高一数学集合练习题及答案

高一数学集合练习题及答案
一、单选题
1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，
{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设集合{}
2
|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}
2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个
数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．无数个 3．已知集合{}1,2,3,4A =，2{|log ,}B y y x x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{}1,2
B ．{}1,3
C ．{}1,2,3
D ．{}1,3,4
4．已知{}
2
4,A y N y x x x Z =∈=-+∈，{}ln 1B x x =>，则()R A B =（ ）
A ．{0,1,2}
B ．{1,2}
C ．{1,2,3,4}
D ．{0}
5．已知全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，2}，B ={2，3}，则 ()U
A B ⋃=（ ）
A ．{4，5}
B ．{1，2}
C ．{2，3}
D ．{1，2，3，4}
6．已知{}+|17A x N x =∈-≤≤，{}|31,B x x n n N ==+∈，则A B =（ ） A ．{}1,4
B ．{}4,7
C ．{}1,4,7
D ．{}1,1,4,7-
7．已知集合{}1,0,1A =-，(){}
20B x x x =-≤，那么A B =（ ） A ．{}1-
B ．{}0,1
C ．{}0,1,2
D ．{}01x x ≤≤
8．已知集合{}
|21x
A x =>，{}
22B x
y x x ==-∣，则A B =（ ） A ．()0,+∞ B ．(]0,2 C ．(]1,2 D ．[)2,+∞
9．设集合{}40,2,1,1,21x A x
B x +⎧⎫
=>=--⎨⎬-⎩⎭
，则()R A B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}2,1-- C ．{}2,1,1--
D ．{}2,1,1,2--
10．设{}13A x x =-<≤，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3a a ≥
B ．{}1a a ≤-
C ．{}3a a >
D ．{}1a a <-
11．设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =≤≤=，则()U A B =（ ） A ．{0,4,5}
B ．{0,1,3,4,5}
C ．{4,5}
D ．{0}
12．已知集合*1|2cos ,,|2232x n A x x n B x π⎧⎫⎧==∈=≤≤⎨⎬⎨⎩⎭⎩N ，则A B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2-
D ．1,0,1,2
13．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =，则()U
B A =（ ）
A ．{}2-
B ．{}2,2-
C ．{}2,1,0,3--
D ．{}2,1,0,2,3--
14．已知集合{}
2
280,Z A x x x x =--<∈，则A 的非空子集的个数为（ ）
A ．32
B ．31
C ．16
D ．15
15．已知集合{}ln ,1A y y x x ==>，1,12x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B =（ ）
A ．102y y ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭
B ．{}01y y <<
C ．112y y ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D ．∅
二、填空题
16．全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则
U
A =______．
17．若集合(){}
2
1420A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数a 的值是____．
18．方程组1
3x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解集．．为_____. 19．已知集合{}{}35,10A x Z
x B y y =∈-<<=+>∣∣，则A B 的元素个数为___________. 20．已知集合(){}(){},24,,5A x y x y B x y x y =-==+=∣
∣，则A B 中元素个数为__________．
21．已知集合{}0,1,2A =，则集合{}3,B b b a a A ==∈=______．（用列举法表示）
22．若集合{}
{}230,0,1,2,3A x
x x B =-==∣，则满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数是___________.
23．已知全集为R ，集合()1,A =+∞，则A =__________.
24．设集合21|,|32A x m x m B x n x n ⎧⎫⎧⎫
=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，且,A B 都是集合{}|01x x ≤≤的子
集，如果把b a -叫作集合{}|≤≤x a x b 的“长度”，那么集合A B 的“长度”的最小值是___________.
25．设不等式2220x ax a -++≤的解集为A ，若{}13|A x x ⊆≤≤，则a 的取值范围为________.
三、解答题
26．已知:20,:40p x q ax ->->其中R a ∈.
(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
27．在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③B A ⊆
R
这三个条件中任选一个，补充在下面问
题(3)中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式
()20ax am b x bm -++<的解集为B (其中m ∈R ).
(1)求a ，b 的值； (2)求集合B ；
(3)是否存在实数m ，使得_______.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
28．已知集合{12}S n =,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a =,,,，且A S ⊆．若对任意
i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k
m ≤≤)，使得i j k a a a +=，
则称A 是S 的m 元完美子集．
(1)判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由； ①1{124}A =,,； ②2{245}A =,,．
(2)若123{}A a a a =,,是{127}S =,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值； (3)若12{}m A a a a =,,,是{12}S n =,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：
12(+1)
2
m m n a a a ++
+≥
，并指出等号成立的条件．
29．如图所示阴影部分角的集合.
30．（1）集合{a, b, c, d }的所有子集的个数是多少？ （2）集合{a 1, a 2, …， an }的所有子集的个数是多少？
【参考答案】
一、单选题 1．C 【解析】 【分析】
根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】
因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C. 2．B 【解析】 【分析】
先解出集合A ，再按照对数的运算求出集合B ，即可求解. 【详解】
由260x x --<，解得23x -<<，故{}1,0,1,2A =-，
()2222
ln (1)1ln(11)ln 2,ln 010,ln(21)ln5⎡⎤-+=+=+=+=⎣⎦，
故{}ln 2,0,ln5B =，集合B 中元素个数为3. 故选：B. 3．A 【解析】 【分析】
根据对数的运算求出集合B ，再根据交集的定义可求出结果. 【详解】
当1x =时，21log 11y =-=， 当2x =时，22log 21y =-=，
当3x =时，23log 3y =-， 当4x =时，24log 42y =-=， 所以2{1,2,log 3}B =， 所以A B ={1,2}. 故选：A 4．D 【解析】 【分析】
先化简集合A ，B ，再利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】
解：()2
2424y x x x =-+=--+，且N y ，
则04y ≤≤，04x ≤≤，又Z x ∈，
当=0x 时，=0y ，当1x =时，3y =，
当2x =时,4y =，当3x =时，3y =，当4x =时，0y =， 则{}=0,3,4A
又 {}ln 1B x x =>{}=|e x x >， 所以()R A B ={0}， 故选：D 5．A 【解析】 【分析】
先求出A B ，再由补集运算得出答案. 【详解】
{}1,2,3A B =，则(){}4,5U
A B ⋃=，
故选：A ． 6．C 【解析】 【分析】
根据集合元素的形式可得关于n 的不等式，从而可求A B . 【详解】
令1317n -≤+≤，则2
23
n -≤≤，而n N ∈，
故0,1,2n =，故{}1,4,7A B =， 故选：C. 7．B 【解析】 【分析】
先化简集合B ，再求A B 【详解】
()20x x -≤02x ⇒≤≤，所以{}|02B x x =≤≤ 所以{}0,1A B = 故选：B 8．B 【解析】 【分析】
先求出集合A ，B ，再根据交集定义即可求出. 【详解】
因为{}|0A x x =>，{}|02B x x =≤≤，所以(]0,2A B =. 故选：B. 9．C 【解析】 【分析】
解分式不等式化简集合A ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】 解不等式
4
01
x x +>-，则(4)(1)0x x +->，解得：4x <-或1x >，即{|4A x x =<-或1}x >， 于是得{|41}R A x x =-≤≤，而{}2,1,1,2B =--， 所以(){}2,1,1R A B ⋂=--. 故选：C 10．B 【解析】 【分析】
根据集合的包含关系，列不等关系，解不等式即可. 【详解】
由题：(,)B a =+∞，A B ⊆，则1a ≤-. 故选：B 11．A 【解析】 【分析】
由集合的补集和交集的运算可得. 【详解】 由题可得{1U
A x x =<或3}x >，
所以(){0,4,5}=U
A B ．
故选：A ．
12．C
【分析】
首先根据余弦函数的性质求出集合A ，再根据指数函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得； 【详解】 解：因为2cos
3
y x π
=的最小正周期
26
3
T π
π
=
=且1cos
3
2
π
=
， 21cos cos cos 3332ππππ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
，3cos 13π=-， 41cos cos cos 3332ππππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，51cos cos 2cos 3332ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 6cos
13π=，71cos cos 2cos 3332ππππ⎛
⎫=+== ⎪⎝
⎭，，
所以{}*|2cos ,1,1,2,23n A x x n π⎧⎫
==∈=--⎨⎬⎩⎭
N ，
由
122x ≤≤5
12222x -≤≤，所以512
x -≤≤，
所以15|2|122x
B x x x ⎧⎧⎫
=≤≤=-≤≤
⎨⎨⎬⎩⎩⎭
，所以{}1,1,2A B =-； 故选：C 13．A 【解析】 【分析】
利用并集和补集的定义可求得结果. 【详解】
由已知可得{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，因此，(){}2U
A
B =-.
故选：A. 14．B 【解析】 【分析】
求出集合A ，利用集合的非空子集个数公式可求得结果. 【详解】
{}
{}{}2280,Z 24,Z 1,0,1,2,3A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=-，
即集合A 含有5个元素，则A 的非空子集有52131-=（个）. 故选：B. 15．A 【解析】 【分析】
根据题意求出,A B 后运算
由题意,A B 为对应函数的值域，(0,)A =+∞，1
(0,)2B =
故1
(0,)2
A B =
故选：A
二、填空题
16．{}3x x >-
【解析】 【分析】
直接利用补集的定义求解 【详解】
因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-， 所以
U
A ={}3x x >-，
故答案为：{}3x x >- 17．±1 【解析】 【分析】
分析出集合A 有1个元素，对a 讨论方程解的情况即可. 【详解】
因为集合(){}
2
1420A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，
所以集合A 有1个元素.
当a =1时，{}1|4202A x x ⎧⎫
=-==⎨⎬⎩⎭
，符合题意；
当a ≠1时，要使集合A 只有一个元素，只需()()2
44120a ∆=--⨯-=，解得：1a =-；
综上所述： 实数a 的值是1或-1. 故答案为：±1.
18．{(2,1)}
【解析】 【分析】
利用加减消元法求得方程组的解集. 【详解】
依题意1
3x y x y -=⎧⎨+=⎩
，
两式相加得24,21x x y ==⇒=， 所以方程组的解集为{(2,1)}.
故答案为：{(2,1)} 19．5 【解析】 【分析】
直接求出集合A 、B ，再求出A B ，即可得到答案. 【详解】
因为集合{}{}352,1,0,1,2,3,4A x Z x =∈-<<=--∣，集合{}{}101B y y y y =+>=>-∣∣， 所以{}0,1,2,3,4A B =， 所以A B 的元素个数为5. 故答案为：5.
20．1
【解析】 【分析】
利用交集的定义直接求解. 【详解】
∵集合(){},24A x y x y =-=∣
，(){},5B x y x y =+=∣， ∴()(){}24,3,25x y A B x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪
⋂==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩
⎭，
∴A B 中元素个数为1. 故答案为：1.
21．{0,3,6}
【解析】 【分析】
根据给定条件直接计算作答. 【详解】
因{}0,1,2A =，而{}3,B b b a a A ==∈，所以{0,3,6}B =. 故答案为：{0,3,6} 22．4 【解析】 【分析】
求出集合A ，由A M B ⊆⊆即可求出集合M 的个数． 【详解】
因为集合{}{}2300,3A x
x x =-==∣，{}0,1,2,3B =， 因为A M B ⊆⊆，故M 有元素0，3，且可能有元素1或2， 所以{}0,3M =或{}0,1,3M =或{}0,2,3M =或{}0,1,2,3M = 故满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数为4， 故答案为：4．
23．(],1-∞
【解析】 【分析】
直接利用补集的定义求解即可 【详解】
因为全集为R ，集合()1,A =+∞， 所以A =(],1-∞， 故答案为：(],1-∞
24．16
【解析】 【分析】
根据“长度”定义确定集合,A B 的“长度”，由A B “长度”最小时，两集合位于集合[]0,1左右两端即可确定结果. 【详解】
由题可知，A 的长度为2
3
，B 的长度为1
2， ,A B 都是集合{|01}x x ≤≤的子集， 当A B 的长度的最小值时，m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端， 即0,1m n ==，则|0,213|12A x x B x x ⎧
⎫⎧⎫=≤≤
=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭
， 故此时1223A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭的长度的最小值是：211
326-=.
故答案为：1
6
25．1115
a -<≤
【解析】 【分析】
根据给定条件按集合A 是否是∅分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答. 【详解】
因不等式2220x ax a -++≤的解集为A ，且{}13|A x x ⊆≤≤，
则当A =∅时，244(2)0a a ∆=-+<，解得：1a 2-<<，此时满足{}13|A x x ⊆≤≤，即1a 2-<<，
当A ≠∅时，不妨令12{|}A x x x x =≤≤(12x x ≤)，则一元二次方程2220x ax a -++=在
{}|13x x ≤≤上有两个根1
2
,x x
，
于是有222Δ44(2)0122032320
13
a a a a a a a ⎧=-+≥⎪-++≥⎪⎨-⋅++≥⎪⎪≤≤⎩，解244(2)0a a -+≥得1a ≤-或2a ≥，解2212203232013a a a a a ⎧-++≥⎪-⋅++≥⎨⎪≤≤⎩得：311513
a a a ≤⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤⎪⎩， 则有1125a ≤≤，综合得：1115
a -<≤， 所以a 的取值范围为1115a -<≤
. 故答案为：1115
a -<≤ 三、解答题
26．(1)(2,)+∞
(2)[0,2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得A ⫋B ，所以0,42,a a
>⎧⎪⎨<⎪⎩从而可求出实数a 的取值范围， （2）由题意可得B ⫋A ，然后分a =0，a >0和a <0三种情况求解即可
(1)
设命题p ：A ={x |x -2>0}，即p ：A ={x |x >2}，命题q ：B ={x |ax -4>0}，
因为p 是q 的充分不必要条件，所以A ⫋B ，. 即0,42,a a
>⎧⎪⎨<⎪⎩解得a >2 所以实数a 的取值范围为(2,)+∞
(2)
由（1）得p ：A ={x |x >2}，q ：B ={x |ax -4>0}，
因为p 是q 的必要不充分条件，
所以B ⫋A ，
①当a =0时，B =∅，满足题意；
②当a >0时，由B ⫋A ，得4a
.>2，即0<a <2；.
③当a <0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a 的取值范围为[0,2)
27．(1)1、2；
(2)当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =；
(3)若选①：2m ≥；若选②：1m <或2m >；若选③：12m ≤≤.
【解析】
【分析】
(1)由题可知x ＝1是方程2320ax x -+=的解，由此即可求出a ，从而求出b ；
(2)根据a 、b 的值即可分类讨论求解不等式，从而得到B ；
(3)若选①，则B ⊆A ，分类讨论m 的范围即可；若选②，则根据题意分类讨论即可；若选③，则先求出
A R ，分类讨论即可.
(1)
由一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，
得0a >，且方程2320ax x -+=的两根为1、b ， ∴0,31,21,a b a b a ⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)
由(1)可知()20ax am b x bm -++<即为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<．
m ＜2时，2m x <<；
m ＝2时，不等式无解；
m ＞2时，2x m <<．
综上，当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =．
(3)
由(1)知{1A x x =<或}2x >，
若选①：A B A ⋃=，则B A ⊆，
当2m <时，(),2B m =，不满足；
当2m =时，B =∅，满足；
当2m >时，()2,B m =，满足；
∴选①，则实数m 的取值范围是2m ≥；
若选②：A B ⋂≠∅，
当2m <时，(),2B m =，则1m <；
当2m =时，B =∅，不满足；
当2m >时，()2,B m =，满足；
∴选②，则实数m 的取值范围是1m <或2m >；
若选③：B A ⊆R ，A R []1,2=，
当2m <时，(),2B m =，则m ≥1，∴12m ≤<；
当2m =时，B =∅，满足;
当2m >时，()2,B m =，不满足．
∴选③，则实数m 的取值范围是12m ≤≤.
28．(1)1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析
(2)12
(3)证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=
∈+*且(1)(2)1i n i a i m m +=+≤≤ 【解析】
【分析】
（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；
（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值； （3）不妨设12m a a a <<<，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+≤．121i i i m i a a a a a a +-+++,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.
(1)
解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集． ②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>， 所以2A 是S 的3元完美子集．
(2)
解：不妨设123a a a <<．
若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾； 若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=． 若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥． 综上，123a a a ++的最小值是12．
(3)
证明：不妨设12m a a a <<<．
对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，
否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤． 由12m a a a <<<，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+≤． 所以121i i i m i a a a a a a +-+++,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,， 该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．
所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．
于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++
++=+++++++++≥． 即12(1)2
m m n a a a ++++≥． 等号成立的条件是11N 1n a m +=
∈+*且(1)(2)1i n i a i m m +=+≤≤．
29．{}45?
18045?180,n n n Z αα-+≤≤+∈ 【解析】
【分析】
观察图形， 按图索骥即可.
【详解】
}{1|45?36045?360,S k k k Z αα︒︒︒︒=-+≤≤+∈， }{2|135?360225?360,S k k k Z αα︒︒︒︒=+≤≤+∈，
{}12|452180452180S S S k k αα︒︒︒︒=+=-+≤≤+ ()(){}|45211804521180k k αα︒︒︒︒-++≤≤++()k ∈Z
{}()|4518045180n n n Z αα︒︒︒︒=-+≤≤+∈ ，
故答案为：{}()|4518045180n n n Z αα︒︒︒︒-+≤≤+∈.
30．（1）16；（2）2n
【解析】
【分析】
设集合A 为集合的子集，利用分步计数原理分析每个元素出现的情况，即得解
【详解】
（1）由题意，若A 为集合{a, b, c, d }的子集 则集合A 中的元素只能从a, b, c, d 中选择，每个元素出现或者不出现有两种可能 故集合A 的不同情形有222216⨯⨯⨯=种情况 故集合{a, b, c, d }的所有子集的个数是16 （2）由题意，若A 为集合{a 1, a 2, …， an }的子集 则集合A 中的元素只能从a 1, a 2, …， an 中选择，每个元素出现或者不出现有两种可能 故集合A 的不同情形有22...22n ⨯⨯⨯=种情况 故集合{a 1, a 2, …， an }的所有子集的个数是2n。