定积分的近似计算99329

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x2i f ( x)dx x2 i 2
x2 i x2 i 2
pi ( x)d
x
最后得到

ba 6n
(
y2i2

4 y2i1

y2i
).
b
n
f ( x)dx
x2i f ( x)dx
a
i 1 x2 i 2
b a n

6n
( y2i2 4 y2i1 y2i ).
i 1
即
b a
f
( x)dx

ba[ 6n
y0

y2n

4(
y1

y3

y ) 2 n1
( y2 y4 y2n2 )].
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这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式. 1 dx
例 计算 0 1 x2 的近似值.
解 将区间 [0, 1]十等分，各分点上被积函数的值列
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二、抛物线法
由梯形法求定积分的近似值, 当 y f ( x)为凸曲 线时偏大, 为凹曲线时偏小. 用抛物线法可克服上 述缺点. 将积分区间[a, b] 作 2n 等分,分点为:
a x0 x1

x2n

b,
xi

ba 2n
.
相应的被积函数值记为
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y0 , y1, , y2n ( yi f ( xi ), i 0,1, , 2n), 曲线 y f ( x) 上相应的点记为
P0 , P1, , P2n ( Pi ( xi , yi ), i 0,1, , 2n).
现把区间 [ x0 , x2 ] 上的曲线 y f ( x)用通过三点 P0( x0 , y0 ), P1( x1, y1 ), P2( x2 , y2 )
的抛物线 p1( x) 1x2 1x 1 来近似替代, 便有
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x2 f ( x)dx x0
x2 x0
p1( x)dx

x2 x0
(1 x2

1x


1 )dx

1
3
( x23

x03 )

1
2
( x22

x03 )

1( x2

x0 )

x2
6
x0 [(1 x02
1 x0
1 ) (1 x22
有效数字是准确的.
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1 dx
0 1 x2

1 10 ( y0

y1

y9 ) 0.8099
(或 1 10
(
y1

y2

(2) 用梯形法
y10 ) 0.7600).
1 dx
0 1 x2

1( 10
y0 2

y1


y9

y10 ) 2

0.7850.
(3) 用抛物线法
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1 dx 1
y0 , y1, , yn ( yi f ( xi ), i 0,1, , n),
曲线 y f ( x)上相应的点记为
P0 , P1, , Pn (Pi ( xi , yi ), i 0,1, , n). 将曲线上每一段 Pi1Pi 用 Pi1Pi 替代, 这使每个小
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*§6 定积分的近似计算
利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计 算定积分的值,但它仅适合被积函数的原函 数能够求出的情形.我们这里介绍定积分的 近似计算方法.
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根据定积分的定义,
b
n
f ( x)dx
a
f ( xi ) xi ,
i 1
或
b
n
f ( x)dx
a
f ( xi1 ) xi .
i 1
在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边
梯形面积的结果,所以把这个近似计算法称为矩形
Hale Waihona Puke 法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的 两种方法.
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一、梯形法
将积分区间 [a,b] 作 n 等分,分点为
a x0 x1

xn

b, xi

b
a n
.
相应的被积函数值记为
1 x2
1)
1( x0 x2 )2 21( x0 x2 ) 4 1]

x2
6
x0
( y0

y2
4 y1)

ba 6n
(
y0
4 y1

y2 ).
同样地在[ x2i2, x2i ]上用
pi ( x) i x2 i x i 替代曲线 y f ( x), 将得到
曲边梯形换成了梯形, 其面积为
yi1 2
yi
xi
,i
1,2,
, n.
于是,整个曲边梯形面积的近似值为
b a
f ( x)dx

n i 1
yi
yi 2
1

xi
,
即
b a
f
( x)dx

b
a n
(
y0 2

y1


yn1

yn ) , 2
以上近似式称为定积分的梯形法公式.
0 1 x2 30 ( y0 y10 4( y1 y3 y9 ) 2( y2 y4 y8 )) 0.7853982.
用精确值
1 dx
0 1 x2


4

0.78539816
作比较，矩形法只有一位有效数字是准确的,而梯
形法有三位有效数字是准确的，抛物线法有六位
表如下：
xi
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
yi
1
0.9900990 0.9615385 0.9174312 0.8620690 0.8000000
xi
0.6
0.7
0.8
0.9
1
yi 0.7352941 0.6711409 0.6097561 0.5524862
0.5
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(1) 用矩形法公式