2019-2020学年广东省肇庆市新高考高一数学下学期期末达标检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2．设a R ∈，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则（ ） A ．(
)
2
724f a a f ⎛⎫++>
⎪⎝⎭
B ．(
)
2
724f a a f ⎛⎫++<
⎪⎝⎭ C ．(
)
2
724f a a f ⎛⎫
++≥
⎪⎝⎭
D ．(
)
2
724f a a f ⎛⎫++≤
⎪⎝⎭
3．已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 5+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A ．
125
216
B ．
827
C ．
49
D ．
14
5．已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数相同， 平均数也相同，则图中的,m n 的比值
m
n
等于
A ．38
B ．
29
C ．
13
D ．
12
6．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．3
C ．6
D ．2
7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）
A ．
78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
263
B ．
283
C ．10
D ．
323
9．已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是π
6
x =，则函数()()2sin g x x f x =⋅的最大值为（ ） A ．5
B ．3
C 5
D 310．在正方体1111ABCD A B C D -中，
E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A 3B 5C ．
12
D ．
23
11．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）
A ．
25
B ．
12
C ．
35
D ．
34
12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos2θ=（ ） A ．45
-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
二、填空题：本题共4小题
13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．
14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若112tan tan tan A C B +=，则2
22
b a c
=+_____. 15．若点()11,A x y ，()22,B x y 是圆C ：221x y +=上不同的两点，且12121
2
x x y y +=，则+OA OB 的值为______.
16．从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人到一个单位实习，余下的两人到另一单位实习，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知(),0,αβπ∈，且572
cos ,cos ==-
αβ. (1)求cos2α的值； (2)求2-αβ的值.
18．已知数列{}n a 满足14?=3n n a a --（2n ≥，且*n N ∈），且134a =-，设14
23log (1)n n b a +=+，*n N ∈，数列{}n c 满足()1n n n c a b =+.
（1）求证：数列{}1n a +是等比数列并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ；
（3）对于任意*n N ∈，[]0,1t ∈，2
1
2
n c tm m --
恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（6分）如图，已知ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，1DC =，F 是BE 的中点，
求证：（1）FD ∥平面ABC ； （2）AF ⊥平面EDB.
（3）求几何体ED BAC -的体积. 20．（6分）在平面直角坐标系中，已知
，
，动点
满足
，设动点的轨迹为曲
线．
（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）过点
的直线与曲线交于
两点，若
，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：
过
三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
21．（6分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2
2sin 3cos()0A B C ++=．
（1）求角A 的大小； （2
）若a =
2b =，求ABC 的面积．
22．（8分）已知不经过原点的直线m 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,2P 在直线m 上. （1）求直线m 的方程；
（2）过点P 作直线n ，若直线n ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，求直线n 的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
由数列为等比数列，则2421321
...n
n a a a q a a a -+++=++，结合题意即可得解.
【详解】
解：因为数列为等比数列， 设等比数列的公比为q ， 则2421321
...n
n a a a q a a a -+++=
++，
又是奇数项之和的3倍， 则3q =， 故选：B. 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，重点考查了等比数列公比的运算，属基础题. 2．C 【解析】 【分析】
首先比较自变量22a a ++与74
的大小，然后利用单调性比较函数值2
(2)f a a ++与7()4f 的大小.
【详解】
因为2
21772244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝
⎭， 函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，
所以()
2
2f a a ++74f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
.故选C.
【点睛】
已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小. 3．D 【解析】
由等差数列的性质可得()2581167248a a a a a a +++=+=，则6724a a +=，故选D. 4．C 【解析】 【分析】
有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率． 【详解】
有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个， 由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个， ∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p 964
2169
=
=． 故选C ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 5．A 【解析】 【分析】
从茎叶图提取甲、乙两组数据中的原始数据，并按从小到大排列，分别得到中位数30,33m +，并计算各自的平均数，再根据中位数、平均值相等得到关于,m n 的方程.
【详解】
甲组数据：27,30,39m +，中位数为30m +， 乙组数据：20,32,34,38n +，中位数为：
3234
332
+=， 所以27(30)3996(20)3234381243344
m m n n
x x +++++++++=
===甲乙，，
所以3033,
3,3961248,83
4m m m m n n n +=⎧=⎧⎪
⇒⇒=++⎨⎨==⎩⎪⎩，故选A. 【点睛】
本题考查中位数、平均数的概念与计算，对甲组数据排序时，39一定是最大，乙组数据中20n +一定是最小. 6．D 【解析】 【分析】
几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2. 【详解】
由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形， 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.
∴四棱锥的体积是()12212232
+⨯⨯⨯=.
故选D. 【点睛】
本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法． 7．C 【解析】 【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-．
∴sinAcosB ＝4sinCcosA ﹣sinBcosA 即sinAcosB+sinBcosA ＝4cosAsinC ∴sinC ＝4cosAsinC ∵1＜C ＜π，sinC≠1． ∴1＝4cosA ，即cosA 14
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解． 【详解】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以4S =上底，16S =下底，
∴该正四棱台的体积()
128
416133
V =⨯+⨯=. 故选：B ． 【点睛】
本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题． 9．B 【解析】 【分析】
函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6
x π
=
，可得sin
cos
6
6
a π
π
+=a ．可得函数()g x ，再利用辅助角公式、倍角公式、三角函数的有界性即可得出．
【详解】
函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6
x π
=
，
sin
cos
6
6
a π
π
∴+=，解得a =
则函数
2()2sin ?()2sin (sin )2sin 21cos 222sin(2)136
g x x f x x x x x x x x x π
====-=-+
当sin(2)16
x π
-
=时取等号．
∴函数()2sin ?()g x x f x =的最大值为1．故选B ．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质应用以及利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换． 10．D 【解析】 【分析】
利用//AB CD ，得出异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，然后在Rt ABE ∆中利用锐角三角函数求出
cos BAE ∠.
【详解】
如下图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 四边形ABCD 为正方形，所以，//AB CD ， 所以，异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，
在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，AB BE ∴⊥，
2AB =，225BE BC CE =+=223AE AC CE ∴+=，
在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=，2
cos 3AB BAE AE ∠==， 因此，异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2
3
，故选D.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题． 11．D 【解析】 【分析】
根据几何概型长度型直接求解即可.
【详解】
根据几何概型可知，所求概率为：523
514
p -==- 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题. 12．C 【解析】 【分析】
利用三角函数定义即可求得：cos
θ=，sin θ=，再利用余弦的二倍角公式得解. 【详解】
因为角θ的终边过点()2,1，所以1
tan 2
y x θ==
点()2,1到原点的距离r ==所以cos
x r θ=
=sin y r θ== 所以2
2413
cos2cos sin 555
θθθ=-=
-= 故选C 【点睛】
本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题． 二、填空题：本题共4小题 13．3
52
y x y x =-=-或 【解析】
分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可. 详解：当截距为0时,直线的方程为3
2
y x =-，满足题意； 当截距不为0时,设直线的方程为
1x y a a
+=-, 把点()2,3-代入直线方程可得5a =，此时直线方程为5y x =-. 故答案为3
52
y x y x =-
=-或. 点睛：求解直线方程时应该注意以下问题： 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论； 三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
14．
12
【解析】 【分析】
先利用同角三角函数的商数关系可得
2cos sin sin cos c i o s n s B
A C A B
C +=，再结合正弦定理及余弦定理化简可得2222b a c =+，然后求解即可.
【详解】 解：因为
112
tan tan tan A C B
+=， 则
2cos sin sin cos c i o s n s B
A C A B
C +=， 所以2cos s sin cos cos sin in sin sin B
A C A C C A
B =+，
即2cos sin si i n s sin n B
A C
B B =，
所以2cos b ac b
B =， 则22cos b ac B =， 即2222b a c b =+-， 即2222b a c =+
即222
12
b a
c =+， 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查了同角三角函数的商数关系，重点考查了正弦定理及余弦定理的应用，属中档题.
15【解析】 【分析】
由2
2
2
+2OA OB OA OB OA OB =++⋅，再结合坐标运算即可得解. 【详解】
解：因为点()11,A x y ，()22,B x y 是圆C ：2
2
1x y +=上不同的两点，
则22111x y +=，22
221x y +=，
又121212
x x y y +=
所以2
22
+2OA OB OA OB OA OB =++⋅2211x y =+22
22x y ++12122()3x x y y ++=，
即+3OA OB =
. 【点睛】
本题考查了向量模的运算，重点考查了运算能力，属基础题. 16．
23
. 【解析】 【分析】
求得从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的总数和甲、乙两人不在同一单位实习的方法数，由古典概型的概率计算公式可得所求值． 【详解】
解：从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的方法数为22
426C C =种，
甲、乙两人不在同一单位实习的方法数为11
224C C =种，
则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为4263
=． 故答案为：23
． 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查运算能力，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）35
（2）4π
-
【解析】 【分析】
（1）由22cos 2cos sin =-ααα即可求得； （2）可由()cos 2-αβ的差角公式进行求解 【详解】
（1）由题可知，cos sin =
⇒=
ααcos sin =⇒=ββ， 2
2
22
3cos 2cos sin =555⎛⎛=-=-- ⎝⎭⎝⎭
ααα
（2）4
sin 22sin cos 25ααα===⎝⎭
()34cos 2cos 2cos sin 2sin 5105102⎛⎛⎫⎛⎫
-=+=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
⎝⎭αβαβαβ， 又由前式可判断,2π
βπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，2,2π
απ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，故2,22
ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
，24
π
αβ-=-
【点睛】
本题考查三角函数的计算，二倍角公式的使用，两角差公式的使用，易错点为忽略具体的角度范围，属于中档题
18． (1)见解析（2）2(32)1-334n
n n S +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(3) 3-4m ≤. 【解析】 【分析】
（1）将式子写为：()11
114
n n a a -+=
+得证，再通过等比数列公式得到{}n a 的通项公式. （2）根据（1）得到n b 进而得到数列{}n c 通项公式，再利用错位相减法得到前n 项和n S .
（3）首先判断数列{}n c 的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将0,1t t == 代入不等式，计算得到答案. 【详解】
（1）因为14=3n n a a --，
所以1441n n a a -+=+，()11
114
n n a a -+=
+， 所以{}1n a +是等比数列，其中首项是11
14a +=，公比为14
，
所以114n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，114n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
（2）()(
)*
14
23log 1n n b a n N
+=+∈，
所以32n b n =-，
由（1）知，114n
n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又32n b n =-，
所以()()
n
*132n N 4n c n ⎛⎫=-⨯∈ ⎪⎝⎭
. 所以()()23
1
11111147353244444n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
所以()()2
3
4
1
1111111473532444444n
n n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
两式相减得
()231
31
1111332444444n
n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+++
+--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()1
11-3224n n +⎛⎫
=+⨯ ⎪⎝⎭
.
所以()3221-334n
n n S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.
（3）()()1
111313244n n
n n c c n n ++⎛⎫⎛⎫
-=+-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
()()1
*
1914n n n N +⎛⎫
=-∈ ⎪
⎝⎭
，所以当1n =时，2
114
c
c ==，
当2n ≥时，1n n c c +<，即1234n c c c c c =>>>>，
所以当1n =或2n =时，n c 取最大值是14
. 只需
21142
tm m --， 即2
304
tm m --对于任意[]
0,1t ∈恒成立，即 2
30,4
30,
4m m m ⎧--≥⎪⎪⎨
⎪+≤⎪⎩
所以3
-4
m ≤. 【点睛】
本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N 项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力. 19．（1）见解析（2）见解析（3【解析】 【分析】
（1）如图：证明FD MC ∥得到答案. （2）证明,AF BE AF FD ⊥⊥得到答案.
（3）几何体ED BAC -转化为B ACDE V -，利用体积公式得到答案. 【详解】
（1）∵F 分别是BE 的中点，取BA 的中点M ， ∴FM ∥EA ，FM 1
2
=
EA ＝1 ∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ， ∴CD ∥FM ，又CD ＝FM
∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC ， FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ∴FD ∥平面ABC ．
（2）因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 EA 垂直于平面ABC ∴CM ⊥AE ，
又 AE∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB ∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ， 因F 是BE 的中点，EA ＝AB 所以AF ⊥EB ．
EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ． （3）几何体ED BAC -的体积等于B ACDE V -
N 为AC 中点，连接BN
,NB AC BN AE BN ⊥⊥⇒⊥平面ACDE
11(12)233332
B ACDE ACDE V S BN -+⨯=⨯=⨯⨯=
【点睛】
本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．（1）动点的轨迹方程为，曲线是以
为圆心，2为半径的圆（2）的方程
为或
.（3）证明见解析，所有定点的坐标为
，
【解析】 【分析】
定曲线的形状；
（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；
（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用
，解出方程组可得出所过定点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，化简可得：，
所以动点的轨迹方程为.
曲线是以为圆心，为半径的圆；
（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；
②当直线的斜率存在时，设，即，
圆心到的距离为∵
∴, 即，解得或，
∴的方程为或；
（3）证明：∵在直线上，则设
∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，
∴经过的三点的圆是以为直径的圆，
则方程为，
整理可得,
解得或
则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题． 21．（1）3
A π
=（233
【解析】 【分析】
（1）由2
2sin 3cos()0A B C ++=，结合A B C π++=，得到22cos 3cos 20A A +-=求解. （2）据（1）知3
A π
=．再由余弦定理222(7)222cos c c A =+-⨯⨯⨯求得边c ，再利用1
sin 2
S bc A =
求解． 【详解】
（1）因为22sin 3cos()0A B C ++=，A B C π++=， 所以22sin 3cos 0A A -=， 所以22cos 3cos 20A A +-=， 所以(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，
1
cos 2
A =
或cos 2A =-（舍去）． 又因为0A π<<， 所以3
A π
=
．
（2）由（1）知3
A π
=
．
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 所以222(7)222cos c c A =+-⨯⨯⨯， 即2230c c --=，
所以1c =-（舍）或3c =． 所以ABC 的面积1
sin 2S bc A =123sin 23π=⨯⨯⨯332
=． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．（1）40x y +-=；（2）260x y +-=或2x =. 【解析】 【分析】
（1）根据直线m 在两坐标轴上的截距相等列出直线方程，然后代入点()2,2P 即可求出直线方程； （2）首先根据直线n 过点()2,2P 设出直线方程，然后列出三角形的面积公式，根据面积等于2求出直线
n 的方程.
【详解】
（1）因为直线m 在两坐标轴上的截距相等， 设直线m ：
1x y
a a
+=， 将点()2,2P 代入方程，得4a =， 所以直线m 的方程为40x y +-=；
（2）①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为2x =， 直线m ，直线n 和x 轴围成的三角形的面积为2， 则直线m 的方程为2x =符合题意，
②若直线m 的斜率0k =，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意， ③若直线m 的斜率0k ≠，设其方程为()22y k x -=-，令0y =， 得2
2x k
=-
，由（1）得直线m 交x 轴()4,0， 依题意有
1224222k ⎛⎫⨯--⨯= ⎪⎝⎭，即2242k ⎛
⎫--= ⎪⎝⎭， 解得1
2k =-
，所以直线m 的方程为()1222
y x -=--， 即260x y +-=，
综上，直线m 的方程为260x y +-=或2x =. 【点睛】
本题考查了直线方程的求解与直线方程的综合应用，属于中档题.
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点()1,2P -是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（ ） A ．
25
5
B ．25
5
-
C ．25
-
D ．
15
2．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（ ）
A ．12x x >，乙比甲成绩稳定
B ．12x x >，甲比乙成绩稳定
C ．12x x <，乙比甲成绩稳定
D ．12x x <，甲比乙成绩稳定 3．给定函数：①2y x ；②2x y =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60B =︒，1a =，2b =，则sin A =（ ） A ．
3
B ．
14
C ．
3 D ．
12
5．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
6．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示,则5个剩余分数的方差为( )
A ．
116
7
B ．
365
C ．36
D 67
7．已知方程22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．(1,2)
B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞
D ．3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞
⎪⎝⎭
8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）
A ．
910
B ．
1011
C ．
1112
D ．
111
9．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的图象（部分）如图所示，则()
f x 的解析式是（）
A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
10．甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（ ）
A ．85，85
B ．85，86
C ．85，87
D ．86，86
11．函数5()3cos 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像的一个对称中心是（ ）
A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
12．如图，在四边形ABCD 中，1sin sin 3DAC α∠==，AB AD ⊥，60D ︒∠=，2AB =，23
3
CD =
.则BC =（ ）
A ．1382-
B ．4373
-
C ．4
D ．3
二、填空题：本题共4小题
13．已知直线l 与圆C ：()()2
2
224x y -+-=交于A ，B 两点，23AB =，则满足条件的一条直线l 的方程为______.
14．若a 、b 、()20,0a b ->>这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b ab ++=________________.
15．如果数据1,x 2,x 3,x ,⋅⋅⋅n x 的平均数是1x =，则132,x +232,x +332,x +,⋅⋅⋅32n x +的平均数是________.
16．已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,3b =，则a b -的最大值为_______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，60DAB ∠=，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC
BD O =.
（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ； （Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积； （Ⅲ）求证：OP 与AB 不垂直.
18．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且
3cos cos c b B C
a A
--=
.
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若4a =，求△ABC 面积的最大值.
19．（6分）为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:kW h ),并将样本数据分组为[)160,180,[)180,200,[)20,220,[
)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300] ,其频率分布直方图如图所示.
(1)若样本中月均用电量在[)240,260的居民有30户,求样本容量; (2)求月均用电量的中位数;
(3)在月均用电量为[
)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的四组居民中,用分层随机抽样法抽取
22户居民,则月均用电量在[)260,280的居民应抽取多少户?
20．（6分）已知圆C ：22(2)(2)1x y -+-=.
（1）过(3,0)M 的直线l 与圆C ：22
(2)(2)1x y -+-=交于A ，B 两点，若||2AB =l 的方
程；
（2）过(3,0)M 的直线l 与圆C ：22
(2)(2)1x y -+-=交于A ，B 两点，直接写出ABC ∆面积取值范围；
（3）已知()
13,0S -，()
233,0S ，圆C 上是否存在点P ，使得12120S PS ∠=︒，请说明理由. 21．（6分）已知ABC ∆的顶点()3,4B ，AB 边上的高所在的直线方程为30x y +-=，E 为BC 的中点，且AE 所在的直线方程为370x y +-=. (1)求顶点A 的坐标；
(2)求过E 点且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程.
22．（8分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ；已知sin cos()6
b A a B π
=-． （1）求角B 的大小；
（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义求出sin α的值，然后利用诱导公式可求出()sin πα-的值. 【详解】
由三角函数的定义可得
sin α=
=
， 由诱导公式可得
()sin sin παα-==故选A. 【点睛】
本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 甲的平均成绩11
(7378798793)825
x =
++++=，甲的成绩的方差22222211
[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45
s =-+-+-+-+-=；
乙的平均成绩21
(7989899291)885
x =++++=，乙的成绩的方差
2
2222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65
s =-+-+-+-+-=.
∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C.
试题分析：2
2
()()f x x x -=-=，知2
y
x 偶函数，1()22x
x
f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭
，知2x
y =非奇非偶，
()cos()cos f x x x -=-=知cos y x =偶函数，
，知3
y x =-奇函数.
考点：函数奇偶性定义. 4．C 【解析】 【分析】
在ABC ∆中，利用正弦定理求出sin A 即可． 【详解】
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知：60B =︒，1a =，2b =，
利用正弦定理：243sin B si 0n 6si n 3
a b A ===，解得：3
sin 43A ==
故选C ． 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用及相关的运算问题，属于基础题． 5．C 【解析】
试题分析：由题意知，分段间隔为
1000
2540
=，故选C. 考点：本题考查系统抽样的定义，属于中等题. 6．B 【解析】 【分析】
由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x ＝4，由此能求出5个剩余分数的方差． 【详解】
∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21， ∴由茎叶图得：1724202020215
x
+++++=
得x ＝4，
∴5个分数的方差为： S 2=
()()()()()22222
1361721242120212021242155
⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦
本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
7．B
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质列出不等式求解即可．
【详解】
方程
22
12
x y
m m
+=
--
1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得
21
10
m m
m
--
⎧
⎨
-
⎩
＞
＞
，解得1＜m
3
2
＜．
则m的取值范围为：（1，3
2）．
故选B．
【点睛】
本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．8．B
【解析】
【分析】
模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】
模拟程序运行过程如下:
0)1,0
k S,判断为否,进入循环结构,
1)
11
0,2
122
S k
=+==
⨯
,判断为否,进入循环结构,
2)
11
,3
223
S k
=+=
⨯
,判断为否,进入循环结构,
3)
111
,4
22334
S k
=++=
⨯⨯
,判断为否,进入循环结构,
……
9)
111
,10
223910
S k
=+++=
⨯⨯
,判断为否,进入循环结构,
10)
1111
,11
2239101011
S k
=++++=
⨯⨯⨯
,判断为是,
故输出111
223
1011S =+++
⨯⨯11111110
11223
10111111
=-+-++
-=-=, 故选:B. 【点睛】
本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论. 9．C 【解析】 【分析】
根据图象可知514263T ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
，利用正弦型函数2T πω=可求得ω；根据最大值和最小值可确定A ，
利用123f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
及2
π
ϕ<可求得ϕ，从而得到函数解析式.
【详解】
由图象可知，()f x 的最小正周期：514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝
⎭ 又2T π
ω
=
ωπ∴=
又()max 2f x =，()min 2f x =-且0A > 2A ∴=
12sin 233f πϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 232k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，即26k πϕπ=+，k Z ∈
2
π
ϕ<
6
π
ϕ∴=
()()2sin 6f x x x R ππ⎛
⎫
∴=+
∈ ⎪⎝
⎭
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确A 由最大值和最小值确定；ω由周期确定；ϕ通常通过最值点来进行求解，属于常考题型. 10．B 【解析】 【分析】
根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可. 【详解】
由图可知，甲同学成绩的众数是85；乙同学的中位数是8587
862
+=. 故选：B.
本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题. 11．B 【解析】 【分析】 由题得54+62x k k Z ππ
π+=∈，,解出x 的值即得函数图像的一个对称中心. 【详解】 由题得54+62
x k k Z ππ
π+=∈，, 所以()412
k x k Z ππ
=
-∈， 所以5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的对称中心是,0()412k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭． 当k=1时，函数的对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选B 【点睛】
本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】
在ACD ∆中，由正弦定理得到AC 的长，在ABC ∆中，先得到cos BAC ∠的值，再利用余弦定理，求出BC 的长. 【详解】
在ACD ∆中，由正弦定理
sin sin AC CD
D CAD
=∠，
得sin 231sin 33
D AC CD α=⋅=⨯=，
因为AB AD ⊥，1
sin sin 3
DAC α∠==，
所以1
cos sin 3
BAC α∠==，
在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠
1
4922393
=+-⨯⨯⨯=
所以3BC =.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题 13．1y =（答案不唯一） 【解析】 【分析】
确定圆心到直线的距离，即可求直线l 的方程. 【详解】
由题意得圆心坐标()2,2，半径2r
，AB =
∴圆心到直线l 的距离为1d =， ∴满足条件的一条直线l 的方程为1y =. 故答案为：1y =（答案不唯一）. 【点睛】
本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题. 14．9 【解析】 【分析】
由0a >，0b >，可知，a 、2-、b 成等比数列，可得出4ab =，由a 、b 、2-或b 、a 、2-成等差数列，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算出a b ab ++的值. 【详解】
由于0a >，0b >，若2-不是等比中项，则有22a b =-或22b a =-，两个等式左边均为正数，右边均为负数，不合题意，则2-必为等比中项，所以()2
24ab =-=，
将三个数由大到小依次排列，则有a 、b 、2-成等差数列或b 、a 、2-成等差数列.
①若a 、b 、2-成等差数列，则22b a =-，联立22
40,0
b a ab a b =-⎧⎪
=⎨⎪>>⎩
，解得41a b =⎧⎨=⎩，
此时，9a b ab ++=；
②若b 、a 、2-成等差数列，则22a b =-，联立22
40,0
a b ab a b =-⎧⎪
=⎨⎪>>⎩
，解得14a b =⎧⎨=⎩，
此时，9a b ab ++=.
综上所述，9a b ab ++=. 故答案为：9. 【点睛】
本题考查等比数列和等差数列定义的应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 15．5 【解析】 【分析】
根据平均数的定义计算． 【详解】 由题意
1212(32)(32)(32)
32323125n n
x x x x x x x n
n
++++
++++
+=⨯
+=+=⨯+=，
故答案为：5. 【点睛】
本题考查求新数据的均值．掌握均值定义是解题关键．实际上如果数据1,x 2,x 3,x ,⋅⋅⋅n x 的平均数是x ，则新数据1,ax b +2,ax b +,⋅⋅⋅n ax b +的平均数是ax b +． 16．3. 【解析】 【分析】
计算出()
22
a b a b -=-，利用辅助角公式进行化简，并求出2
a b -的最大值，可得出a b -的最大值. 【详解】
1
cos 2cos 2sin cos cos sin 226a b πθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫
⋅=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2
22
cos sin 1
a θθ
=+=，2
2
2
14b =+=，
所以，()
2
2
22212sin 452sin 766a b a b a a b b ππθθ⎛⎫⎛
⎫-=-=-⋅+=-++=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
当且仅当()326
2k k Z π
πθπ+
=
+∈，即当()726
k k Z π
θπ=+∈，等号成立，
因此，a b -的最大值为. 【点睛】
本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3
（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）连接OF ，OG ，由已知结合三角形中位线定理可得//OF 平面PAB ，再由面面平行的判断可得平面//OFG 平面PAB ，进而可得//FG 平面PAB ；
（Ⅱ）首先证明AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点，然后利用等积法求三棱锥A PFB -的体积； （Ⅲ）直接利用反证法证明OP 与AB 不垂直. 【详解】
（Ⅰ）如图，连接OF ，OG
∵O 是BD 中点，F 是PD 中点，
∴//OF PB ，而OF ⊂/平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， ∴//OF 平面PAB ，
又∵O 是AC 中点，G 是BC 中点， ∴//OG AB ，而OG ⊂/平面PAB ，AB 平面PAB ，
∴//OG 平面PAB ，又OG
OF O =
∴平面//OFG 平面PAB ，即//FG 平面PAB . （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD AO ⊥，又四边形ABCD 为菱形， ∴BD AO ⊥，又AD
DB D =，
∴AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点， ∴11113
22sin 6022443A PFB A PDB P ABCD V V V ︒---=
==⨯⨯⨯⨯⨯=
（Ⅲ）假设OP AB ⊥，又PD AB ⊥，且OP PD P =，
∴AB ⊥平面PDB ，则AB DB ⊥，与60ABD ︒∠=矛盾， ∴假设错误，故OP 与AB 不垂直.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，属于中档题．
18．（Ⅰ）23A π=
（Ⅱ【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得1sin()62A π+
= ，结合范围7(,)666A πππ+∈，可求A 的值．
（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得163
≤bc ，利用三角形的面积公式即可求解；方法2：由正弦
定理可得b B =，3c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，并将其代入1sin 2S bc A =可得
sin()3
S B B π=-，然后再化简，根据正弦函数的图象和性质即可求得ABC ∆面积的最大值． 【详解】
解：（I ）因为cos cos c b B C a A
--=，
由正弦定理可得：
sin sin cos sin cos C B B C A A --=，
sin sin cos sin cos sin cos A B A C C A B A -=-
sin sin cos sin cos sin cos A B B A A C C A +=+，
即 )sin cos sin B A A B +=，
sinB 0>cos 2sin 16A A π⎛
⎫+=+
= ⎪⎝⎭， 可得：1sin()62
A π
+= (0,)A π∈，所以7(,)666
A πππ+
∈， 所以566A ππ+=，可得：23A π= （II ）方法1：由余弦定理得：22222161cos 222
b c a b c A bc bc +-+-===-， 得2216216b c bc bc +-=-≥-， 所以163
≤bc。