苏教版高中数学必修五新课标高考一轮复习同步训练数列的综合应用

课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an
bn ＋1
，其中a ，b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的
大小关系是________．
2．从盛满10 L 纯酒精的容器里倒出1 L ，然后用水填满，再倒出1 L 混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.
3．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2
b 1·b 2
的取值范
围是________．
4．已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 为正实数，a n ＋1＝a n －1
a n
(n ∈N *)，若a 3>0，则a 的取值
范围是________．
能力提升
5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________.
6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．
7．[2011·上海长宁二模] 设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，则该数列前6项和为________．
8．[2011·无锡联考] 已知数列{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 8，则一定有________(填序号)．
①a 3＋a 9≤b 9＋b 7； ②a 3＋a 9≥b 9＋b 7； ③a 3＋a 9>b 9＋b 7； ④a 3＋a 9<b 9＋b 7.
9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于________．
10．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ＝________.
11．通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{a n }，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．
12．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
a n 2，a n 为偶数，
3a n ＋1，a n 为奇数.
若a 6＝1，
则m 所有可能的取值为________．
13．(8分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a n a n .
(1)求公差d 的值；
(2)若a 1＝－5
2，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．
14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
下列数据供计算时参考：
15．(12分)[2011·扬州调研] 数列{a n}的首项为1，前n项和是S n，存在常数A，B 使a n＋S n＝An＋B对任意正整数n都成立．
(1)若A＝0，求证：数列{a n}是等比数列；
(2)设数列{a n}是等差数列，若p<q，且1
S p＋1
S q＝
1
S11，求p，q的值．
16．(12分)[2011·苏北四市一调] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝pa n－2n，n∈N*，其中常数p>2.
(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列；
(2)若a2＝3，求数列{a n}的通项公式；
(3)对于(2)中数列{a n}，若数列{b n}满足b n＝log2(a n＋1)(n∈N*)，在b k与b k＋1之间插入2k－1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{c n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c n}的前m 项的和T m＝2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
课时作业(三十一)
【基础热身】
1．a n <a n ＋1 [解析] 因为a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋1－an
bn ＋1
＝(an ＋a )(bn ＋1)－an (bn ＋b ＋1)(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)
＝a
(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)
>0，所以a n <a n ＋1. 2．9×0.94 [解析] 第一次倒出后还有纯酒精：10－1＝9 (L)；第二次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9 )L ；第三次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)－0.1×(9－1×0.9)＝(9－1×0.9)×0.9＝9×0.92(L)，所以第五次倒出后还有纯酒精9×0.94 L.
3．(－∞，0]∪[4，＋∞) [解析] 在等差数列中，a 1＋a 2＝x ＋y ，在等比数列中，xy
＝b 1·b 2，∴(a 1＋a 2)2b 1·b 2＝(x ＋y )2x ·y ＝x 2＋2xy ＋y 2x ·y ＝x y ＋y x ＋2，当x ·y >0时，x y ＋y
x ≥2，故
(a 1＋a 2)2b 1·b 2
≥4；当x ·y ＜0时，x y ＋y
x ≤－2，故(a 1＋a 2)2b 1·b 2
≤0.
4.－1＋52，1∪1＋52，＋∞ [解析] a 3＝a 2－1a 2＝a 1－1a 1－1a 1－1a
1
＝(a 2－1)2－a 2a (a 2－1)
>0，
∴a －1＋52a －1－52a －－1－52a －
－1＋52
a (a ＋1)(a －1)
>0，∵a >0，∴
a －1＋52a －－1＋52a －1
>0.故a ∈－1＋52，1∪1＋5
2，＋∞. 【能力提升】
5．15 [解析] ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，
∴4a 1＋a 3＝4a 2，即4a 1＋a 1q 2＝4a 1q ，∴q 2－4q ＋4＝0， ∴q ＝2，S 4＝15.
6.10
4－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝
4，∴x ＝10
4－1.
7．0 [解析] a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，∴S 6＝0.
8．② [解析] a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 2
6＝2a 6＝2b 8＝b 9＋b 7. 在等差数列{a n }中a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q .
9．60 [解析] 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2
＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋90
2d ＝60.
10．1 [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋
1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋
2)，
解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．
11．－19<a <－1
17 [解析] 由a n ＝an 2＋n 是二次函数型，且a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n
＋1对n ≥8恒成立，
得92<－12a <172，可知－19<a <－117
. 12．4或5或32 [解析] (1)若a 1＝m 为偶数，则a 12为偶数，故a 2＝m 2，a 3＝a 22＝m
4，
①当m 4仍为偶数时，a 4＝m 8，…，a 6＝m 32，故m
32＝1⇒m ＝32.
②当m 4为奇数时，a 4＝3a 3＋1＝3
4m ＋1，…，a 6＝3
4m ＋14，
故3
4m ＋14
＝1得m ＝4.
(2)若a 1＝m 为奇数，则a 2＝3a 1＋1＝3m ＋1为偶数，故a 3＝3m ＋1
2
必为偶数，
a 6＝3m ＋116，所以3m ＋1
16＝1可得m ＝5.
13．[解答] (1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×4
2d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.
(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －7
2，
∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1
n －7
2
.
∵函数f (x )＝1＋1
x －72
在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数，
∴b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，
∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. 14．[解答] (1)10年后学生人数为b (1＋4.9‰)10＝1.05b . 又设今年起学校的合格实验设备为数列{}a n ， 则a 1＝1.1a －x ，a n ＋1＝1.1a n －x ，(*)
令a n ＋1＋λ＝1.1(a n ＋λ)，则a n ＋1＝1.1a n ＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x ，故数列{}a n －10x 是首项为1.1a －11x ，公比为1.1的等比数列，
所以a n －10x ＝(1.1a －11x )·1.1n －1， a n ＝10x ＋(1.1a －11x )·1.1n －1. a 10＝10x ＋(1.1a －11x )·1.19≈2.6a －16x .
由题设得2.6a －16x 1.05b ＝2×a b ，解得x ＝1
32a .
即每年更换旧设备为1
32a 套．
(2)全部更换旧设备需12a ÷a
32＝16年． 即按此速度全部更换旧设备需16年．
15．[解答] (1)证明：A ＝0时，a n ＋S n ＝B ，
当n ≥2时，由⎩⎨⎧
a n ＋S n ＝B ，
a n －1＋S n －1＝B ，
得a n －a n －1＋(S n －S n －1)＝0，
即a n a n －1＝12
，所以，数列{a n }是等比数列． (2)设数列的公差为d ，分别令n ＝1,2,3得：
⎩⎨⎧
a 1＋S 1＝A ＋B ，a 2＋S 2＝2A ＋B ，a 3
＋S 3
＝3A ＋B ，
即⎩⎨⎧
2＝A ＋B ，
2d ＋3＝2A ＋B ，5d ＋4＝3A ＋B ，
解得⎩⎨⎧
A ＝1，
B ＝1，
d ＝0，
即等差数列{a n }是常数列，所以S n ＝n ；又1S p ＋1S q ＝1S 11
，则1p ＋1q ＝1
11，
pq －11p －11q ＝0，(p －11)(q －11)＝112，
因p <q ，所以⎩⎨⎧ p －11＝1，q －11＝112，解得⎩⎨⎧
p ＝12，
q ＝132.
16．[解答] (1)证明：因为2S n ＝pa n －2n ，所以2S n ＋1＝pa n ＋1－2(n ＋1)，所以2a n ＋1＝pa n ＋1－pa n －2，
所以a n ＋1＝p p －2a n ＋2p －2，所以a n ＋1＋1＝p
p －2(a n
＋1)，
因为2a 1＝pa 1－2，所以a 1＝2
p －2
>0，所以a 1＋1>0，
所以a n ＋1＋1a n ＋1＝p p －2
≠0，所以数列{a n ＋1}为等比数列．
(2)由(1)知a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n ，所以a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p p －2n －1，
又因为a 2＝3，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p p －22－1＝3，所以p ＝4或p ＝43(舍去)，所以a n ＝2n －1.
(3)由(2)得b n ＝log 22n ，即b n ＝n (n ∈N *)，数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是：
(1＋2＋3＋…＋k )＋(20＋21＋22＋…＋2k －2)×2＝k (k ＋1)
2＋2k －2，
当k ＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2 011， 当k ＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2 011， 又因为2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数，
所以当m ＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，T m ＝2011，所以存在m ＝988使得T m ＝2 011.。