t y t
（2）依题意),1.0[+∞∈t 1
0.1211()
0.25()1616
t -∴<= 因为
1()16
x
y =在R 上是减函数 0.10.5
t t ∴->∴>
至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室。