第八章__特征值问题

例 2 矩阵
(0,1,0)T ， 1、 11 、 A(ε) 的
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二、盖尔（Gerschgorin）定理
把矩阵
A 分裂成 A = diag(a11,L , ann ) + B ? D B
A 的扰动矩阵 A(ε) ? D εB ，显然 A(0) = D, A(1) = A 我们有理由猜测，如果 ε 足够小， A(ε) 的特征 L 、a） 值将位于 A(0) 的特征值（即元素 a11、 nn
由此，我们可以将 Gerschgorin定理看成定理 8 的“推论” 。
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事实上，设矩阵 A 的特征值 Gerschgorin区域 ，则有
ℓ 不属于 A 的
| ℓ ai i | ⊳ Ri , i ≪1, 2,⋯ , n 因此矩阵 ℓ I A 严格对角占优，根据定理 8 det(ℓ I A ) 0 这与 ℓ 是 A 的特征值相矛盾。
遗憾的是矩阵的特征向量一般不是矩阵元素的 连续函数，因此不一定是稳定的。
1 0 0 A(ε) = 0 1+ ε 1 ε 0 1+ ε 1+ ε、 1，特征向量为 的特征值为 1+ ε、 T (1,1/ ε , 1) - 。而 A(0) 的特征值为 和 特征向量为 (0,1,0)T 和 (1,0,0)T 。矩阵 特征向量在 ε = 0 处不连续。
1
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根据定理8，严格对角占优矩阵 征值，而
A 没有零特
| 0 ai i | ≪| ai i | ⊳ Ri , i ≪1, 2,⋯ , n
这说明矩阵
A 的特征值 ℓ 可能满足 | ℓ ai i | ℂ Ri , i ≪1, 2,⋯ , n
̃ ≪ A E , E ≪(⊙ ) 的解。这里 A i j
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我们希望知道矩阵元素的变化对特征对的影响。 |或 ⊙ ||的某个上 E || 由于我们一般只知道 ij | 界，因此有必要研究如何利用这样的上界，尽 x ̃ x ℓ̃ 与 可能准确地估计 ℓ 与 、 之间的差 距，从而可确定特征值问题的稳定性。 由于矩阵的特征多项式的系数是矩阵元素的连 续函数，而多项式的根都是其系数的连续函 数，因此矩阵的特征值作为特征多项式的零点 都连续地依赖于矩阵的元素。因此矩阵元素的 连续变化时，必有对应特征值的连续变化。
定理8 （Levy-Desplanques） Levy--Desplanques 严格对角占优矩阵是可逆矩阵。
证明：令 D ≪diag ( a11 , ⋯ , ann ) ，则矩阵
B �I D A 的元素 i ≪j š 0, bi j ≪ý a / a , i j i j i i þ 1 因此 || B ||ℕ ⊲ 1 ，所以矩阵 I B ≪D A 可逆，即矩阵 A 可逆。
n
=
i= 1 n
λi + λi
2
2
+
r s
t r s + ts r
2
=
i= 1 n
| Re( λi ) |2 +
r< s
| tr s | 2 2
2
³
å
i= 1
| Re( λi ) |2
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（1）的证明：
设
T A 有特征对 (λ, x) ，这里 x = ( x1,L , xn) ，则
令
n
a j k xk ≪ℓ x j , j ≪1,⋯ , n
k≪ 1 n n
| xp | = max| xj | ，则 | xp | ¹ 0，因此 j
历史上Gerschgorin定理的确是从 “严格对角占 优矩阵是非奇异的 ” 这一事实推导出来的。
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除了Gerschgorin区域外， Brauer发现优美的 Cassini椭圆形也可以用于估计特征值。 椭圆形 定理9 （Brauer）方阵 A = ( ai j ) C n´ n 的任意 特征值 ℓ 都位于 n( n 1) / 2 个Cassini椭圆 形的并集内，即
ℓ
i, j≪ 1 i j
∪ {z
n
C | z ai i | | z a j j | ℂ Ri R j }
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三、特征值的界
首先，根据矩阵 A 的Cartesian分解，有
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第八章 特征值问题
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特征值问题是线性代数的研究重点，在理论和 特征值问题 应用上都非常重要。 理论上 ，矩阵的特征值就是线性算子的 谱。 应用上，常微分方程（ ODE）、偏微分方程 （PDE）中许多问题都可以转化为矩阵特征值 问题。矩阵特征值问题的算法也是高性能计算 机的主要计算任务之一。可大致分为求解稠密、 中小型矩阵全部特征值的变换类方法和求解稀 疏、大型矩阵部分特征值的投影类方法。
构造 的某些小邻域内。
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定义3 对方阵 A = ( ai j )
C n´ n ，称
Gi ( A) �{ z C | z ai i | ℂ Ri }, i ≪1, ⋯ , n
为矩阵 A 的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并 ）圆 n 集 ∪ Gi ( A) 为矩阵 A 的行盖尔（Gerschgorin ） i≪ 1 区域。这里 区域 n
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§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于 1，因此特征值的估计就显得尤其必要，这方 面的理论在特征值问题中相当经典。
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一、从特征值问题的稳定性说起
工程计算中，求解 特征值问题 的特征对 特征对 ( ℓ , x ) 时，由于数据往往带有误差， ̃ ) ，实际上是 扰 因此我们计算出的特征对 ( ℓ̃ , x 动后的特征值问题
Ax ≪ℓ x
̃ ̃ ̃ ̃ A x ≪ℓ x
1, k p k≪
| ℓ a pp | | x p | ≪
a p k xk ℂ
1, k p k≪
| a p k | | xk |
ℂ | x p |
从而
k≪ 1, k p
n
| apk | ≪ | x p | R p
| ℓ app | ℂRp
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定理10(Schur)设 A 的特征值为 λ1 , L , λn ，则 （1） | λ1 |2 +
2 | λ | L+ n 2 || A ||F 2 || B ||F
（2） | Re( λ1 ) |2 + L （3） | Im( λ1 ) |2 + L 这里 B = 1 2 (A+
C n´ n ，如果
| ai i | Ri , i ≪1, 2,⋯ , n 则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。如果 按行对角占优矩阵 | ai i | ⊳ Ri , i ≪1, 2,⋯ , n
则称矩阵
A 为按行严格对角占优矩阵。 按行严格对角占优矩阵
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1/ n 1 /n (1 || B A || ) m1 n
（1）对 A 的任意特征值 ℓ i ，存在 征值 ∓ i ，使得 | ℓ i ∓ j |⊲ ○ （2）存在 1,L , n 的排列
B 的特
π(1),L , π(n)，使得 | ℓ i ∓≺ ( i ) | ⊲ (2n 1)○
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A = H1 + iH 2 ? B C H 1 ( A - AH ) ( A A ), H + = 这里H1 = 1 都 2 2 2i
是Hermite矩阵。 如果 C = O ，则 A 是Hermite矩阵，特征值 全为实数。当 C 的元素在 0附近变化时， A的 特征值出现复数，因此矩阵 C 可用于确定矩 阵 A 的特征值的虚部变化范围。
+ | Re( λn ) |2 + | Im( λn ) |
2
|| C ||
2 F
H AH ), C = 1 A ) ( A 2
。
并且当且仅当 A 是正规矩阵时，等号成立。
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（1）的证明：
A 的Schur分解为 A= UTUH ，上三角阵 T T = ( tr s ), ( r、s = 1, 2, L , n) 的主对角元就是 矩阵 A 的特征值。所以根据 F-范数的酉不变
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例 6 矩阵
20 5 0.8 A = 4 10 1 1 2 10i
经过对角相似变换
D = diag(1,1,0.5) 后，得
5 10 4 0.4 0.5 10i
20 B = D- 1AD = 4 2
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三个行Gerschgorin圆分别收缩为：
G1¢( A) = {z ? C | z 20|
G2¢( A) = {z ? C | z 10|
5.4}
4.5}
G3¢( A) = {z ? C | z 10i |
6}
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Gerschgorin定理与对角占优矩阵有密切关系。 定义7 对方阵 A = ( ai j )
Ri �
j≪ 1, j i
| ai j |
类似地，可定义矩阵
A 的列盖尔圆。 列盖尔圆
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定理4 （Gerschgorin ）对方阵 A = ( ai j ) （1）矩阵
C n´ n
A 的特征值都位于其行盖尔区域内； （2）若矩阵 A 有 m 个盖尔圆构成的并集 G 是 连通区域，并且与其余 n m 个盖尔圆均不相 交，则 G 中恰好有 A 的 m 个特征值。
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下述定理是特征值的这种连续性的定量分析。 定理1 （Ostrowski）设矩阵 A = ( ai j ), B = ( bi j ) 的特征值分别为 λi , μi ( i = 1, 2, L , n) 。令
δ = ( n + 2) [max(| ai j |,| bi j |)]1i, j
设 性，有
|| A || = || UTU || = || T ||
n
2 F
H
2 F
2 F
n
=
i= 1
| λi | 2 +
r< s
| tr s | 2
i=1
| λi | 2
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（2）的证明：
由于
H H ，因此 1 B= 2U(T + T )U 2 H 1 || B || 2 || ( T T ) || + F = F 2
例 5 矩阵
20 A= 4 1
5 10 2
0.8 1 10i
的三个行 Gerschgorin圆分别是：
G1( A) = {z ? C | z G2( A) = {z ? C | z G3( A) = {z ? C | z
20| 5.8} 10| 5} 10i | 3}
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因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值 的更加准确的估计， Gerschgorin发现可以将矩 阵 A 变换为其相似矩阵 B = D- 1 AD ，以减少 Gerschgorin圆的半径，达到隔离Gerschgorin 圆的目的。为计算方便，常常取 D为对角矩阵 Wilkson在名著《代数特征值问题》中，先将矩 阵变换成 Jordan标准型，再用 Gerschgorin定理 和对角相似变换，对不同特征值结构的特征值 问题进行了细致的扰动分析。