第7天——《中档解答题计划》——立体几何(一)(理科)

2020年高考备考资料——《临考一个月训练计划》
第七天——《中档解答题计划》——立体几何（一）
一.面面垂直证明，求线面角（逆向二面角）
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ． （1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；
（2）若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45︒，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值．
二.线面垂直证明，求线线角（翻折问题）
2．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，2AB =，6CD =，3AD =，E 为CD 上一点，且4DE =，过E 作//EF AD 交BC 于F 现将CEF ∆沿EF 折起到PEF ∆，使60PED ∠=︒，如图2．
（Ⅰ）求证：PE ⊥平面ADP ；
（Ⅱ）求异面直线BD 与PF 所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PF 上是否存在一点M ，使DM 与平在ADP 所成的角为30︒？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．
三. 面面垂直、线面平行证明，求二面角（棱锥载体）
3．如图，在三棱锥P ABC -中，AB ⊥平面PAC ，90APC ∠=︒，1AB =，2AC E 是
AB 的中点，M 是CE 的中点，N 点在PB 上，且4PN PB =．
（1）证明：平面PCE ⊥平面PAB ； （2）证明：//MN 平面PAC ；
（3）若60PAC ∠=︒，求二面角P CE A --的大小．
四. 线面垂直证明，求二面角（棱柱载体）
4．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形， 2AB BC ==，13BB =，D 为11A C 的中点，F 在线段1AA 上．
（1）AF 为何值时，CF ⊥平面1B DF ？
（2）设1AF =，求平面1B CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
第七天——《中档解答题计划》——立体几何（一）参考答案
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ． （1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；
（2）若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45︒，求直线BD 与平面PBC 所成
角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由//AD BC ，AD AB ⊥，可得BC AB ⊥， Q 侧面PAB ⊥底面ABCD ，交线为AB ，BC ⊂底面ABCD ，且BC AB ⊥，
则BC ⊥侧面PAB ，BC ⊥平面PBC ，
∴平面PAB ⊥平面PBC ．
（2）解：由BC ⊥侧面PAB ，可得BC PB ⊥，BC AB ⊥， 则PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ∴∠=︒， 由PA AB =，可得PAB ∆为等腰直角三角形， 取PB 的中点E ，连接AE ，可得AE PB ⊥，
Q 平面PAB ⊥平面PBC ，交线为PB ，AE ⊂平面PAB ，且AE PB ⊥，
AE ∴⊥平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE ，
//AD BC Q ，AD ⊂/平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，
则//AD 平面PBC ，
∴点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =．
设1AD =，则2PA AB BC ===，
在PAB ∆中，2AE =；在ABD ∆中，5BD ， 设直线BD 与平面PBC 所成角为θ， 则210
sin 5
d AE BD BD θ=
=== ∴直线BD 与平面PBC 10
．
2．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，2AB =，6CD =，3AD =，E 为CD 上一点，且4DE =，过E 作//EF AD 交BC 于F 现将CEF ∆沿EF 折起到PEF ∆，使60PED ∠=︒，如图2．
（Ⅰ）求证：PE ⊥平面ADP ；
（Ⅱ）求异面直线BD 与PF 所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PF 上是否存在一点M ，使DM 与平在ADP 所成的角为30︒？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）解法一：4DE =Q ，2PE =，60PED ∠=︒，由弦定理得23PD =， 22216PD PE DE +==Q ，PE PD ∴⊥．EF PE ⊥Q ，EF DE ⊥∴，EF ⊥平面PDE ，又//EF AD Q ，AD ∴⊥平面PDE ，AD PE ∴⊥，又Q 直线AD ，PD 在平面APD 内，且相交
于D ，PE ∴⊥平面APD ．
解法二：EF PE ⊥，EF DE ⊥∴，EF ⊥平面PDE ∴平面DEF ⊥平面PDE
以DA 所在的直线为x 轴，以DE 所在的直线为y 轴，在平面DPE 内过D 作DE 的垂线，以垂线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图
则(0D ，0，0)，(3A ，0，0)，(0P ，33)，(0E ，4，0)
∴(3DA =u u u r ，0，0)，(0DP =u u u r ，33)，(0EP =u u u r ，1-3)．Q 0DA EP =u u u r u u u r
g ，0DP EP =u u u r u u u r g ，
∴DA EP ⊥u u u r u u u r ，DP EP DA EP ⊥∴⊥u u u r u u u r
，DP EP ⊥，DA Q ，DP 是平面ADP 内的相交直线，
PE ∴⊥平面APD ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面PDE ，∴平面ADE ⊥平面PDE
以DA 所在的直线为x 轴，以DE 所在的直线为y 轴，在平面DPE 内过D 作DE 的垂线，以垂线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图
则(0D ，0，0)，(3A ，0，0)，(0P ，3
，(0E ，4，0)，3
(2
F ，4，0)，(3B ，2，0)，
∴(3DB =u u u r ，2，0)，3
(2PF =u u u r ，1
，
∴cos ,||||
DB PF DB PF DB PF <>==⨯u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u u r u u u r
设BD 与PF 所成的角为θ，则,DB PF θ=<>u u u r u u u r ，
∴cos θ=（Ⅲ）由（Ⅱ）知(0EP =u u u r ，1-
3
(2
PF =u u u r ，1
，
PE ⊥Q 平面ADP ，∴平面ADP 的法向量为(0n EP ==u u u
r r ，1-
． 设M 是线段PF 上一点，则存在01λ剟，
使PM PF λ=u u u u r u u u r ∴(0DM DP PM =+==u u u u r u u u r u u u u r ，3
3(2λ+，1
，3
(2
λ=，3λ+
，3)+
.cos ,||||n DM n DM n DM <>==⨯u u u u r r u u u u
r g r u u u u r r ，如果直线DM 与平面ADC 所成的角为30︒， 那么|cos ,|sin 30n DM <>=︒u u u u
r r
12=±
解得21613
λ= Q 此方程在[0，1]内无解，
∴在线段PF 上不存在一点M ，使DM 与平在ADP 所成的角为30︒．
3．如图，在三棱锥P ABC -中，AB ⊥平面PAC ，90APC ∠=︒，1AB =，2AC =，E 是
AB 的中点，M 是CE 的中点，N 点在PB 上，且4PN PB =．
（1）证明：平面PCE ⊥平面PAB ； （2）证明：//MN 平面PAC ；
（3）若60PAC ∠=︒，求二面角P CE A --的大小．
【解答】证明：（1）90APC ∠=︒Q ，PC AP ∴⊥，
AB ⊥Q 平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，
AB PC ∴⊥， AP AB A =Q I ，
PC ∴⊥平面PAB ， PC ⊂Q 平面PCE ，
∴平面PCE ⊥平面PAB ；
（2）取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，
M Q 是CE 的中点，MF ∴是AEC ∆的中位线，
则//MF AC ，24AB AE AF ==
4PN PB =Q ，
::PB PN AB AF ∴=，则//FN AP ， AP PC C =Q I ，∴平面//MNF 平面PAC ；
MN ⊂Q 面MNF ； //MN ∴平面PAC ，
（3）过P 作PO AC ⊥于O ，则PO ⊥平面ABC ，过O 作AB 的平行线交BC 于H ， 以O 坐标原点建立空间坐标系如图： 若60PAC ∠=︒，
90APC ∠=︒Q ，1AB =
，AC E 是AB 的中点，M 是CE 的中点，
12AP AC ∴=
=
，12OA AP ==
OC AC OA =-
sin 60OP AP =︒=
=
1
2
AE =，
则A 0，0)
，E 1
2
，0)
，(C ，0，0)，(0P ，0
， 则平面AEC 的一个法向量为(0m =r
，0，1)，
设平面PEC 的一个法向量为(n x =r
，y ，)z ，
则CE =u u u r 1
2
，0)
，(PC =u u u r 0
，，
则00n CE n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g
u u u r
r g
，即1020y +=⎨⎪=⎪⎩，
即y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，令1x =
，则z =
y = 即(1n =r
，
，则||n =r
则cos m <r
，1||||2m n n m n >==
==-r r g r r r ， 即m <r ，120n >=︒r
，
Q 二面角P CE A --是锐二面角，
∴二面角P CE A --的大小为60︒．
4．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形， 2AB BC ==，13BB =，D 为11A C 的中点，F 在线段1AA 上．
（1）AF 为何值时，CF ⊥平面1B DF ？
（2）设1AF =，求平面1B CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）因为直三棱柱111ABC A B C -中， 1BB ⊥面ABC ，2
ABC π
∠=
．
以B 点为原点，BA 、BC 、1BB 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为2AC =，90ABC ∠=︒
，所以AB BC = 从而(0B ，0，0)
，0,0)A
，(0,0)C ，1(0B ，0，3)
，10,3)A
，1(0,
3)C
，
3)D ，
所以13)CA =-u u u r
， 设AF x =，
则F ，0，)x
，
111),0,3),0).(00
CF x B F x B D CF B D x ==-==u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g ，所以1CF B D ⊥u u u r u u u u r
．
要使CF ⊥平面1B DF ，只需1CF B F ⊥． 由12(3)0CF B F x x =+-=u u u r u u u u r
g ，得1x =或2x =，
故当1AF =或2时，CF ⊥平面1B DF ．（5分） （2）由（1）知平面ABC 的法向量为1(0n =，0，1)．
设平面1B CF 的法向量为(n x =，y ，)z ，则由100n CF n B F ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r
g u u u u r
g
得0
20
z z +=-= 令1z =
得1)n =， 所以平面1B CF 与平面ABC
所成的锐二面角的余弦值1cos ,n n 〈>=
=．。