北京市丰台区2022届高三数学下学期（3月）统一练习（一）理（丰台一模，含解析）

丰台区2022年高三年级第二学期统一练习（一）
数学（理科）
一、选择题 =
1
i i
-在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【答案】A 【解析】
211111i i
i i i i
-=-=-=+,所以复数对应点的坐标为(1,1)，为第一象限，选A 2 设为等比数列的前项和，3420a a +=，则
3
1
S a A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】B
【解析】在等比数列中，由3420
a a +=得4
3
2a q a
=-=，所以331118311(2)
S q a q -+===---，选B 3 执行右边的程序框图，输出的值是 A 3 B 4 C 5 D 6 【答案】A
【解析】第一次循环，2,03b
a a
=
=，不满足条件，循环，此时22,3k b ==。

第二次循环，22832(),394b a a =⨯==，不满足条件，循环，此时8
3,9
k b ==。

第三次循环，3283(),139b
a a
=⨯==，满足条件，此时输出3k =。

选A
4．已知变量满足约束条件1
101x y x x y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则的最大值是
A B C 1 D 【答案】B
【解析】作出可行域如下图阴影所示：由11x y x y +=⎧⎨
-=⎩得1
x y =⎧⎨=⎩，所以B (1,0)，令=2，则当直
线=﹣2经过点B 时该直线在轴上的截距最大，ma =2×10=2，所以的最大值是e 2
．选B ．
:(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是
A p q ∧
B ()p q ∧⌝
C ()p q ⌝∧
D ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【
解
析
】
由
题
意
可
知
命
题
(0,),32x x x ∀∈+∞>(,0),32x x x ∃∈-∞>q ⌝q ⌝,a Z ∈260x x a -+≤2()6f x x x a
=-+3
x =2
60x x a -+≤(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩
(2)4120
(1)160f a f a =-+≤⎧⎨
=-+>⎩58a <≤a Z
∈6,7,8a =lg()lg lg x y x y +=+(0,)+∞(1,)+∞(1,)+∞(1,)+∞lg()lg lg x y x y +=+00x y x y xy
>>⎧⎨
+=⎩，2
()2
x y x y xy ++=≤4x y +≥x y xy
+=111()1(1)111x x y f x x x x x -+==
==+≠---，()f x (1,)+∞221y x =+(,)C a b 4a ，2
4
b a =
221
y x =+1
d r a ≤=+221
1
2
a b a -++≤+24
b a =
22
(1)222(1)24
b b -+≤+2(21)44(21)0b b +-≥2b ≥(642)b ≤-+2b =
O
P
D F
E
1x t y t =⎧⎨=-⎩cos sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩(θ是参数）22
1x y +=10x y +-=12d =2
121(
)22
-=23,1PF PD =+=EFD ∠=1(23)PE =⋅+1
2323PE =
=-+23EF PF PE =-=23-23
-CD BE ⋅=
31(,)22
E 31
(1,1),(,)
22
CD BE =-=3131
(1,1)(,)1
2222
CD BE ⋅=-⋅=-+=-25
+
25
+{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥x M ∈2k x M
-∈(2)f =
()f k =21k -2k 21k -()21k f k =-2(2)213f =-=22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-3[,]44ππ
1()f x x a =
+2()3g x bx x =+()()()h x f x g x =-[3,)a ∈+∞()()()
g x x f x ϕ=≠0交椭圆C 于不同的两点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）若存在求出 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20． 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
① 1230n a a a a +++
+=；
② 1231n a a a a +++
+=
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某21*k N ∈阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前项和为(1,2,3,,)k S k n =，
试证：（1）2
1≤k S ； （2）1
11.22n
i
i a i
n
=≤
-∑
丰台区2022年高三年级第二学期统一练习（一）
N
C
D
M
E
数学（理科）参考答案
一、选择题
二 填空题
9 ； 10 30； 11． ，15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12 -1； 13 2 14 3，21k
-第一个空2分，第二个空3分。

三、解答题
15 （本题13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在3[,]44
ππ
上的值域
解：（Ⅰ）2
()1sin 22cos )4
f x x x x π
=+-=
-， (3)
分
最小正周期T=, …………………………………………………………………………………
4分 单
调
增
区
间
3[,]()88k k k Z π
π
ππ-
+
∈, …………………………………………………………7分
（Ⅱ）33,24422x x ππππ≤≤∴≤≤， 52444x πππ∴≤-≤， ………………………………………………………………………………10分 在3[
,]44
ππ
上的值域是[1- ………………………………………………………13分
16．（本题14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且1=NB ，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求
ME
MN
的值
解：（Ⅰ）∵ABCD 是正方形, ∴BC ∥AD
∵BC ⊄平面AMD,AD 平面AMD, ∴BC ∥平面AMD ∵NB ∥MD,
∵NB ⊄平面AMD,MD 平面AMD, ∴NB ∥平面AMD
∵NBBC=B,NB 平面BCN, BC 平面BCN, ∴
平
面
AMD ∥
平
面
BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM 平面AMD, ∴AM ∥
平
面
BCN …………………………………………………………………………………………4分 也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分
（Ⅱ）⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分
则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N
)1,2,0(=AN , ………………………………………6分 )1,2,2(-=MN ，)2,2,0(-=MC ,
设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,
则⎩
⎨⎧=-=-+0220
22z y z y x ，令，则()1,2,2,n =- … 7分 设AN 与平面MNC 所成角为,
55
23
52122cos sin =
⨯⨯+⨯=
=θ ……9分 （Ⅲ）设(,,)E x y z ，ME
MN λ=，ME MN λ∴=，
又
(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，
E 点的坐标为(2,2,2)λλλ-， …………………………………………………………………11分
AD ⊥面MDC,AD MC ∴⊥，
欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，
(22,2,2),AE λλλ=--(0,2,2)MC =-，
0AE MC ⋅=42(2)0λλ∴--=，
23λ∴=
2
3
ME MN = ………………………………………………………………………………14分
17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值。

解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分
则211
422211644110C C C C C C ⋅⋅=110382526311448C C ⋅⋅=2526131448C C ⋅⋅=125
52
266113448
C C C C +⋅⋅=
381818381()f x x a =+2()3g x bx x =+()()()h x f x g x =-[3,)a ∈+∞()
()()
g x x f x ϕ=
21()()()23()h x f x g x bx x a '''=-=---+(1)0,(1)0.h h =⎧⎨'=⎩2
1
30,11230.(1)
b a
b a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩0,2,a b =⎧⎨=-⎩
4,36.
a b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩()()
g x f x 8b a
=
28()()(3)
x x a x x a
ϕ=++221
1()(24223)(43)(6)
x x ax a x a x a a
a
ϕ'=++=++()0
x ϕ'=34x a =-16
x a
=-[)3,a ∈+∞3146a a -<-34x a <-16x a >-()0x ϕ'>31
46a x a -<<-()0
x ϕ'<31(,),(,),(,)46a a a a -∞----+∞31(,)46a a --[3,)a ∈+∞3944a -≤-162a -≤-2
6a
-≤-12a ≥64(2)446a a ϕ-=-+-216a -<-<-612a <<6a -(,1]6a --()6a ϕ-=2
25108
a
-16a -≥-36a ≤≤8(1)113a a ϕ-=-+-36a ≤≤8113a a -+-612a <<225108a -12a ≥64
446a a
-+-≠0交椭圆C 于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在的值，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3），若存在求出 的取值范围，若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b
+=()0a b >>，由题意
22224
42
1
a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得28a =，2
4b =，所以椭圆C 的方程为22184x y += ……………………5分
（Ⅱ）假设存在斜率为的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A 1,1、B 2,2，AB 的中点为N 0,0,
由
22
184x y y kx m ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
得
222(12)4280k x mkx m +++-=, ……………………………………………6分 222222164(12)(28)648320
m k k m k m ∆=-+-=-+>，
所
以
22840k m -+>,……………7分 122
412mk
x x k +=-
+,
12022212x x mk x k +==-+，002
12m y kx m k
=+=+, (8)
分
线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3），
1NQ k k ⋅=-，即
00
3
1y k x -⋅=-，236m k -=+， ………………………………………10分
0∆> ，
整理得4
2
362850k k ++<，显然矛盾不存在满足题意的的值。

……………………………13分
20．（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
① 12
30n a a a a ++++=；
② 1231n a a a a +++
+=
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某21*k N ∈阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前项和为(1,2,3,
,)k S k n =，
试证：（1）21≤k S ； （2）111.22n
i i a i
n =≤-∑
解：（Ⅰ）数列11
,0,22
-为三阶期待数列 (1)
分
数列
3113
,,,8888
--为四阶期待数列,………………………………………3分其它答案酌情给分
（Ⅱ）设等差数列12321,,,
,(1)k a a a a k +≥的公差为，
123210k a a a a ++++
+=，
12(21)(21)0,2
k k d
k a +++=所以10a kd +=，
即
10
k a +=，
2,k a d +∴= ………………………………………………………………………4分
当
d=0
时
,
与
期
待
数
列
的
条
件
①
②
矛
盾， ……………………………………………………………5分 当d>0时,据期待数列的条件①②得：
23211
,2
k k k a a a +++++
+=
(1)11
,22(1)
k k kd d d k k -+
==
+即 由10k a +=得1111
0,(1)1
a k a k k k +⋅
==-++即，
111
(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n k k k k k k k *=-
+-=-∈≤++++ (7)
分
当d<0时， 同理可得(1)11
,22(1)
k k kd d d k k -+
=-=-
+即 由10k a +=得1111
0,(1)1
a k a k k k -⋅
==++即，
111
(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n n k k k k k k *=
--=-+∈≤++++………………………8分
（Ⅲ）（1）当=n 时，显然1
02
n S =≤成立；…………………………………………………9分
当<n 时，据条件①得
1212()k k k k n S a a a a a a ++=++
+=-++⋅⋅⋅+，
即
n
k k k k a a a a a a S +++=+++=++ 2121，
12122k k k k n S a a a a a a ++=++
++++
+
12121k k k n a a a a a a ++≤++++++
+=,
1(1,2,3,,).2k S k n ≤=……………………………………………………………………11分
311241(2)12341n i n n i a a a a a a a i n n
-==++++++-∑ 32431212112341n n n n S S S S S S S S S S S n n --------=+
+++++- 311242233445
(1)n n S S S S S S n n n -=
++++++⨯⨯⨯- 311242233445(1)n S S S S S n n -≤
+++++⨯⨯⨯-11111122233445
(1)n n ⎛⎫≤+++++ ⎪⨯⨯⨯-⎝⎭ 111111111122233445
1n n ⎛⎫=+-+-+-++-= ⎪-⎝⎭11.22n - ………………………………14分。