中级微观经济学复习题

中级微观经济学复习题(周二、三晚上两个教学班适用)(总23页)
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一、名词辨析
1.规范分析与实证分析；
2.无差异曲线与等产量线；
3.希克斯补偿与斯卢茨基补偿;
4.边际替代率与边际技术替代率；
5.边际产出与边际收益产出
6.显性成本与隐性成本；
7.机会成本与会计成本；
8.生产者剩余与消费者剩余；
9.规模经济与规模报酬；
10.纳什均衡与上策均衡；
11.帕累托有效与帕累托改进；
12.福利经济学第一定理与福利经济学第二定理
二、简述题
2.若某个消费者的偏好可以由效用函数22121122
(,)10(2)50u x x x x x x =++-来描述，那么对消费者而言，商品1和商品2是完全替代的吗？为什么
3.假定消费者购买x 和y 两种商品，起初，x x y y
MU P MU P =，若x P 下降，y P 保持不变，再假定x 的需求价格弹性大于1，则y 的购买量会不会发生变化？
解：原来消费处于均衡状态。

设消费者花在x 商品上的支出为1m ，则
x 的需求
价格弹性大于1（绝对值），所以有10x
dm dp <，即随着价格下降，消费者花在x 商品上的支出会增加。

那么，消费者花在y 商品上的支出会减少，从而y 的购买量会减少。

6.要素报酬递减和规模报酬递减有什么区别？能否用生产函数
3.06.0K L Q = 为例加以说明（L 表示劳动、K 表示资本）。

解：（1）要素报酬递减是指在一定技术水平条件下，若其他生产要素不变，连续地增加某种生产要素的投入量，在达到某一点后，总产量的增加会递减。

而规模报酬递减是指当各种要素同时增加一定比例时，产出量的增加会出现递减的现象。

（2）二者的区别可以用生产函数3.06.0K L Q = 为例加以说明。

设在此函数中，K 保持不变，只有L 发生变化，则0.40.30.6Q L K L
-∂=∂，2 1.40.320.240Q L K L
-∂=-<∂。

所以，L 的边际产量递减，说明在此生产函数中要素的边际报酬是递减的。

当L 、K 同时以的λ比例增加时，
0.60.30.90.60.30.9(,)()()(,)Q L K L K L K Q L K λλλλλλ===。

可见产量增加的比例要小于生产要素增加的比例，生产函数呈现为规模报酬递减。

7.分析企业短期成本函数图形中边际成本曲线通过短期平均成本曲线最低点的原因；
解：设企业的成本函数为()()C q q b =Φ+，其中()q Φ为可比成本、b 为固定成本。

平均成本函数为
()()+()C q q b AC q q q
Φ== 要使平均成本值达到最小，则必要条件为
即
()()
q q b
MC AC q q
∂ΦΦ+
=⇒=
∂。

表明当短期平均成本达到最小时，短期平均成本等于边际成本。

即边际成本曲线从下而上穿过短期平均成本曲线最低点。

10.重复博弈是实现博弈合作均衡的充分条件吗为什么
答：重复博弈不是实现合作均衡的充分条件。

在重复博弈中，各方能够展开合作的前提是尽管合作博弈的单次收益低于一次违约所得，但长期合作的总收益要大于违约所得。

因此，重复博弈若要实现合作均衡还须满足三个条件：（1）博弈必须是重复无穷次或博弈方不知道博弈何时结束。

设想博弈重复次数为有限的N次，那么在第N次博弈中是不会有合作均衡的，因为没有未来合作的可能，博弈双方都将根据当次博弈的支付矩阵来做出决策，从而陷入囚徒困境的格局之中。

进一步分析，第N-1次博弈也不会有合作的均衡，因为在进行第N-1次博弈时，博弈双方预期到第N次博弈不会有合作的结果，故他们将仅根据第N-1次博弈的支付矩阵来做出决策，该次博弈同样陷入囚徒困境的格局。

依此类推，第N-2次、N-3次，直至第1次博弈都不会有合作的均衡结果出现。

（2）博弈双方都采取“冷酷战略”。

即博弈双方从选择合作开始，只要对方一直合作，另一方也会一直合作下去，若发现对方偷偷采取了不合作的策略，便由此采取不合作的策略直至永远。

采取“冷酷战略”将极大的提高对违约行为
的惩罚，迫使博弈方采取合作的态度。

（3）贴现因子
1
1r
δ=
+
足够大。

这里的
r代表利率水平。

这个条件是说，将来的收益贴现之后还比较值钱。

即人们对时间比较有耐心，而不是只图眼前利益。

11.某博弈的报酬矩阵如下：
（1）如果（上，左）是占优策略均衡，那么a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 之间必须满足哪些关系？尽量把所有必要的关系式都写出来。

（2）如果（上，左）是纳什均衡，（1）中的关系式哪些必须满足？
（3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么，它是否必定是纳什均衡为什么
解：（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则“上”是甲的上策，有e a >，g c >；而且“左” 也是乙的上策，有d b >，h f >。

（2）如果（上，左）是纳什均衡，则只需e a >、d b >成立。

（3）因为从（上，左）是占优策略均衡的条件可以看出，它必定是纳什均衡。

14.简述对污染企业征收庇古税的经济机理以及庇古税具体实施中存在的问题？
答：“庇古税”方案是庇古在1920年出版的《福利经济学》一书中阐释的。

按照庇古的观点，导致市场配置资源失效的原因是经济当事人的私人成本与社会成本不一致，从而私人的最优导致社会非最优。

因此，纠正外在性的方案是政府通过征税来矫正经济当事人的私人成本。

假定Y 商品的生产对其他商品存在负的外在性，那么私人成本低于社会成本。

以PMC 和SMC 分别表示生产Y 的私人和社会边际成本。

如下图所示，假定该商品的市场需求决定的边际收益为MR ，那么市场自发作用的结果是PMC MR =所决定的p q ，而社会实现资源有效配置所应该有的产量则是
SMC MR =所决定的s q 。

为了使Y 产品的产量达到s q ，可行的方案是政府征收税收，比如从量税，以便使PMC 曲线上移至SMC 曲线的位置，从而PMC MR =所决定的产量恰好等于s q 。

15.若通过市场机制来提供公共产品，它能够在竞争性市场中以有效率的方式进行生产吗？
答：在竞争性市场中，公共品不能以有效率的方式进行生产。

假设市场是完全竞争的，消费者消费的商品中有一种是公共品X ，另一种是
私人物品Y 。

假定消费者1和2消费X 的边际效用分别为1
X MU 和2X MU ，消费Y
的边际效用分别为1Y MU 和2Y MU 。

因而，两个消费者关于X 对Y 的边际替代率
分别为 11
1X XY Y
MU MRS MU =和
如果生产是有效率的并且市场是完全222X XY Y
MU MRS
MU =竞争的，那么在市场均衡状态下将有
12XY XY XY MRS MRS MRT =＝ 从社会的角度来看，根据公共品的非排他性特征，对增加一单位公共品X 而言，社会由此得到的边际效用为
1
2X X X SMU MU MU =＋
因此，社会关于X 对Y 的边际替代率为
1
2XY XY XY SMRS MRS MRS +＝
同样地，社会实现帕累托效率的条件是两种商品的社会边际替代率等于这两种商品的边际转换率，即
XY XY SMRS SMRT =
当生产处于帕累托最优状态时，社会关于这两种商品的边际转换率等于私人的产品转换率，即XY XY SMRT MRT =。

故有
XY XY SMRS MRT =
从上述分析，不难看出XY XY SMRT SMRS <。

这意味着由竞争性市场来决定公共品的供给数量将导致供给相对不足
三、图解题
1.假定面粉的供应是配给的，政府商品以每公斤1元的价格向消费者供应面粉，每人顶多可以买5公斤，不足部分可以在自由市场购买，价格是每公斤5元。

请做图画出一个货币购买力是30元的消费者的预算约束线。

假定现在面粉的供应放开，免费的市场价格为一公斤2元。

请在图中画出这个消费者的新的预算约束线。

如果前后两种情况对这个消费者是无差异的，你怎样把这个事实在图中表现出来？
答：假设其他商品的价格为P ，在消费者购买面粉少于5公斤的情况下，预算约束方程为：
30PX Y +=
式中，X 为其他商品的购买量，Y 为面粉的购买量；
当消费者购买面粉多于5公斤的情况下，预算约束方程为：
515(5)30PX Y +⨯+⨯-=
即550PX Y +=
其预算约束线如下图所示的预算约束线1。

当面粉价统一为每公斤2元时，预算约束方程为：
230PX Y +=
其预算约束线如下图所示的预算约束线2。

如果两种情况下对消费者无差异，则消费者的无差异曲线同时相切于两条预算线。

如图无差异曲线U 0同时与预算线1和预算线2相切。

2.用无差异分析方法分析免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，哪一种给消费者带来的效用更高？
答：免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，根据无差异曲线位置的不同，给消费者带来的效用不同。

如下图所示，消费者初始的预算线为AB，当免费发给消费者AC量的实物Y 时，消费者的预算线为CD，如果发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，则消费者的预算线为CF。

当无差异曲线和CD段的预算线相切，如U2，无论发放现金还是发放实物给消费者带来的效用是相同的，
当无差异曲线和DF段的预算线相切，如U4，而发放实物的预算线为CD线段，所以消费者的最大效用只能达到U3，此时发放现金比发放实物给消费者带来的效用大。

3.某消费者原来每月煤气开支为50元，煤气的某些用途如取暖等可用电替代。

现在煤气价格上涨100％。

其他商品价格不变，政府给予消费者50元作价格补贴，请作图分析该消费者处境是改善了还是恶化了？
4.
5.
答：该消费者的处境改善了，因为该消费者得到50元的补贴后可以多消费电来替代煤气，由于电价未变，他完全可以籍此改善自己的处境。

如图所示，MN 代表原来的预算线，MN1代表煤气涨价100%，但未给补贴的预算线，AB 代表给了50元补贴后的预算线。

由于消费者原来消费煤气50元，煤气价上涨100%后，政府补贴50元恰好使消费者能消费原数量的煤气，故AB 线通过初始的消费均衡点E1，并与MN1线平行。

从图可以看出，面对新的预算线AB ，消费者的最优消费组合是E2。

在此消费组合，消费者得到的效用水平U 2大于煤气涨价前的效用水平U 1，表明消费者通过少消费煤气、多消费电的方式
改善了自己的处境。

6.政府对居民征税一般有两种办法，一种是征消费税，另一种是征所得税，不论采取哪一种办法征税，政府征收的税额都是一样的，那么哪一种征税办法对居民更为有利些？
解：假定该消费者只消费两种商品，征税前，消费者的预算约束为
1122p x p x m +=。

对商品1征收消费税后，消费者的预算约束变为
1122()p t x p x m ++=。

消费税的效果如下图所示。

如果用（*1x ，*2x ）表示税后消费水平，则征税所能得到的税收为*
1tx 。

现在
假定改换税种，但征收同样数额的所得税。

消费者的预算约束变为
*
11221p x p x m tx +=-。

这是条斜率为12
p p -
并通过（*1x ，*
2x ）的直线。

所以，尽管征收同样数量的税，但相对于消费税而言，消费者缴纳所得税能获得更高的效用水平。

7.某消费者的收入为M ，用来消费商品X 和Y （X 、Y 均为正常商品）。

初始，X 的价格为P X1、Y 的价格为P Y1。

现在商品X 的价格下降为P X2，而Y 的价格仍维持不变。

请作图并分析价格变化给消费者带来的收入效应、替代应及总效应。

答：在收入水平维持在M 、商品Y 的价格仍维持在P Y1不变的情况下，商品X 的价格从P X1下降为P X2将导致预算线以其与纵轴的交点为原点发生逆时针旋转（如下图所示）。

从而，消费者对两种商品的需求量均发生变化，这种变化可以分解为替代效应和收入效应。

对于X 商品来说，替代效应为X 2－X 1，收入效应为X 3－X 2，总效应为X 3－X 1；
对于Y 商品来说，替代效应为Y 2－Y 1，收入效应为Y 3－Y 2，总效应为Y 3－Y 1。

商品1
商品2
征消费税时的征所得税时的
8.简述寡头垄断厂商之间进行价格博弈时，它们的需求曲线呈现折拗形状的原因；
答：如果一个寡头企业提高价格，行业中的其他寡头企业不会跟随提价，因而产品价格上升将使提价的寡头企业销售数量大幅减少；如果一个寡头企业降低价格，行业中的其它寡头企业为了保护自己的市场会跟随降低价格水平，甚至降价幅度更大，因而降低价格不能使降价的寡头企业的销售量显着增加。

可以推断出，在寡头市场上，寡头企业的需求曲线为一条折拗的曲线形状，折点就是现行的价格水平。

（1）需求曲线在P=P*处折拗；（2）在P>P*的线段，需求曲线非常具有弹性；（3）在P<P*的线段，需求曲线非常缺乏弹性。

因此，我们将此需求曲线称为折拗的需求曲线。

9.相对于完全竞争的产品市场而言，为什么垄断竞争的产品市场会导致经济缺乏效率？
在一个完全竞争的市场上，价格等于边际成本。

而垄断势力意味着价格超过边际成本，由于垄断势力的结果是较高的价格和较低的产量，因此它会使消费者受损而使垄断者收益。

但若将消费者的福利与生产者的福利看成是一样重要的。

那么，垄断势力究竟使消费者和生产者作为一个总体是受益的还是受损的呢？我们通过图来加以说明。

在图中，垄断势力之下的均衡为（Pm，Qm）。

消费者的剩余为CS = D，生产者的剩余为PS = A + E。

而在完全竞争的市场中，消费者的剩余为CS = A+B+D；生产者的剩余为PS = C + E。

故垄断势力带来的
剩余变化为：△CS＝－A－B；△PS＝A－C；总剩余的变化为：△CS +△PS＝－B －C。

－B－C 就是垄断势力给社会带来的无谓损失。

10.结合图形推导简要
说明为个体劳动供给曲线
向后弯曲的原因。

根据劳动者的最优化行为，对应于一个特定的工资率，劳动者在效用最大化点上确定最优劳动供给量，从而得到劳动的供给曲线，在工资水平较低时，工资率上升对劳动所产生的替代效应大于收入效应，因而人们愿意提供更多的劳动，减少闲暇消费；而当工资水平上升到一定程度以后，替代效应小于收入效应，因而人们增加闲暇时间的消费，而减少劳动时间。

因此，劳动的供给曲线向后弯曲。

四、计算题
2. 假定某消费者的效用函数为0.53U q M =+，其中，q 为某商品的消费量，M 为收入。

求：
（1）该消费者的需求函数；
（2）当价格1
12p =，4q =时的消费者剩余。

解（1）消费者收入的边际效用为：
3U
M
λ∂=
=∂ 该消费者最优消费量应满足的条件为
1/2132
U p q p q
λ-∂=
==∂ 所以消费的需求函数为： 1/22
1
636q p q p -=⇒=
（2）当1
12
p =
时，有2
114443636q p === 消费者剩余为：
4
4
400001111
(())6123123s q C p p q dq dq q q q ==⎛⎫=-=-=-=⎪⎪⎭⎰⎰ 可画图
5.某人有10万元的存款，存入银行可以获取2%的利率。

他可以将一部分钱投入股票市场，现在假设股票市场仅仅存在一种股票，收益率和方差服从正态分布(0.1,1)N ，他对于均值和方差的偏好为2(,)10U μσμσ=-，他应该将多少钱投入到股票市场上？
6. 7.
解：设投资者将x 比例的钱投放到股票市场上，则他存入银行的比例为（1-x ）。

这样，可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。

其中，无风险利率2%f r =，风险资产的期望收益率10%m r =，标准差1m σ=。

则投资组合的期望收益率
(1)10%(1)2%0.080.02x m f r xr x x x x x =+-=⨯+-⨯=+
标准差x m x x σσ==
则对投资组合的偏好可表示为：
2(,)10(0.080.02)x x U r x x σ=+-
20.80.2x x =-++
(,)20.80x x U r x σ'=-+=
得：0.4x =
即投资者应将10×=4（万元）的钱投放到股票市场上。

8.厂商的生产函数为3
231
24K
L Q = ，生产要素L 和K 的价格分别为
4=ω，8=r 。

求厂商的长期成本函数。

解：厂商长期中的最优化问题为：
min(48)L K +
.s t 12
3
324Q L K =
拉格朗日方程为：
12
33
48(24)V L K L K
Q λ=+--
223
3480V L K L
λ-∂=-=∂ 11338160V
L K K
λ-∂=-=∂ 从而有L K =，即24Q L K == 所以()482Q
LTC Q L K =+=
11.完全竞争行业中某厂商的成本函数为3263040STC Q Q Q =-++，成本用美元计算，假设产品价格为66美元。

（1）求利润极大时的产量及利润总额；
（2）由于竞争市场供求发生变化，新的均衡价格为30美元，在新的价格水平下，厂商是否会发生亏损如果会，最小的亏损额是多少
（3）该厂商在什么情况下才会退出该行业？
解：（1）厂商的短期成本函数为STC Q Q Q =-++3263040
则 d d STC
SMC Q
=
即 SMC Q Q =-+231230
又知P =66美元，而利润极大化的条件为P =SMC 。

即Q Q =-+26631230 解得：Q =6，Q =-2
显然，产量不应是负值，故Q =6 因此利润极大值为：π=TR TC -
()PQ Q Q Q =--++3263040 ()=⨯--⨯+⨯+3266666630640
=176
即利润极大值为176美元。

（2）由于市场供求发生变化，新的价格为P =30美元。

根据P =MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。

不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为
P =MC ，即30=3Q 2-12Q +30，∴Q =4，Q =0（没有经济意义，舍去）。

利润
32π(630TR TC PQ Q Q Q =-=--+ 3240)304(46430440)8+=⨯--⨯+⨯+=-
可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。

（3）厂商退出行业的条件是P ＜AVC 的最小值。

323263020,630STC Q Q Q VC Q Q Q Θ=-++=-+
∴VC
AVC Q Q Q
=
=-+2630 要求AVC 最低点的值，只要令d 0d AVC
Q
= 即Q -=260 解得：Q =3
当Q =3时，AVC =-⨯+=23633021
可见，只要价格P ＜21，厂商就会停止生产。

12已知成本函数为452++=Q Q Q C )(，求厂商的供给函数和利润函数。

解：根据短期成本函数，有25dC
MC Q dQ
=
=+，255Q Q AVC Q Q +==+。

故当0Q =时，AVC 达到最小，且min 5AVC =。

所以，企业的短期供给方程为25P Q =+（5P ≥）。

转化为习惯形式即：
15
22
Q P =
- （5P ≥）。

利润函数为2
15151
5()()54222222P PQ C Q P P P P π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅---+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
化简后为2159
()424
P P P π=
-+
14.某垄断竞争市场中一厂商的长期总成本函数为：
320.0010.42585LTC Q Q Q =-+
假设该市场中不存在进入障碍，产量由该市场的整个产品集团调整。

如果产品集团中所有厂商按同样比例调整它们的价格，出售产品的实际需求曲线为：
300 2.5Q P =-
（1）计算厂商长期均衡产量和价格。

（2）计算厂商主观需求曲线上长期均衡点的弹性。

（3）若厂商主观需求曲线是线性的，导出厂商长期均衡时的主观需求曲线。

解：（1）由320.0010.42585LTC Q Q Q =-+，得：
20.0010.42585LAC Q Q =-+
同时，由300 2.5Q P =-，得1200.4P Q =-
长期均衡时，实际需求曲线必然和LAC 曲线在均衡点相交。

令LAC=P ，则有：
20.0010.425851200.4Q Q Q -+=-
225350000Q Q --=
解得200Q =，所以1200.420040P =-⨯=。

（2）长期均衡时，主观需求曲线必然和LAC 曲线相切，且MR=MC 由320.0010.42585LTC Q Q Q =-+，得20.0030.8585LMC Q Q =-+ 当200Q =时，0.003400000.852008535LMC =⨯-⨯+= 因此，达到长期均衡时，可得35MR =
解得8d e =-
（3）假定主观需求曲线为P a bQ =-，这里a ，b 均为常数。

因为8d dQ
dQ P
Q e dP
dP Q
P
==
⨯=-，200Q =，40P = 所以
40dQ dP =-，即主观需求曲线的斜率1
0.02540
b =-=- 故有400.025200a =-⨯，解得45a = 从而主观需求曲线为450.025P Q =-
17. 某行业存在着N （2N >）家相同的企业，每家企业的成本函数相同，即成本函数为()i i C q cq =(12i N =，，0c >)。

市场需求函数为P a bQ =-，
1N
i i Q q ==∑。

通过古诺模型下的均衡产量和价格的决定证明当企业个数N →∞
时，市场均衡价格会等于企业的边际成本，即当企业家数无穷多时，市场结构会趋于完全竞争。

证明：企业j 的利润为
j j N
k k N j cq q q b a q q q --=∑=)(),,(1
21 π。

（1）
所谓古诺均衡是指存在一个产量向量),,(*
*2*1*N q q q q =，使得每一个企业的利润都达到最大。

这就是说，当所有别的企业的产量)(*
j k q q k k ≠=时，
*j q 必须使（1）式中的利润极大化。

于是，令
0)
(=∂⋅∂j
j q π，我们有 02*
*
=---∑≠c q b bq a N
j
k k j
（2）
即*
1
*j N
k k bq q b c a =--∑= （3）
注意到（3）式中的左端与我们考虑的企业j 是谁无关。

因此，在古诺均衡时，所有企业的*bq 必须等于（3）中的左端。

所以
**bNq c a bq --= （4）
换言之
b
N c
a q )1(*+-=
（5）
通过（5）式，我们知道对每个企业j 来说，在古诺均衡状态下的最优产量
*j q 为=
*j q b
N c
a )1(+- ;,,2,1N j = （6）
因此，总产量为)
1()
(1
*
+-=
∑=N b c a N q N
j j （7）
所以，01
1)())(1(1)(>+-=+---+=+--
-=-N c
a N c a N c a N N c a N c a c p
但是，当∞→N 时，c p →。

即价格会接近于边际成本。

这就是说当企业个数无数多时，市场结构会趋于完全竞争。

19.如果某行业是由一个价格领导（主宰）企业和50个小企业组成，该行
业的需求函数为100050Q P =-，每个小企业的成本函数为2
220.5C q =，而大企
业的成本函数为11C q =。

试求：
（1）领导企业的需求函数；
（2）领导企业的利润最大化产量是多少市场的总供给量是多少
解：（1）由2220.5C q =，得22MC q =。

设价格领导者确定的价格为P ，每个小企业都是市场价格的接受者，根据MC=P 的原则来确定供给数量。

所以2q P =为每个小企业的供给函数。

从而，领导者的需求函数为1100050501000100q P P P =--=- （2）由11000100q P =-，得1100.01P q =- 领导者的利润函数为
2111111(100.01)90.01q q q q q π=--=-
1
11
90.020q q π∂=-=∂
解得1450q =
从而1100.01 5.5P q =-=
故每家小企业的供给量为2 5.5q = 市场的总供给量为45050 5.5725q =+⨯=
21.假设某企业为其产品和要素市场上的完全垄断者，其生产函数为
Q =2L ，其中L 为生产中使用的劳动力数量。

若该企业的需求函数为Q =110-P ，劳动的供给函数为L =。

求生产者的产量为多少？在此产量下，劳动使用量L ，商品价格P 和工资W 各为多少？ 解：2Q L =,2L MP ∴=；
110Q P =-，110P Q ∴=-，(110)R PQ Q Q ==- 1102MR Q ∴=-
2204L L MRP MR MP Q ∴=⨯=-
402w L =+
2240C wL L L ∴==+
404ME L ∴=+
L MRP ME =时，利润达到最大 2204404Q L ∴-=+时利润达到最大 2Q L =
30158070Q L P w ∴====，，，。

23.甲有300单位商品x ，乙有200单位y ，两人的效用函数都是
(,)u x y xy =。

请推导出所有满足帕累托有效的配置。

两人通过交换达到帕累托
有效配置，求出两人进行交换的价格体系，并求出交换结果。

解：（1）设甲乙两人的消费束为：甲（x 1，y 1），乙（x 2，y 2）。

约束条件为：
1212300200
x x y y +=+= （1）
帕累托有效配置的条件是甲乙两人的无差异曲线相切，即
,,1122x y x y MRS MRS =即
121
2
x x y y MU MU MU MU ＝
于是我们有
12
12
y y x x ＝ （2） 联立（1）、（2）得：
11111130022003
y y y x x x -⇒=-＝ 因此，所有满足怕累托有效配置的契约线为112
3
y x =
（2）令x 价格为1，y 的价格为p ，先求甲的效用最大化条件：
max 11111(,)u x y x y =
..s t 11300x py +=
解得：1150x =，1150
y p
=
再求乙的效用最大化条件：
max 22222(,)u x y x y =
..s t 22200x py p +=
解得：1100x p =，1100y = 由第（1）问中的契约线方程112
3
y x =
可求解出 1.5p = 此时1150x =，1100y =，2150x =，2100y =。

26.假定两个具有相同偏好的人同居一室，他们的效用来自看电视的时间x 与所吃的零食量y 。

效用函数由下式给出
123
3()i i i
u x y x y =， （i =1, 2）
又假定每个人要花30元，10x p =元，10y p =元，并且假定两人是一起看电视的（禁止单独收看电视）。

问：这两个人该如何配置自己的收入，才符合萨缪尔森规则？
解：由已知的效用函数可得，
,2i
i
i X
Y
i i
u y
x MRS u x y ∂∂==∂∂ (1,2)i = 式中，x 为公共品（看电视的时间），y i 为私人品（个人i 的小吃量）。

按照萨缪尔森规则有
12
1212
,,,222X Y X Y
X Y y y y y MRS MRS MRT x x x
++=+== ,X Y MRT 的值已由两种商品的价格显示出来，即,10
52
x X Y y p MRT p =
== 由于两人偏好相同，在最优解时12y y y ==；又由于x （看电视）是两人一
即**5i y x =
但由预算约束可知，**30x y i p x p y += (1,2)i = 求解出* 1.5x =，*7.5i y =
五、证明题
1.一个企业的生产函数为),,(21n x x x Q Q =，Q 为产出，i x 为投入的第i 种要素的数量。

（1）用数学方法给出该企业处于规模报酬递增的表达；
（2）证明：把该规模报酬递增的企业一分为二，产出之和小于原来产出 解：（1）生产函数为),,(21n x x x Q Q =满足规模报酬递增的条件是：设t 为任一大于1的数值，有12
12
(,)(,)n n Q tx tx tx tQ x x x >。

（2）根据规模报酬递增函数的性质有
1212(2,22)2(,)22
222
2
n n
x x x x x x
Q Q ⋅
⋅⋅
> 所以12
12(,)2(
,)22
2
n
n x x x Q x x x Q >，这表明把规模报酬递增的企业一分为二，产出之和小于原来产出。

4.在两种商品交换的经济体中，两个人（a ，b ）有如下的效用函数：
12()ln 2ln a a a a U X X X =+，12()2ln ln b b b b U X X X =+，假定a 最初的资源禀赋(9,3)a R =，即a 拥有9个1X 和3个2X ；而b 最初的资源禀赋为(12,6)b R =，
即b 拥有12个1X 和6个2X 。

定义两种商品1X 和2X 的价格之比1
2
P P ρ=，并标准化商品2的价格21P =。

证明：均衡的价格水平*0.5ρ=。

解：对消费者a 来说，应满足如下目标函数：
1212,()ln 2ln a a
a a a a X X Max
U X X X =+
1121..93a a s t P X X P +=+ 构造拉格朗日函数为：
121121ln 2ln (93)a a a a L X X P X X P λ=+-+-- 由一阶条件可得：
11110a a
L P X X λ∂=-=∂ 222
0a a
L X X λ∂=-=∂ 1121930a a L P X X P λ
∂=+--=∂ 联立解得：111
31a P X P +=
，2162a X P =+ 对消费者b 来说，应满足如下目标函数：
1212,()2ln ln b b
b b b b X X Max U X X X =+
1121..126b b s t P X X P +=+ 构造拉格朗日函数为：
1211212ln ln (126)b b b b L X X P X X P λ=+-+-- 由一阶条件可得：
11120b b
L P X X λ∂=-=∂ 221
0b b
L X X λ∂=-=∂ 11211260b b L P X X P λ
∂=+--=∂ 联立解得：111
84b P X P +=
，2142b X P =+ 市场出清时应有：
解得10.5P =
故均衡的价格水平*1
2
0.5P P ρ==。