最新-2018届高考数学第1轮总复习 全国统编教材 181数学归纳法及其应用第2课时课件 理 精品
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即n=k+1时，有4a1Sn=bnan+3成立. 综合(1)(2)知，存在常数p=4， 使对一切n∈N*， 都有pa1Sn=bnan+3成立.
题型5
用数学归纳法证数列不等式
1 3. 已知数列{an}满足: 0＜a1＜ ， 2 3 2 1 an1 an an ( n N *)， 证明： an＜ . 2 n1
由已知，得a2a8=a42，
所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，
则a1=d，所以an=nd.
b1a4 a4 4， (1)当n=1时， 所以4a1S1=b1a4成立. a1 S1 a1
(2)假设当n=k时，4a1Sk=bkak+3成立,
bk ak 3 即 Sk . 4a1
所以当n=k+1时，结论成立.
综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1.
故an+bn=1，为定值.
点评：探求数列中的有关性质，一般是 先观察 n=1， 2，3时的命题的性质，对这几 项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论， 然后用数学归纳法来证明.
已知数列{an}是公差不为零的等差数列， 且a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2，Sn 为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在常数p， 使对一切 n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？说明 你的理由. 解：设数列{an}的公差为d(d≠0).
1 1. 已知数列{an}满足：a1=1，a2= ， 4
1 a1 1， 证明: (1)当n=1时， 结论成立. 31 2 1 (2)假设当n=k时结论成立，即 ak 3k 2 .
1 k 1 ak k 1 3k 2 k 1 ak 1 1 k ak k 3k 2 1 k 3k 2 k 1 k 1 1 1 2 . 3k 2k 1 3k 1 k 1 3k 1 3 k 1 2
题型4
用数学归纳法探求数列的有关性质
bn1 bn ( n 2)， b1=-1，且an=an-1· b=， 2 1 an 1
2. 已知两பைடு நூலகம்数列{an}、{bn}满足：a1=2，
试推测an+bn的变化规律，并证明你的结论.
解：当n=1时，a1+b1=1.
b1 1 2 ，a2 a1b2 ， 因为 b2 2 1 a1 3 3
则 Sk 1 Sk bk 1 bk ak 3 bk 1 ak bk 11 bk 1
4a1 4a ak 4a1 ak 4d 4 ak 4bk 1 bk 1 bk 1 ， 4a1 a1 4a1
所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，
证法1：(1)当n=1时，
1 1 ， 因为 0＜a1＜ 所以不等式成立. 2 11 1 (2)假设当n=k时不等式成立，即 0＜ak＜ . k 1 3 2 3 则ak 1 ak ak ak (1 ak ) 2 2 1 3 k 2 ak 1 ak . k2 2
3 3 1 3 因为 k 2 ak＞0， 1 ak＞1 1 ＞0， 2 2 k 1 2k 2
3 3 2 所以 k 2 ak (1 ak ) ［ k 2 ak 1 ak ］ 2 2 k 1 1 1 1 a 1 (k ) k 2 2 2 2 k 1］ ［ ］ ＜［ 2 2 2k 1 2 11 2 k 2 1 1， ＜ 2 2
当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,
n 15 2 1 所以a4= .由此猜想 an n1 ( n N*). 8 2
(2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，
2k 1 即 a k k 1 . 2
那么当n=k+1(k≥1且k∈N*)时，
所以a2+b2=1，…由此猜测：an+bn=1.
证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
(2)假设当n=k时，ak+bk=1，
即bk=1-ak成立， 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
bk bk ak 1 1. 2 1 ak 1 ak
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;
3 当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2= ; 2 7 当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a3= ; 4
则当n=k+1时，
所以当n=k+1时，结论也成立.综合(1)(2)知，
1 数列{an}的通项公式是 an 3n 2 ( n N *).
点评：“归纳 — 猜想 — 证明”是求数列 的通项公式与前n项和公式的常用方法，也是 近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个 主要类型，应引起足够的重视.
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
2k 1 2 k 1 k 1 2 ak 2 1 2 , 所以 ak 1 k 2 2 2
所以2ak+1=2+ak,
这表明n=k+1时，结论也成立.
2n 1 由①②知，猜想an n1 ( n N *)成立. 2
第十二章
第
极限与导数
讲
（第二课时）
题型3
用数学归纳法探求数列的通项公式
an(an+1-1)=n(an+1- an)(n≥2)，求数列{an}的通项 公式.
解：由已知可得 an1
n an a 1 1 2 ， 因为 a1=1，a2= ，所以 a3 4 2 a2 1 7 2a3 1 . a4 ， 由此猜想：an 3n - 2 3 - a3 10 n 1 an ( n 2).
题型5
用数学归纳法证数列不等式
1 3. 已知数列{an}满足: 0＜a1＜ ， 2 3 2 1 an1 an an ( n N *)， 证明： an＜ . 2 n1
由已知，得a2a8=a42，
所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，
则a1=d，所以an=nd.
b1a4 a4 4， (1)当n=1时， 所以4a1S1=b1a4成立. a1 S1 a1
(2)假设当n=k时，4a1Sk=bkak+3成立,
bk ak 3 即 Sk . 4a1
所以当n=k+1时，结论成立.
综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1.
故an+bn=1，为定值.
点评：探求数列中的有关性质，一般是 先观察 n=1， 2，3时的命题的性质，对这几 项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论， 然后用数学归纳法来证明.
已知数列{an}是公差不为零的等差数列， 且a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2，Sn 为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在常数p， 使对一切 n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？说明 你的理由. 解：设数列{an}的公差为d(d≠0).
1 1. 已知数列{an}满足：a1=1，a2= ， 4
1 a1 1， 证明: (1)当n=1时， 结论成立. 31 2 1 (2)假设当n=k时结论成立，即 ak 3k 2 .
1 k 1 ak k 1 3k 2 k 1 ak 1 1 k ak k 3k 2 1 k 3k 2 k 1 k 1 1 1 2 . 3k 2k 1 3k 1 k 1 3k 1 3 k 1 2
题型4
用数学归纳法探求数列的有关性质
bn1 bn ( n 2)， b1=-1，且an=an-1· b=， 2 1 an 1
2. 已知两பைடு நூலகம்数列{an}、{bn}满足：a1=2，
试推测an+bn的变化规律，并证明你的结论.
解：当n=1时，a1+b1=1.
b1 1 2 ，a2 a1b2 ， 因为 b2 2 1 a1 3 3
则 Sk 1 Sk bk 1 bk ak 3 bk 1 ak bk 11 bk 1
4a1 4a ak 4a1 ak 4d 4 ak 4bk 1 bk 1 bk 1 ， 4a1 a1 4a1
所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，
证法1：(1)当n=1时，
1 1 ， 因为 0＜a1＜ 所以不等式成立. 2 11 1 (2)假设当n=k时不等式成立，即 0＜ak＜ . k 1 3 2 3 则ak 1 ak ak ak (1 ak ) 2 2 1 3 k 2 ak 1 ak . k2 2
3 3 1 3 因为 k 2 ak＞0， 1 ak＞1 1 ＞0， 2 2 k 1 2k 2
3 3 2 所以 k 2 ak (1 ak ) ［ k 2 ak 1 ak ］ 2 2 k 1 1 1 1 a 1 (k ) k 2 2 2 2 k 1］ ［ ］ ＜［ 2 2 2k 1 2 11 2 k 2 1 1， ＜ 2 2
当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,
n 15 2 1 所以a4= .由此猜想 an n1 ( n N*). 8 2
(2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，
2k 1 即 a k k 1 . 2
那么当n=k+1(k≥1且k∈N*)时，
所以a2+b2=1，…由此猜测：an+bn=1.
证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
(2)假设当n=k时，ak+bk=1，
即bk=1-ak成立， 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
bk bk ak 1 1. 2 1 ak 1 ak
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;
3 当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2= ; 2 7 当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a3= ; 4
则当n=k+1时，
所以当n=k+1时，结论也成立.综合(1)(2)知，
1 数列{an}的通项公式是 an 3n 2 ( n N *).
点评：“归纳 — 猜想 — 证明”是求数列 的通项公式与前n项和公式的常用方法，也是 近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个 主要类型，应引起足够的重视.
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
2k 1 2 k 1 k 1 2 ak 2 1 2 , 所以 ak 1 k 2 2 2
所以2ak+1=2+ak,
这表明n=k+1时，结论也成立.
2n 1 由①②知，猜想an n1 ( n N *)成立. 2
第十二章
第
极限与导数
讲
（第二课时）
题型3
用数学归纳法探求数列的通项公式
an(an+1-1)=n(an+1- an)(n≥2)，求数列{an}的通项 公式.
解：由已知可得 an1
n an a 1 1 2 ， 因为 a1=1，a2= ，所以 a3 4 2 a2 1 7 2a3 1 . a4 ， 由此猜想：an 3n - 2 3 - a3 10 n 1 an ( n 2).