2022-2023学年河北省邢台市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年河北省邢台市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过点（1，0）作曲线y ＝e x
﹣1
的切线，则该切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．e ﹣
1
C ．e
D ．e +1
2．已知随机变量X ～N （1，σ2），若P （X ＞2）＝m ，则P （0≤X ≤2）＝（ ） A ．1﹣2m
B ．2m
C ．1
2−m
D ．m
3．等比数列{a n }满足a 1+a 3+a 5＝7，a 5+a 7+a 9＝28，则a 9+a 11+a 13＝（ ） A ．56
B ．﹣56
C ．﹣112
D ．112
4．8人序号为1，2，3，…，8，从前往后依次排一列，将6，7，8号拉出来插到前面队列中，5号成为末尾，且原来1，2，3，4，5号前后相对次序不变，不同的排法种数为（ ） A ．240
B ．210
C ．72
D ．35
5．(x +2+1
x )3展开式中的常数项为（ ） A ．6
B ．15
C ．20
D ．28
6．将7名同学分为3组，人数比例为3：2：2，星期日派往3个地方参加义务劳动，则不同的派法种数为（ ） A ．210 B ．105
C ．630
D ．1260
7．函数f(x)=e x
x
+x −lnx 的最小值为（ ） A ．e
B ．e +1
C ．1
D ．e ﹣1
8．数列{a n }单调递减，且a n =−n 3+λ(n 2+n)，则λ的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2）
B ．(−∞，7
2
)
C ．(−∞，74
)
D ．(−∞，54
)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．一组数据：1，2，4，4，7，10，14．则下列各选项正确的是（ ） A ．该组数据的中位数为4 B ．该组数据的平均数为6
C ．该组数据的极差为14
D ．该组数据的方差为
1307
10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1023﹣S 1000＝23，则（ ） A ．S 23＝23 B ．a 1012＝1
C ．S 2023＝2023
D ．a 1＝1
11．已知函数f （x ）＝x 2
﹣2xlnx ，g(x)=e x
−e 2x 2
4
，则下列各选项正确的是（ ）（参考数据：e ＝2.72）
A ．f （x ）在（0，+∞）上单调递增
B ．g （x ）有且仅有两个零点
C ．∃x ∈R ，f （x ）＝g （x ）
D ．若f （x ）＝kx 有两解x 1，x 2，则x 1x 2＞4
12．已知a ，b 均为正数，且满足a ≥1a +2b ，b ≥3a +2
b
，则（ ） A ．a +b ≥4
B ．a +b ≤9
C ．a 2+b 2≥3+2√6
D ．1
a +
1b
＜1+
√2
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a →
，b →
满足|a →
|=5，|b →
|=8，a →
⋅b →
=20，则|a →
−b →
|= ．
14．(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝729，则a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+(−1)n ⋅a n = ．
15．已知a ＝log 25，b ＝log 311，c =5
2
，则a ，b ，c 的大小关系是 .（用“＞”连接）
16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，沿平面B 1EF ，C 1FG ，D 1GH ，A 1HE 截去4个小三棱锥，则多面体EFGHA 1B 1C 1D 1的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）西部某村在产业扶贫政策的大力支持下，用2000亩地发展中药材A 的种植，中药材A 的平均亩产量（单位：千克/亩）主要是开花结果时节，受当地7月底～8月初的平均气温（单位：℃）的影响，下表是该村所在县20年来当地7月底～8月初的平均气温．
在当地7月底～8月初的平均气温的影响下，中药材A 的平均亩产量如下表．
将上表平均亩产量的频率作为概率．若中药材A 的平均亩产量不低于30千克/亩，则称为“高产量”，计划种植3年中药材A ，设这3年中药材A 获得“高产量”的年数为X ． （1）求X 的分布列； （2）求X 的数学期望及方差．
18．（12分）已知函数f （x ）＝sin x ﹣m cos x 在x =π
3时取得最大值． （1）求m ；
（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A −π
2
)=0，2b +c ＝3，求a 的最小值． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n n
=
2a n n+1
，a 1＝2．
（1）证明：{
S n n
}为等比数列．
（2）若b n =a
n+1a n S n
，求b 1+b 2+⋯+b n ．
20．（12分）乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”．有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，打100个球，若有大于90个打到对方球台的指定位置，则称为“优秀”，否则称为“一般”，在练球时，打球动作有“规范动作”和“不规范动作”两种，且在接受训练的学员中，将训练满10次而不满20次记为1组，训练满20次而不满30次记为2组，如此，n ＝1，2，3，…，训练满10n 次而不满10（n +1）次记为n 组．某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在“规范动作”和“不规范动作”的两群体中，在组数15组中各随机抽取10人，即两群体中各抽取50人，进行测试得出的关于“优秀”、“一般”的表1和表2如下．表1：
有“规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
表2：有“不规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
（1）填写以下表格，依据小概率值α＝0.05的独立性检验分析，推断“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”是否有关．
（2）在有“规范动作”的学员测试结果中，x 表示组数，y 表示“优秀”个数，由表1求平均值x 和y 及y 关于x 的经验回归方程：y =b x +a ．
参考数据及公式：χ2
=n(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．
∑ 5i=1x i y i
=
76，∑ 5i=1x i
2
=55，b =
∑i=1i i −bxy
∑ n
i=1x i
2−nx
2，a =y −b x ．
21．（12分）椭圆
x 2
a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆过点M(2√3，−√3)．
（1）求椭圆的方程；
（2）O 是坐标原点，A ，B 是椭圆上两点，OAMB 是平行四边形，求以AB 为直径的圆的方程． 22．（12分）已知函数f （x ）=a
2x 2﹣（a ﹣2）x ﹣2xlnx ． （1）若f （x ）为增函数，求a ；
（2）若0＜a ＜2，f ′（x ）有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：x 2−x 1＞4
a −2．
2022-2023学年河北省邢台市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过点（1，0）作曲线y ＝e x
﹣1
的切线，则该切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．e ﹣
1
C ．e
D ．e +1
解：设切点为（x 0，y 0），由y ＝e x ﹣
1，得y ′＝e x ﹣
1，
所以切线方程为y ﹣y 0＝y ′（x ﹣x 0），即y −e x 0−1=e x 0−1(x −x 0)， 将（1，0）代入得−e x 0−1=e x 0−1(1−x 0)，解得x 0＝2， 所以切线的斜率为e 2﹣
1＝e ．
故选：C ．
2．已知随机变量X ～N （1，σ2），若P （X ＞2）＝m ，则P （0≤X ≤2）＝（ ） A ．1﹣2m
B ．2m
C ．1
2−m
D ．m
解：由μ＝1，可得P （X ＜0）＝P （X ＞2）＝m ，P （0≤X ≤2）＝1﹣2m ． 故选：A ．
3．等比数列{a n }满足a 1+a 3+a 5＝7，a 5+a 7+a 9＝28，则a 9+a 11+a 13＝（ ） A ．56
B ．﹣56
C ．﹣112
D ．112
解：由题意知a 5+a 7+a 9=a 1q 4+a 3q 4+a 5q 4=(a 1+a 3+a 5)q 4=7q 4=28，解得q 4＝4，故a 9+a 11+a 13=(a 5+a 7+a 9)q 4=28×4=112． 故选：D ．
4．8人序号为1，2，3，…，8，从前往后依次排一列，将6，7，8号拉出来插到前面队列中，5号成为末尾，且原来1，2，3，4，5号前后相对次序不变，不同的排法种数为（ ） A ．240
B ．210
C ．72
D ．35
解：（法一），等同于设好8个位置，最后一个位置排5号，然后剩余7位置选三个排6，7，8号，排法
有C 73A 33=210种，
最后1，2，3，4号前后相对次序不变排入剩余4位置中，由分步计数原理可知不同的排法种数为210种；
（法二），根据分步乘法计数原理，先排6号，共有5种方法，再排7号，有6种方法，最后排8号，有7种方法，故共有5×6×7＝210种排法． 故选：B ．
5．(x +2+1x
)3展开式中的常数项为（ ） A ．6
B ．15
C ．20
D ．28
解：因为(x +2+1x )3=[(x+1)2
x ]3=(x+1)
6
x 3
，
所以展开式中的常数项即分子（x +1）6展开式中x 3的系数，即C 63
=20．
故选：C ．
6．将7名同学分为3组，人数比例为3：2：2，星期日派往3个地方参加义务劳动，则不同的派法种数为（ ） A ．210
B ．105
C ．630
D ．1260
解：依题意，得不同的派法种数为：C 73⋅C 42⋅C 2
2A 2
2⋅A 33=630．
故选：C ．
7．函数f(x)=e x
x +x −lnx 的最小值为（ ）
A ．e
B ．e +1
C ．1
D ．e ﹣1
解：函数f(x)=
e x
x
+x −lnx 的定义域为（0，+∞）， 且f ′(x)=(x−1)e x x 2+1−1x =(x−1)x 2
(e x
+x)， 因为x ＞0，所以e x +x ＞0，
当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，即f （x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，即f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在x ＝1处取得极小值即最小值， 故f （x ）的最小值为f （x ）min ＝f （1）＝e +1． 故选：B ．
8．数列{a n }单调递减，且a n =−n 3+λ(n 2+n)，则λ的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2）
B ．(−∞，7
2)
C ．(−∞，7
4)
D ．(−∞，5
4)
解：∵数列{a n }单调递减，∴a n +1﹣a n ＜0， ∴﹣（n +1）3+λ（n +1）2+λ（n +1）＜﹣n 3+λn 2+λn ，
则2λ＜3n 2+3n+1n+1=3(n +1)+1n+1−3=3n +1n+1
，
令f(x)=3x +
1x+1，f ′(x)=3−1
(x+1)
2，令f ′（x ）＞0，可知f （x ）在区间(√33−1，+∞)上单调递增，则数列b n =3n +1
n+1为单调递增数列，
2λ＜3n +
1n+1对所有的正整数都成立只需n ＝1时，2λ＜3n +1n+1
成立， 即2λ＜3×1+1
1+1，解得λ＜7
4， ∴λ的取值范围是(−∞，7
4
)． 故选：C ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．一组数据：1，2，4，4，7，10，14．则下列各选项正确的是（ ） A ．该组数据的中位数为4 B ．该组数据的平均数为6
C ．该组数据的极差为14
D ．该组数据的方差为
1307
解：对于A ，由中位数的定义可知该组数据的中位数为4，故A 正确； 对于B ，平均数为1
7×(1+2+4+4+7+10+14)=6，故B 正确；
对于C ，该组数据的极差为14﹣1＝13，故C 错误； 对于D ，方差为s 2=
1
7
×[(1−6)2+(2−6)2+(4−6)2+(4−6)2+(7−6)2+(10−6)2+（14﹣6）2
]=
130
7
，故D 正确． 故选：ABD ．
10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1023﹣S 1000＝23，则（ ） A ．S 23＝23 B ．a 1012＝1
C ．S 2023＝2023
D ．a 1＝1
解：S 1023−S 1000=a 1001+a 1002+⋯+a 1023=
23(a 1001+a 1023)
2
=23⇒a 1001+a 1023=2，
根据等差中项可得，a 1001+a 1023＝2＝2a 1012，则a 1012＝1，B 选项正确； 又S 2023=
2023(a 1001+a 1023)
2
=2023，C 选项正确；
若S 23＝23，注意到S 1023﹣S 1000＝a 1001+a 1002+…+a 1023＝23， 即a 1001+a 1002+…+a 1023＝a 1+a 2+⋯+a 23，设等差数列{a n }的公差为d ， 于是（a 1001﹣a 1）+（a 1002﹣a 2）+…+（a 1023﹣a 23）＝1000d ×23＝0⇔d ＝0， 此时等差数列{a n }为常数列，设a n ＝c ，由S 23＝23＝23c ，可得c ＝1，则a n ＝1， 这是不一定的，A 选项错误；
若a 1＝1，根据B 选项，a 1012＝1，故1011d ＝a 1012﹣a 1＝0，故d ＝0，结合C 选项分析可知D 选项错误．
故选：BC ．
11．已知函数f （x ）＝x 2﹣2xlnx ，g(x)=e x −e 2x 2
4
，则下列各选项正确的是（ ）（参考数据：e ＝2.72） A ．f （x ）在（0，+∞）上单调递增 B ．g （x ）有且仅有两个零点
C ．∃x ∈R ，f （x ）＝g （x ）
D ．若f （x ）＝kx 有两解x 1，x 2，则x 1x 2＞4
解：对于A ，令m （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣2lnx ， 则m ′(x)=2−2
x =
2(x−1)
x
， 令m ′（x ）＞0，解得x ＞1，f ′（x ）单调递增， 令m ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1，f ′（x ）单调递减， 故f ′（x ）≥f ′（1）＝0，
故f （x ）在（0，+∞）上单调递增，A 正确； 对于B ，y ＝e x 在（﹣∞，0）上单调递增，y =e 2x 2
4
在（﹣∞，0）上单调递减， 故g(x)=e x −
e 2x 2
4
在（﹣∞，0）上单调递增， 且g(−1)=1e −e 2
4＜0，g(0)=1＞0，
由函数零点存在性定理可知g （x ）在（﹣∞，0）有且仅有1个零点， 在（0，+∞）上，e x −e 2x 2
4=0，即(e x
2−ex
2)(e x
2+ex
2)=0， 设ℎ(x)=
e x 2
−ex 2，ℎ′(x)=12e x 2−e
2
， 令h ′（x ）＞0，解得x ＞2，h （x ）单调递增， 令h ′（x ）＜0，解得0＜x ＜2，h （x ）单调递减， 当x ＝2时，h （x ）取得最小值h （2）＝0，
故在（0，+∞）上，g （x ）有且仅有1个零点，故B 正确；
对于C ，令F(x)=f(x)−g(x)=x 2
−2xlnx −e x
+e 2x 2
4
，
则F(12
)=
14+ln2−√e +e 216＜0，F(1)=1−e +e 24＞1−2.8+7.24=0， 故F （x ）在(12
，1)上有零点，C 正确； 对于D ，依题意，x 1﹣2lnx 1＝k ，x 2﹣2lnx 2＝k ， 两式相减得x 1﹣x 2＝2lnx 1﹣2lnx 2， 即
x 1−x 2lnx 1−lnx 2
=2，
记F(t)=lnt −1
2(t −1
t )(t ＞1)，
则F′(t)=1
t
−
1
2
(1+
1
t2
)=
−t2+2t−1
2t2
=−
(t−1)2
2t2
＜0，
故F（t）在（1，+∞）上单调递减，
故F(t)=lnt−1
2
(t−
1
t
)＜F(1)=0，
因此lnt＜1
2
(t−
1
t
)，
设x1＞x2＞0，则t=√x1
x2
＞1，
所以ln√x1
x2
＜1
2
(√
x1
x2
−
1
√1
x2
)，
即√x1
x2
(lnx1−lnx2)＜(
x1
x2
−1)，
即√x1x2＜
x1−x2
lnx1−lnx2
，
因此√x1x2＜
x1−x2
lnx1−lnx2
=2，
则x1x2＜4，故D错误．故选：ABC．
12．已知a，b均为正数，且满足a≥1
a +
2
b
，b≥
3
a
+
2
b
，则（）
A．a+b≥4B．a+b≤9
C．a2+b2≥3+2√6D．1
a +
1
b
＜1+
√2
2
解：对于A，∵a+b≥(1
a
+
2
b
)+(
3
a
+
2
b
)=4(
1
a
+
1
b
)，
∴(a+b)2≥4(1
a
+
1
b
)(a+b)=4(2+
b
a
+
a
b
)≥4(2+2√
b
a
⋅
a
b
)=16（当且仅当a＝b时取等号），
∴a+b≥4，A正确；
对于B，当a＝b＝5时，满足a≥1
a
+
2
b
，b≥
3
a
+
2
b
，此时a+b＝10＞9，B错误；
对于C，由a≥1
a
+
2
b
得：a2≥1+
2a
b
；由b≥
3
a
+
2
b
得：b2≥
3b
a
+2；
∴a2+b2≥3+2a
b
+
3b
a
，又
2a
b
+
3b
a
≥2√
2a
b
⋅
3b
a
=2√6（当且仅当√2a=√3b时取等号），
∴a2+b2≥3+2√6，C正确；
对于D，∵a≥1
a
+
2
b
＞1
a
，∴a＞1，∴
1
a
＜1；
∵b≥3
a
+
2
b
＞2
b
，∴b＞√2，∴
1
b
＜
√2
2
；
∴1a
+
1b
＜1+
√2
2
，D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a →
，b →
满足|a →
|=5，|b →
|=8，a →
⋅b →
=20，则|a →
−b →
|= 7 ． 解：因为|a →
|=5，|b →
|=8，a →
⋅b →
=20，
所以(a →
−b →)2
=a →2
−2a →
⋅b →
+b →
2=25−40+64=49， 所以|a →
−b →|=7． 故答案为：7．
14．(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝729，则a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+(−1)n ⋅a n = 1 ．
解：当x ＝1时，（1+2）n ＝a 0+a 1+…+a n ＝729，即3n ＝36，则n ＝6， 取x ＝﹣1，则有a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 6=(−1)6=1． 故答案为：1．
15．已知a ＝log 25，b ＝log 311，c =5
2，则a ，b ，c 的大小关系是 c ＞a ＞b .（用“＞”连接）
解：因为a −2=log 254=log 35
4log 32＞log 354=log 34536＞log 34436=log 311
9
=b −2，所以a ＞b ，
因为252=√32＞5，则5
2
＞log 25，所以c ＞a ，
综上：c ＞a ＞b ． 故答案为：c ＞a ＞b ．
16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，沿平面B 1EF ，C 1FG ，D 1GH ，A 1HE 截去4个小三棱锥，则多面体EFGHA 1B 1C 1D 1的外接球表面积为
41π4
．
解：设正方形EFGH 的中心为M ，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为N ， 连接MN ，则多面体EFGHA 1B 1C 1D 1外接球的球心O 在MN 上．
设该几何体外接球的半径为R ，OM ＝x ，则ON ＝2﹣x ， 连接NB 1，OB 1，OF ，MF ，
在Rt △OMF 中，x 2+12＝R 2，在Rt △OB 1N 中，(2−x)2+(√2)2=R 2， 则x 2+12=(2−x)2+(√2)2，解得x =54
， 故R 2=41
16，S 球=4πR 2=41π
4． 故答案为：
41π4．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）西部某村在产业扶贫政策的大力支持下，用2000亩地发展中药材A 的种植，中药材A 的平均亩产量（单位：千克/亩）主要是开花结果时节，受当地7月底～8月初的平均气温（单位：℃）的影响，下表是该村所在县20年来当地7月底～8月初的平均气温．
在当地7月底～8月初的平均气温的影响下，中药材A 的平均亩产量如下表．
将上表平均亩产量的频率作为概率．若中药材A 的平均亩产量不低于30千克/亩，则称为“高产量”，计划种植3年中药材A ，设这3年中药材A 获得“高产量”的年数为X ． （1）求X 的分布列； （2）求X 的数学期望及方差．
解：（1）计划种植3年中药材A ，这3年中药材A 获得“高产量”的年数X 的可能取值为0，1，2，3， 每年中药材A 获得“高产量”的概率为
6+220
=2
5
，
则P(X =0)=C 30
×(3
5)3=
27125， P(X =1)=C 31
×2
5×(35
)2=54125
， P(X =2)=C 32×(25)2×
35=36125， P(X =3)=C 33
×(2
5)3=8
125，
X 的分布列为：
（2）由题意知X ～B(3，2
5)，则E(X)=3×
25=1.2，D(X)=3×25×3
5
=0.72． 18．（12分）已知函数f （x ）＝sin x ﹣m cos x 在x =π
3
时取得最大值． （1）求m ；
（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A −π2
)=0，2b +c ＝3，求a 的最小值． 解：（1）f(x)=√m 2+1(√m 2+1
−
√m 2+1
=√m 2+1sin(x +φ)，
其中cosφ=
1
√m 2+1
，sinφ=m
√m 2+1
，故√m 2+1为f （x ）的最大值，
故sin π
3
−mcos
π
3=√m 2+1=√3−m 2，解得m =−√33
； （2）f(x)=sinx +√3
3cosx =2√33sin(x +π
6)， f(A −π
2
)=
2√33sin(A −π
3
)=0， 由A ∈(0，π)⇔A −
π3∈(−π3，2π3)，故只有A =π
3
， 由余弦定理及2b +c ＝3，得a 2=b 2+c 2−bc =b 2+(3−2b)2−b(3−2b)=7b 2−15b +9=7(b −
1514)2+2728≥27
28
， 所以a ≥
3√2114，当且仅当b =1514，c =6
7时，a 取得最小值3√2114
． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n n
=
2a n
n+1
，a 1＝2．
（1）证明：{
S n n
}为等比数列．
（2）若b n =a
n+1a n S n ，求b 1+b 2+⋯+b n ．
（1）证明：由题意，当n ≥2时，
S n n
=
2a n n+1
=
2(S n −S n−1)
n+1=2•
S n
n+1
−2•
S n−1n+1
，
化简，得（2
n+1
−1n
）•S n =
2
n+1•S n ﹣1
， 整理，得S n n
=2•S n−1n−1
，
∵
S 11
=
a 11=2，
∴数列{
S n n
}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得，S n n
=2•2n ﹣
1＝2n ，
则S n ＝n •2n ，
当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣
1＝（n +1）•2n ﹣
1，
∵当n ＝1时，a 1＝2也满足上式， ∴a n ＝（n +1）•2n ﹣
1，n ∈N *，
∴b n =a n+1a n S n =(n+2)⋅2n
(n+1)⋅2n−1⋅n⋅2n =n+2n(n+1)⋅2n−1 =1n⋅2n−2−1
(n+1)⋅2
n−1， ∴b 1+b 2+⋯+b n =11⋅2−1−12⋅20+12⋅20−13⋅21+⋯+1n⋅2n−2−1
(n+1)⋅2
n−1 =
11⋅2−1−1
(n+1)⋅2n−1 ＝2−
1
(n+1)⋅2
n−1． 20．（12分）乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”．有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，打100个球，若有大于90个打到对方球台的指定位置，则称为“优秀”，否则称为“一般”，在练球时，打球动作有“规范动作”和“不规范动作”两种，且在接受训练的学员中，将训练满10次而不满20次记为1组，训练满20次而不满30次记为2组，如此，n ＝1，2，3，…，训练满10n 次而不满10（n +1）次记为n 组．某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在“规范动作”和“不规范动作”的两群体中，在组数15组中各随机抽取10人，即两群体中各抽取50人，进行测试得出的关于“优秀”、“一般”的表1和表2如下．表1：
有“规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
表2：有“不规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
（1）填写以下表格，依据小概率值α＝0.05的独立性检验分析，推断“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”是否有关．
（2）在有“规范动作”的学员测试结果中，x 表示组数，y 表示“优秀”个数，由表1求平均值x 和y 及y 关于x 的经验回归方程：y =b x +a ．
参考数据及公式：χ2
=n(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．
∑ 5i=1x i y i
=
76，∑ 5i=1x i
2
=55，b =
∑i=1i i −bxy
∑ n
i=1x i 2
−nx
2，a
=y −b x ．
解：（1）填写的表格如下：
因为χ2
=100×(20×40−10×30)2
50×50×70×30
≈4.762＞3.841=x 0.05，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”有关； （2）x =1+2+3+4+55=3，y =1+2+4+6+7
5
=4，
则b =
∑ 5i=1x i y i −5x⋅y ∑ 5
i=1x i 2
−5x
2=
76−5×3×4
55−5×3
2
=1.6，a =y −1.6x =−0.8， 故所求经验回归方程为y =1.6x −0.8． 21．（12分）椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆过点M(2√3，−√3)．
（1）求椭圆的方程；
（2）O 是坐标原点，A ，B 是椭圆上两点，OAMB 是平行四边形，求以AB 为直径的圆的方程．
解：（1）易知2a =|MF 1|+|MF 2|=√(2√3+2)2+3+√(2√3−2)2+3 =√19+8√3√19−8√3=4−√3+4+√3=8， 所以a ＝4， 又c ＝2，
所以b =√a 2−c 2=2√3， 则椭圆的方程为
x 216
+
y 212
=1．
（2）不妨设线段OM 的中点为Q ，此时Q(√3，−√3
2)， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时
x 1
216
+
y 1
212
=1，
x 2
216
+
y 2
212
=1， 两式相减并整理得34
+y 1−y 2x 1−x 2⋅
y 1+y 2x 1+x 2
=0，
易知
y 1−y 2x 1−x 2
=k AB ，
而y 1+y 2=2y Q =−√3，x 1+x 2=2x Q =2√3， 所以3
4
+k AB ⋅(−1
2
)=0，
解得k AB =3
2．
则直线AB 的方程为y +√3
2
=32
(x −√3)，
即y =32
x −2√3，
联立{y =32
x −2√3
x 216+y
212=1，消去y 并整理得12x 2−24√3x =0， 解得x 1＝0，x 2=2√3，
所以|AB|=√1+9
4|x 1−x 2|=√39，
故所求圆的方程为(x−√3)2+(y+√3
2)2=
39
4
．
22．（12分）已知函数f（x）=a
2
x2﹣（a﹣2）x﹣2xlnx．
（1）若f（x）为增函数，求a；
（2）若0＜a＜2，f′（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，证明：x2−x1＞4a−2．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
若f（x）为增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上单调递增，
f′（x）＝ax﹣（a﹣2）﹣2（lnx+x•1
x
）＝ax﹣a﹣2lnx，所以ax﹣a﹣2lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝ax﹣a﹣2lnx，x＞0，
g′（x）＝a−2
x =
ax−2
x
，
当a≤0时，ax﹣2＜0，
所以在（0，+∞）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（1）＝0，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，不合题意，
当a＞0时，令g′（x）＝0得x=2 a ，
所以在（0，2
a
）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，
在（2
a
，+∞）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（2
a ）＝a•
2
a
−a﹣2ln
2
a
=2﹣a﹣2ln2+2lna≥0，
令h（a）＝2﹣a﹣2ln2+2lna，则h（a）≥0，
h′（a）＝﹣1+2
a =
−a+2
a
，
令h′（a）＝0得a＝2，
所以在（0，2）上h′（a）＞0，h（a）单调递增，在（2，+∞）上h′（a）＜0，h（a）单调递减
所以h（a）≤h（2）＝0，
所以h（a）＝0，
所以a＝2．
（2）证明：f（x）=a
2
x2﹣（a﹣2）x﹣2xlnx，
f′（x）＝ax﹣（a﹣2）﹣2（lnx+x•1
x
）＝ax﹣a﹣2lnx，因为f′（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，
所以方程ax﹣a﹣2lnx＝0有两个根x1，x2，且x1＜x2，令u（x）＝ax﹣a﹣2lnx，
u′（x）＝a−2
x =
ax−2
x
，0＜a＜2，
令u′（x）＝0，得x=2 a ，
所以在（0，2
a
）上u′（x）＞0，u（x）单调递增，
在（2
a
，+∞）上u′（x）＜0，u（x）单调递减，因为0＜a＜2，
所以2
a
＞1，
又u（1）＝0，
所以x1＝1＜x2，且ax2﹣a﹣2lnx2＝0，
所以a=2lnx2
x2−1
，
要证明x2﹣x1＞4a−2，
即证x2﹣1＞4
2lnx2
x2−1
−2，
即证x2lnx2+lnx2﹣4（x2﹣1）＞0，
令t（x）＝xlnx+lnx﹣4（x﹣1），x＞1，
t′（x）＝lnx+x•1
x −2+
1
x
=lnx﹣1+
1
x
，
令p（x）＝lnx﹣1+1
x
，x＞1，
p′（x）=1
x −
1
x2
=
x−1
x2
，
所以在（1，+∞）上p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）＞p（1）＝0，
所以t′（x）＞0，
所以t（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以t（x）＞t（1）＝0，得证．。