华师大版初中数学九年级上册第二次月考试题(河南省新乡一中

2017-2018学年河南省新乡一中
九年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）
A．北京林业大学B．北京体育大学
C．北京大学D．中国人民大学2．（3分）“任意买一张电影票，座位号是奇数”，此事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．必然事件D．确定事件3．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．（3分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）
A．45B．60C．72D．144
5．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）
A．9B．3C．0D．﹣3
6．（3分）如图，P A、PB、AB都与⊙O相切，∠P＝40°，则∠AOB等于（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的2倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（）
A．120°B．135°C．150°D．180°
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（1，n），B（3，n），若点C（﹣1．y1），D（0，y2），E（6，y3）也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 10．（3分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x2＝x的解是．
12．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有个红球．
13．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C＝22.5°，AB＝6cm，则⊙O半径为cm．
14．（3分）已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．则阴影部分的面积是．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣＜a＜﹣；④＜n＜中，
正确的是．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣7x+6＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点B2所经过的路线长（结果保留π）．
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）当m＝2时，求方程的两个根．
19．（9分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同
颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
20．（9分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线．
（2）若PB ＝3，DB ＝4，求DE 的长．
21．（10分）某公司购进一种商品的成本为30元/kg ，经市场调研发现，这种商品在未来90天的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的相关信息如图，销售量y （kg ）与时间t （天）之间满足一次函数关系，且对应数据如表，设第t 天销售利润为w （元）
（1）分别求出售单价p （元/kg ）、销售量y （kg ）与时间t （天）之间的函数关系式；
（2）问：销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
22．（10分）如图1，在R △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 、
E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝6，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
23．（11分）如图①，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P和点N，若以B，P，N为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）如图②，点M′（0，k）在射线BO上自由运动，过点M′垂直于y轴的直线与直线AB交于点Q，与y轴右侧的抛物线交于点N′，若三个点M′，Q，N′中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M′，Q，N′三点为“和谐点”．请直接写出使得M′，Q，N′三点成为“和谐点”
的k的值．
2017-2018学年河南省新乡一中九年级（上）第二次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）
A．北京林业大学B．北京体育大学
C．北京大学D．中国人民大学
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）“任意买一张电影票，座位号是奇数”，此事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．必然事件D．确定事件
【分析】根据随机事件的定义进行解答即可．
【解答】解：∵任意买一张电影票，座位号不是奇数就是偶数，
∴任意买一张电影票，座位号是奇数，此事件是不确定事件．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键．
3．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平
移方式中，正确的是（）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y ＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”
的法则是解答此题的关键．
4．（3分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）
A．45B．60C．72D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．
故选：C．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）
A．9B．3C．0D．﹣3
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，可以求得2a﹣b的值，从而可以求得6a﹣3b+6的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，
∴a×（﹣2）2+b×（﹣2）+6＝0，
化简，得
2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴6a﹣3b＝﹣9，
∴6a﹣3b+6＝﹣9+6＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，灵活变化，建立所求式子与已知方程之间的关系．
6．（3分）如图，P A、PB、AB都与⊙O相切，∠P＝40°，则∠AOB等于（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】设P A、PB、AB与⊙O相切于E、D、C，连接OE、OD、OC，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，OD⊥PB，OC⊥P A，利用四边形的内角和可计算出∠COD＝140°，再证△OAC≌△OAE，△OBD≌△OBE得到∠AOC＝∠AOE，∠BOD＝∠BOE，所以∠AOB＝∠COD＝70°
【解答】解：设P A、PB、AB与⊙O相切于E、D、C，连接OE、OD、OC，如图，
∴P A、PB、AB都与⊙O相切，
∴OE⊥AB，OD⊥PB，OC⊥P A，
∴∠COD＝180°﹣∠P＝140°，
在Rt△AOC和Rt△AOE中
，
∴Rt△AOC≌Rt△AOE，
同理可得△OBD≌△OBE，
∴∠AOC＝∠AOE，∠BOD＝∠BOE，
∴∠AOB＝∠COD＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
8．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的2倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（）
A．120°B．135°C．150°D．180°
【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
【解答】解：设底面半径为r，则母线为2r，
则2πr＝，
解得n＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（1，n），B（3，n），若点C（﹣1．y1），D（0，y2），E（6，y3）也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质，通过比较点C、D、E到对称轴的距离的大小判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵抛物线点A（1，n），B（3，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点C（﹣1．y1）到直线x＝2的距离为3，点D（0，y2）到直线x＝2的距离为2，点E（6，y3）到直线x＝1的距离为4，
而抛物线的开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质，利用二次函数的性质比较函数值的大小．
10．（3分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）【分析】设点A的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【解答】解：根据题意，点A、A′关于点C对称，
设点A的坐标是（x，y），
则＝0，＝﹣1，
解得x＝﹣a，y＝﹣b﹣2，
∴点A的坐标是（﹣a，﹣b﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中
至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
12．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有6个红球．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设袋中有x个红球．
由题意可得：＝20%，
解得：x＝6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．13．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C＝22.5°，AB＝6cm，则⊙O半径为3cm．
【分析】连接OB，OA，根据圆周角定理得出∠AOD的度数，再根据弦AB⊥CD，得到OA的长．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠C＝22.5°，
∴∠AOD＝45°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOB＝90°，
∴OE＝AB＝3，OA＝OB＝AB＝3cm，
故答案为3
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．（3分）已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．则阴影部分的面积是π﹣2．
【分析】连接AB，阴影部分面积＝S
扇形AOB ﹣S
△ABO
，依此计算即可求解．
【解答】解：连接AB，阴影部分面积＝S
扇形AOB ﹣S
△ABO
＝﹣×2×2＝
π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣＜a＜﹣；④＜n＜中，
正确的是①③④．
【分析】①由抛物线的对称轴为直线x＝1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b＝﹣
2a，将其代入3a+b，并判定其符号；
③根据两根之积＝﹣3，得到a＝﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的
性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n＝a+b+c＝c，利用c的取值范围可以求得
n的取值范围．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x＝﹣＝1
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴＝﹣3，则a＝﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不包含端点），
∴1＜c＜2
∴﹣＜﹣＜﹣，即﹣＜a＜﹣．
故③正确；
④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，
∴b＝﹣2a＝
n＝a+b+c＝c
∵1＜c＜2，
∴＜＜，即＜n＜．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣7x+6＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）2x2﹣7x+6＝0，
（2x﹣3）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝2；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2或x＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点B2所经过的路线长（结果保留π）．
【分析】（1）分别画出A、B、C关于原点O对称点A1、B1、C1即可；
（2）分别画出A、B、C绕原点O顺时针方向旋转90°得到的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用勾股定理求出OB，根据弧长公式计算即可；
【解答】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标（1，﹣2）；
（2）△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2如图所示，点A2的坐标（3，4）；
（3）在（2）的旋转过程中，点B旋转到点B2所经过的路线长＝＝
π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轨迹、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）当m＝2时，求方程的两个根．
【分析】（1）根据判别式的意义，证明△≥0即可；
（2）把m＝2代入方程得到x2﹣4x+4＝0，然后利用配方法解方程即可．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m
＝（m﹣2）2，
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：当m＝2时，原方程变为x2﹣4x+4＝0，
解得x1＝x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
19．（9分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同
颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【分析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求得方程：＝，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）设袋子中白球的个数为x，根据题意得：
＝，
解得：x＝1，
答：袋子中有1个白球；
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB＝3，DB＝4，求DE的长．
【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，
利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD 中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠OBP＝∠E＝90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB＝3，DB＝4，
根据勾股定理得：PD＝＝5，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC＝PB＝3，
∴DC＝PD﹣PC＝5﹣3＝2，
在Rt△CDO中，设OC＝r，则有DO＝4﹣r，
根据勾股定理得：（4﹣r）2＝r2+22，
解得：r＝，
∴OP＝＝，
∵∠E＝∠PBO，∠DPE＝∠OPB，
∴△DEP∽△OBP，
∴，
∴DE＝．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
21．（10分）某公司购进一种商品的成本为30元/kg，经市场调研发现，这种商品在未来90天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的相关信息如图，销售量y（kg）与时间t（天）之间满足一次函数关系，且对应数据如表，设第t天销售利润为w（元）
（1）分别求出售单价p（元/kg）、销售量
y（kg）与时间t（天）之间的函数关
系式；
（2）问：销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；（2）利用销量×每千克利润＝总利润，进而求出答案．
【解答】解：
（1）设y＝kt+b，把t＝10，y＝180；t＝30，y＝140代入得到：
，
解得：，
∴y＝﹣2t+200．
当0＜t＜50时，设p＝kt+40，由图象得B（50，90）
∴50k+40＝90，
∴k＝1，
∴p＝t+40，
当50≤t≤90时，p＝90；
（2）w＝（﹣2t+200）（t+40﹣30）＝﹣2t2+180t+2000＝﹣2（t﹣45）2+6050，所以当t＝45时w最大值为6050元，
w＝（﹣2t+120）（90﹣30）＝﹣120t+12000，
因为120＜0，
∴w随x增大而减小
所以t＝50时，w最大值＝6000，
综上所述，第45天利润最大，最大利润为6050 元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
22．（10分）如图1，在R△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，位置关系是PM⊥PN；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝6，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD ＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝16，
∴PM＝8，
＝PM2＝×82＝32．
∴S
△PMN最大
【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．
23．（11分）如图①，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P和点N，若以B，P，N为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）如图②，点M′（0，k）在射线BO上自由运动，过点M′垂直于y轴的直线与直线AB交于点Q，与y轴右侧的抛物线交于点N′，若三个点M′，Q，N′中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M′，Q，N′三点为“和谐点”．请直接写出使得M′，Q，N′三点成为“和谐点”
的k的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）情形1：当BN∥x轴时，△BNP是等腰直角三角形．情形2：当BN⊥AB 时，△PBN是等腰直角三角形．
（3）情形1：当M′Q＝QN′时，情形2：当M′N′＝QN′时，想办法构建方程解决问题即可；
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x+c得到c＝3，
∴直线的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）情形1：当BN∥x轴时，△BNP是等腰直角三角形．
理由：∵PM⊥AM，
∴∠AMP＝90°，
∴OA＝OB＝3，
∴∠MAP＝45°，
∴∠APM＝∠BPN＝45°，
∵BN∥OA，
∴∠NBP＝∠BPN＝45°，
∴△BNP是等腰直角三角形，
此时N（2，3），
∴M（2，0）．
情形2：当BN⊥AB时，△PBN是等腰直角三角形．
此时直线BN的解析式为y＝x+3，
由，解得或，
∴N（1，4），
∴M（1，0），
综上所述，满足条件的点M坐标为（2，0）或（1，0）；
（3）情形1：当M′Q＝QN′时，易知M′Q＝M′B＝QN′＝3﹣k，∴点N′的横坐标为6﹣2k，
∴﹣（6﹣2k）2+2（6﹣2k）+3＝k，
解得k＝或﹣3（舍弃）．
情形2：当M′N′＝QN′时，同法可得点N′的横坐标为，
∴﹣（）2+2×+3＝k，
解得k＝﹣5或3（舍弃），
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。