内蒙古固阳县一中高三上学期期中考试——数学文(数学文)

内蒙古固阳县一中
2019届高三上学期期中考试
数学文试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
一、已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）
A. B.
C. 1，2，
D. 0，1，2，
二、设复数z满足z+i=3-i，则=（）
A. B. C. D.
三、命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0=x0-1”的否定是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
四、函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）
A. B. C. D.
五、已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=
（）
A. B. C. 6 D. 8
六、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（）
A. B.
C. D.
七、甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结
果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）
A. 丙被录用了
B. 乙被录用了
C. 甲被录用了
D. 无法确定谁被录用了
八、已知双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）
A. 2
B.
C.
D. 1
九、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的
问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何
日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，
b分别为5，2，则输出的n等于
4.2
5.3
6.4
7.5
十、已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）
6、 B.
C. D.
十一、直线被圆截得的弦长为，则的最小值是（）
A. 9
B. 4
C.
D.
十二、设f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
十三、过点（1，1）且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为______ ．
十四、若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是______ ．
十五、设x，y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为______．
十六、等边三角形ABC的三个顶点在一个O为球心的球面上，G为三角形ABC的中心，且OG=．且△ABC的外接圆的面积为，则球的体积为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
十七、已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc．（1）求角A的大小；
（2）若a=3，sin C=2sin B，求△ABC的面积．
十八、已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．
十九、已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值．
二十、在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．
21．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C, D和点共线，求k.
22.已知函数f（x）=（x+1）ln x-a（x-1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
期中考试答案和解析
1.【答案】C
解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
2.【答案】A
解：∵复数z满足z+i=3-i，
∴z=3-2i，
∴=3+2i，
3.【答案】B
解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1，
4.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．
故选：C．
5.【答案】D
解：∵向量=（1，m），=（3，-2），
∴+=（4，m-2），
又∵（+）⊥，
∴12-2（m-2）=0，
解得：m=8，
6.【答案】D
解：由题意可知，几何体是半圆柱，底面半圆的半径为1，圆柱的高为2，
所以该几何体的体积为：V==π．
7.【答案】C
解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，
若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；
若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．
8.【答案】D
解：由题意，
e===2，
解得，a=1．
9.【答案】C
解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
10.【答案】A
解：令g（x）=x-lnx-1，则，
由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，
所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，
于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，
因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．
11.【答案】A
解：圆x2+y2+2x-4y+1=0，即圆（x+1）2+（y-2）2 =4，
它表示以（-1，2）为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，
可得直线经过圆心，故有-2a-2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
，
当且仅当=时取等号，∴+的最小值是9．
故选：A．
12.【答案】B
解：f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足，可得，
令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）=＞0，
∴函数g（x）在R上单调递增．
∴g（2）=4f（2）＜g（e）=e2f（e）＜g（3）=9f（3），
∴．
故选B．
13.【答案】2x-y-1=0
解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x-y+c=0，
由直线过点（1，1）可得2×1-1+c=0，解得c=-1，
∴所求直线方程为2x-y-1=0，
故答案为：2x-y-1=0．
14.【答案】9
解：抛物线的准线为x=-1，
∵点M到焦点的距离为10，
∴点M到准线x=-1的距离为10，
∴点M到y轴的距离为9．
故答案为：9．
15.【答案】-5
解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立，解得A（-1，1）．
∴z=3x-2y的最小值为-3×1-2×1=-5．
故答案为：-5．
A.【答案】
解：设△ABC的外接圆的半径为r，则
∵△ABC的外接圆的面积为，
∴r=
∵O为球心，G为三角形ABC的中心，且OG=，
∴球的半径为1，
∴球的体积为．
故答案为．
17.【答案】解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc，
∴由余弦定理可得：cos A===，
又∵A∈（0，π），
∴A=,
（2）由sin C=2sin B及正弦定理可得：c=2b，
∵a=3，A=，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc=3b2，
∴解得：b=，c=2，
∴S△ABC=bc sin A==.
18.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设{b n}的公比为q，则，从而q=2，
故{b n}的前n项和．
19.【答案】解：（1）=1+2sin x cosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，
得kπ-≤x≤kπ+，
可得函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，
得kπ+≤x≤kπ+，
可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）若把函数f（x）的图象向右平移个单位，
得到函数=的图象，
∵x∈[-，0]，
∴2x-∈[-，-]，
∴∈[-1，]，
∴∈[-2，1]．
故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．
20.【答案】证明：（Ⅰ）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，∴OF∥DE．
又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，
∴DE∥平面ACF
（II）由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE⊂平面ACE，
∴BD⊥AE
解：（III）取BC中G，连结FG，
在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，
∵FG是△BCE的中位线，∴FG⊥底面ABCD，
∵AB=，∴FG=，
∴三棱锥F-ABC的体积V==××4×=．
22.【答案】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）ln x-4（x-1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=ln x+（x+1）•-4，
则f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=-2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）ln x-a（x-1），
∴f′（x）=1++ln x-a，
∴f″（x）=，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2-a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
可得（x+1）ln x-a（x-1）＞0，
即为a＜，
由y=的导数为y′=，
由y=x--2ln x的导数为y′=1+-=＞0，
函数y在x＞1递增，可得＞0，
则函数y=在x＞1递增，
则==2，
可得＞2恒成立，
即有a≤2．。