陕西省延安市2021届数学高二上学期期末教学质量检测试题

陕西省延安市2021届数学高二上学期期末教学质量检测试题
一、选择题
1．抛物线28y x =的焦点到准线的距离等于（ ） A.2
B.4
C.6
D.8
2．设随机变量X ～()2,9N ，且()()4P X m P X m >=<-，则m 的值为 A.1
B.2
C.3
D.4
3．三棱锥A BCD -的棱长全相等，E 是CD 中点，则直线AE 与直线BD 所成角的正弦值为（ ）
D.
12
4．若复数满足，则的实部为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．在一项调查中有两个变量x （单位：千元）和y （单位：t ），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程类型的是（ ）
A ．y ＝a+bx
B ．y ＝
C ．y ＝m+nx 2
D ．y ＝p+qe x
（q ＞0）
6．若函数()ln a
f x x x =+（a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a 的取值范围是 A.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B.1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C.(,0)-∞
D.(0,1)
7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2
221()4
a b c -
+-，1
sin 2
B =，则A =（ ）
A.105
B.75
C.30
D.15
8．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数
|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．在ABC ∆中，120A =︒，14BC =，10AB =，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．15
B ．
C ．40
D ．10．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）
A.
1
32e e
+- B.
3
2e e
++ C.4 D.2e 1-
11．函数()2tan f x x x =-在(,)22
ππ
-
上的图像大致为（ ） A
． B
．
C ．
D ．
12．7人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，那么不同的排法总数是 A ．1440 B ．3600 C ．4320 D ．4800
二、填空题
13．已知下列表格所示数据的回归直线方程为 3.8y x a =+，则a 的值为
__________.
14
．1
1
)2
x dx +
⎰
= . 15．给下列三个结论：
①命题“2
,0x R x x ∃∈->”的否定是“2
,0x R x x ∀∈-≤”； ②若2am b <2m ，则a b <的逆命题为真；
③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”； 其中正确的结论序号是_______________（填上所有正确结论的序号）．
16．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，则事件“986x y +≥”的概率为_______． 三、解答题
17．教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的列联表（单位：人）
（1）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时 间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8 分钟，现小明.小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比 小明先正确解答完的概率；
（2）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们的答题情况进行全程研究，记A.B 两人中被抽到的人数为
，求
的分布列及数学期望
.
18．已知函数 f(x)＝
，x ∈R ，其中 a ＞0.
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数 f(x)（x ∈(－2,0)）的图象与直线 y=a 有两个不同交点，求 a 的取值范围． 19．已知锐角
，且
，求：
（1）；（2）
20．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求的值域.
21．设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值.
22．已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于，两点，交此抛物线于，两点，其中，在第一象限，，在第二象限.
(1)求该抛物线的方程；
(2)是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明
理由.
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一、选择题
13．240
14．
1 4π+
15．①
16．3 4
三、解答题
17．（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：(1)第（1）问，主要利用线性规划的知识和几何概型的知识分析解答，先写出满足题意的线性约束条件，再画出平面区域，最后利用几何概型的公式解答. (2)第（2）问，先写出的值，再写出的分布列求出数学期望.
试题解析：
(1)设小明和小刚解答这道数学应用题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示) 设事件为“小刚比小明先解答完此题” 则满足的区域为
由几何概型即小刚比小明先解答完此题的概率为.
（2）可能取值为，，，
的分布列为：
.
18．（1）函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．
（2）(0, ).
【解析】
分析：（1）先求函数的导函数，找出导函数的零点，把定义域由零点分成几个区间判断导函数在各区间内的符号，从而得到原函数在个区间内的单调性；（2）根据（1）中求出的单调区间，说明函数在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，结合函数零点和方程根的转化列式可求a的范围．
详解：
(Ⅰ)f′(x)＝＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由f′(x)＝0，得＝－1，＝a＞0.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
单调递减区间是(－1，a)．
(Ⅱ) 令 g(x)=f(x)-a，x∈(－2,0)，
则函数 g(x)在区间(－2,0)内有两个不同的零点，
由(Ⅰ)知 g (x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，
从而
解得 0＜a＜. 所以 a 的取值范围是(0, )
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
19．（1）.
（2）.
【解析】
分析：（1）首先利用正弦倍角公式将式子转化，之后应用平方关系将整式转化为分式，上下同除
，将式子转化为关于的式子，求解即可；
（2）利用倍角公式求得，结合题中所给的的值，结合题中角的范围，求得，之后应用差角公式求得结果.
详解：（1）∵
∴
（2）∴且为锐角∴
∵且为锐角∴
∴
∴.
点睛：该题考查的是有关三角恒等变换求值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式、倍角公式、差角公式，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.
20．(1)单调增区间为和，单调减区间为；(2).
【解析】
分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间. (2)先写出函数在的单调区间，再根据函数的单调区间写出函数f(x)的值域.
详解：（1）由题意得，，
令，则或；令，则；
∴的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减，
∵，，，，
∴的值域为.
点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和函数的值域，属于基础题.
21．(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）由于与轴垂直，因此就是圆心，的长是抛物线的通径长，从而易求得；
（2）点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，从而可得，设动点，求出到直线的距离，利用基本不等式可求得
它的最小值，从而得三角形面积的最小值．
【详解】
(1)由题意得，圆的半径，解得：
故抛物线的方程为.
(2)设点，，由直线过抛物线的焦点，
联立得，
故，所以
由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离
，
由，故
当且仅当，即时，取等号，所以，
∴，
故面积的最小值为.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系问题．在直线与抛物线的位置关系中常用设而不求思想，即点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，有时还有，然后再让，参与计算可求得结论（如弦长，面积、定值、定点等）．
22．（1）抛物线的方程为（2）存在满足要求的直线，其方程为或
【解析】
试题分析：（1）圆方程可化为可化为圆心的坐标为，抛物线的方程为；（2）由等差数列性质可得
，再由，，
存在满足要求的直线，其方程为
或.
试题解析：
（1）可化为，
根据已知抛物线的方程为（）.
∵圆心的坐标为，∴，解得.
∴抛物线的方程为.
（2）∵是与的等差中项，圆的半径为2，∴.
∴.
由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，
设，，
由，得，，
故，.
∵
∴
由，解得.
∴存在满足要求的直线，其方程为或
【点睛】
本题解题关键有：
1利用数形结合思想求得，从而求得抛物线方程；
2利用转化化归思想求得，进而取得；
3利用设而不求法及弦长公式将上述条件坐标化.
4选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
已知曲线，，直线(是参数)
（1）求出曲线的参数方程，及直线的普通方程；
（2）为曲线上任意一点，为直线上任意一点，求的取值范围．
(1) ；(2) ．
【解析】
试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（
2）设则到直线的距离为
由，可得，进而可得
由此，可得，则的取值范围可求．
试题解析：（1）曲线的普通方程为：
∴曲线的参数方程（为参数，）
直线的普通方程为：
（2）设
∴到直线的距离为
∵
∴
∴
∴
∴。