高二数学上学期第三次统考期中试题 理 试题

舒城中学2021—2021学年度第一学期期中考试
高二理数
〔总分：150分 时间是：120分钟〕
一、选择题：本大题12小题，每一小题5分，一共60分。

1．直线10x ++=的倾斜角等于
〔 〕
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
23π D ．56
π 2．在空间直角坐标系中，点M (a ，b ，c )，有以下表达：
①点M 关于x 轴对称点的坐标是M 1(a ，－b ，c )； ②点M 关于y oz 平面对称的点的坐标是M 2(a ，－b ，－c )； ③点M 关于y 轴对称的点的坐标是M 3(-a ，b ，－c )； ④点M 关于原点对称的点的坐标是M 4(－a ，－b ，－c )． 其中正确的表达的个数是
( ) A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．设m 、n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，以下命题正确的选项是
〔 〕
βαβα||,||,,则n m n m ⊂⊂βαβα⊥⊥⊂⊂则,,,n m n m
n m n m ||,||,,则βαβα⊂⊂n m m n m ⊥⊥⊂⊂则,,,ββα
4．不等式x 2
＋2x <a b ＋16b
a
对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么实数x 的取值范围是
( )
A ．(－2,0)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
5．数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且63132S a a =+，给出以下结论：
①010=a ；②最小10S ；③127S S =；④019=S ．其中一定正确的结论是
〔 〕 A ．①②
B ．①③④
C ．①③
D ．①②④
6．函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f 的最大值为2，其图象相邻两条对称
轴之间的间隔 为
2π且)(x f 的图象关于点)0,12
(π
-对称，那么以下判断正确的选项是 〔 〕
A ．要得到函数)(x f 的图象，只需将x y 2cos 2=的图象向右平移
6
π
个单位 B ．函数)(x f 的图象关于直线π12
5
=
x 对称 C ．当]6
,6[π
π-
∈x 时，函数)(x f 的最小值为2- D ．函数)(x f 在]3
,6[
π
π上单调递增 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的
三视图，那么该多面体的外表积为〔 〕 A ．24223+
B
．2+
C.2+ D
．8+
8． △ABC 的面积为S,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,假设22
4()s a b c =--,4bc =,
那么S=( )
A.2
B.4
C.3
D.32 9. 向量与AC 的夹角为
3
π
，),(,3||,2||R AC AB AM AC AB ∈+===μλμλ，且⊥，那么
=
μλ
〔 〕 A ．
6
1 B ．6
C ．
4
1
D ．4
10．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点分别为12F F 、，A B 、为其左右顶
点，以线段12F F 、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且
30MAB ∠=，那么双曲线的离心率为
( )
A
11．实数,x y 满足430,
40,1.x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
那么22
xy x y +的最大值为
( ) A ．
1
2
B ．
91
218
C. 310 D ．34
12．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 2
1
:,21:21-==，过椭圆上一点P 作2
1,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．假设||MN 为定值，那么
=b a
〔 〕
A ．2
B ．4
C ．2
D ．5
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分. 13．设向量,满足
，，那么=
14. 抛物线2
:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一．．
象限内．．．
)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .假设四边形AFPQ 的周长为16，那么点P 的坐标为__________ ．
15. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出如今第1行；数字2,3出
如今第2行；数字6,5,4〔从左至右〕出如今第3行；数字7,8,9,10出如今第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．
16. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 114
1
,21,==
，那么四面体OEBF 的体积为 ．
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

17.〔本小题满分是12分〕 △ABC 中，C (2，5)，角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，BC
边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1，求B 点的坐标．
18. 〔本小题满分是12分〕圆C 的圆心在直线x ﹣2y+4=0上，且与x 轴交于两点A 〔﹣5，
0〕，B 〔1，0〕．
〔1〕设圆C 与直线x ﹣y+1=0交于E ，F 两点，求|EF|的值； 〔2〕Q 〔2，1〕，点P 在圆C 上运动，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
19. 〔本小题满分是12分〕 数列}{n a 满足11=a ，111
122n n
a a +=+〔*N n ∈〕。

〔1〕求数列}{n a 的通项公式； 〔2〕假设1223116
(33)
n n a a a a a a ++++>，求n 的取值范围
20. 〔本小题满分是12分〕如下图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和
抛物线的一段构成，为保证平安，要求行驶车辆顶部〔设为平顶〕与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有．
〔1〕以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系〔如图〕，
求该抛物线的方程；
〔2〕假设行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？〔准确到〕
21. 〔本小题满分是12分〕 如图，在三棱DEF ABC -，平
面⊥BCFE 平面ABC ，︒
=∠90ACB ，1===FC EF BE ，2=BC ，3=AC 。

〔1〕求证：BF ⊥平面ACFD ；
〔2〕求二面角F AD B --的平面角的余弦值。

22. 〔本小题满分是12分〕 设()11,A x y ， ()22,B x y 是椭圆()22
2210y x a b a b
+=>>上的
两点，短轴长为2，向量11,x y m b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22,x y n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
且m n ⊥， O 为坐标原点.
〔1〕假设直线AB 过椭圆的焦点()0,F c ，〔c 为半焦距〕，求直线AB 的斜率k 的值； 〔2〕试问：AOB ∆的面积是否为定值？假如是，请给予证明；假如不是，请说明理由.
期中参考答案
1—12: DBDC BAAA BBAC
13—16: 1; (4，4); 194;
17. 解：依条件，由解得A(1，1)．
C(2，5)关于y＝x的对称点C'(5，2)在AB边所在的直线上．
AB边所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0．
BC边所在的直线的方程是y＝―(x－2)＋5，整理得x＋2y－12＝0．
18. 〔1〕由圆C与x轴交于A〔﹣5，0〕，B〔1，0〕，可得圆心C在AB的中垂线上，
即C在直线x=﹣2上，与x﹣2y+4=0联立，可得C〔﹣2，1〕，
半径r==，那么圆C的方程为〔x+2〕2+〔y﹣1〕2=10，
圆心到直线x﹣y+1=0的间隔 d==，那么|EF|=2=2=4；〔2〕设M〔x，y〕，M为PQ的中点，且Q〔2，1〕，可得P〔2x﹣2，2y﹣1〕，
由P在圆C上运动，将其坐标代入圆C的方程可得，〔2x﹣2+2〕2+〔2y﹣1﹣1〕2=10，
即为x2+〔y﹣1〕2=．那么线段PQ中点M的轨迹方程为x2+〔y﹣1〕2=．
19. 〔1〕由可得：所以数列是等差数列，首项，公差∴∴
〔2〕∵
∴
∴解得()
20. 如下图
〔1〕依题意，设该抛物线的方程为x2=-2py〔p＞0〕
因为点C〔5，-5〕在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2=-5y
〔2〕设车辆高h，那么|DB|=h+0.5故D〔3.5，h-6.5〕代入方程x2
答：车辆通过隧道的限制高度为．
21. .解：〔1〕延长AD、BE、CF交于点O,如右图1：
∵平面⊥平面ABC，平面，，
∴平面，又平面，
∴；，，
∵∥∴，分别为中点，
∴，⊥。

∵平面，∴⊥平面；
（2）如图2，过作OA的垂线，垂足为G，连结GF，
∵⊥，⊥，
∴⊥平面，即为二面角的平面角
∵，∴△中，；
∵平面，
∴⊥，即△中，，，∴，又⊥，∴。

∵⊥，∴
，∴二面角的余弦值为。

22. 〔1〕由题可得：，，所以，椭圆的方程为
设的方程为：，代入得：
∴，，
∵，∴，即：
即，解得：
〔2〕①直线斜率不存在时，即，
∵∴，即
又∵点在椭圆上∴，即∴，
∴，故的面积为定值1
②当直线斜率存在时，设的方程为，
联立得：
∴，，
∵，∴，即：
即：，化简得：
∴
=，所以三角形的面积为定值1. 创作人：历恰面日期：2020年1月1日。