2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第八章 立体几何 Word版含解析 (46)

课时达标检测（十九） 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 同角三角函数的基本关系
1．若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A.125 B ．－
125 C.512
D ．－
512
解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－5132＝12
13
，所以tan α＝sin αcos α＝－5
131213
＝－5
12
.
2．(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A ．－43
B.43 C ．－43
或0
D.4
3
或0 解析：选D 由2sin α＝1＋cos α得sin α≥0，且4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，因而5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝35或cos α＝－1，那么tan α＝4
3
或0，故选D.
3．若sin θ＋cos θ＝23，则tan θ＋1
tan θ＝( )
A.5
18 B ．－
518 C.185
D ．－
185
解析：选D 由sin θ＋cos θ＝23，得1＋2sin θcos θ＝49，即sin θcos θ＝－5
18，则tan θ
＋
1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－18
5
，故选D. 4．(2017·湖南衡阳二模)已知θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )
A ．－3
B ．3或1
3
C ．－13
D ．－3或－1
3
解析：选C sin θ＋cos θ＝a ，两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)得sin θ·cos θ<0，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos θ>0，∴sin θ<0，θ∈⎝⎛⎭⎫－π
2，0，又由sin θ＋cos θ＝a >0知|sin θ|<|cos θ|，∴θ∈⎝⎛⎭
⎫－π
4，0，从而tan θ∈(－1,0)．故选C. 5．已知A 为三角形的内角，sin A ＝4
5，则5cos A ＋23tan A －2
＝________.
解析：由A 为三角形的内角，sin A ＝45，得cos A ＝35，tan A ＝43或cos A ＝－3
5，tan A
＝－4
3，因而5cos A ＋23tan A －2＝3＋24－2＝52或5cos A ＋23tan A －2＝－3＋2－4－2＝16
.
答案：52或16
6．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ＝________.
解析：由题意知sin θ·cos θ＝－1
2，联立⎩⎪⎨⎪⎧
sin 2θ＋cos 2
θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得⎩⎨⎧
sin θ＝2
2，cos θ＝－22
，或
⎩⎨⎧
sin θ＝－22，cos θ＝22
，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－
22，∴θ＝3π4
. 答案：
3π
4
7．(2018· 湖北黄冈中学检测)已知α∈R ，sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝5
2，则tan α＝
________.
解析：∵sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α
＝tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52，
∴3tan 2α－8tan α－3＝0，
解得tan α＝3或－1
3.
答案：3或－1
3
对点练(二) 三角函数的诱导公式
1．(2018·广州模拟)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2，则θ＝( )
A ．－π6
B ．－π3
C.π6
D.π3
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π
2，
∴θ＝π3
.
2．(2018·江西南昌模拟)已知sin θ＝1
3，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin(π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ的值为( )
A.22
9
B ．－
22
9
C.19
D ．－19
解析：选B ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝
1－19＝22
3
.∴sin(π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝－sin θcos θ＝－13×223＝－22
9
.
3．已知sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＋x ＝1
5，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－1
5
B.15
C.25 D ．－25 解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤
π2－⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎣⎡⎦⎤－5π6＋x ＝－1
5
. 4．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α 的值是( )
A.355
B.377
C.31010
D.13
解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，可解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝310
10
.
5．(2018·江西九江七校联考)已知tan(π－α)＝－2
3，且α∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，则cos (－α)＋3sin (π＋α)
cos (π－α)＋9sin α
＝( )
A ．－15
B ．－37
C.15
D.37
解析：选A 由tan(π－α)＝－23，得tan α＝2
3
.
cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6
＝－1
5.故选A.
6．(2018·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线4x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭
⎫3π
2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)
＝( )
A ．－2
3
B ．2
C ．0
D.23
解析：选D 设点P (a,4a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝y x ＝4，再根据诱导公式，得sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭
⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－2cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2
3
.故选D. [大题综合练——迁移贯通]
1．(2018·河北衡水武邑中学调考)已知sin α＝
25
5
，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭
⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭
⎫5π
2－α的值．
解：tan(α＋π)＋
sin ⎝⎛⎭
⎫5π
2＋αcos ⎝⎛⎭
⎫
5π
2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α.
∵sin α＝25
5>0，
∴α为第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝
55，则原式＝1sin αcos α＝52
； 当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－
55，则原式＝1sin αcos α＝－5
2
. 2．已知α为第三象限角，
f (α)＝
sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)
tan (－α－π)·sin (－α－π)
.
(1)化简f (α)；
(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝1
5，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)
tan (－α－π)·sin (－α－π)
＝(－cos α)·sin α·(－tan α)
(－tan α)·sin α＝－cos α.
(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－1
5.
又α为第三象限角， ∴cos α＝－
1－sin 2α＝－265
，
∴f (α)＝－cos α＝26
5
.
3．(2017·山西孝义二模)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值． (1)sin α－4cos α
5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.
解：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π
2＋α， ∴－sin α＝－2cos α， 即sin α＝2cos α.
(1)原式＝2cos α－4cos α
10cos α＋2cos α＝－212
＝－1
6.
(2)∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2， ∴原式＝sin 2α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2α
＝tan 2α＋2tan αtan 2
α＋1＝4＋44＋1＝85
.。