以向量形式出现的三角函数问题(答案)

cos

0, tan

1 4
，
sin cos 1 3cos2
= sin2
sin cos cos2 3cos2

tan tan2 4

4 65
3.已知向量 AB BC CA 0 ，且 BC与CA 的夹角的正切值为 1 ， AB与BC 的夹角 2
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且 sin A≠0，
∴cos
B＝12，B＝3π.∴0＜A＜23π.∴π6＜A2＋6π＜π2，
1 2

sin(
A 2

6
)

1.
1 sin( A ) 1又∵ f (x) m n= sin( x ) 1 ，
2
26
26 2
26 2
26 2
3
26 2
cos(2 x) cos(x ) 1 .
3
32
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，∴2sin Acos B＝sin(B＋C).
当 2k

2

2x

6

2k

3 2
,k
Z
，解之得，
k

3

x

k

5 6
,k
Z
所以
f
(x)
的单调递增区间为 [k

3
,
k

5 6
](k

Z );
（2） m (3,sin B), n (2,sin C)，3sinC=2sinB，
在三角形中，根据正弦定理，
0 ，即 (2 a c)BC (c b C)A ，而 BC C,A 不共线，则 2a c 0,b c 0 ，解得 c 2a,b 2a ，
则 a 是最小的边，故 A 是最小的角，根据余弦定理 cos A b2 c2 a2 4a2 4a2 a2 7 .
（2）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边为 a,b, c ，f (A) 1.a 7 ，且向量 m (3,sin B), n (2,sin C) 2
共线，求边长 b 和 c 的值.
解：（1） f (x) a b=2cos2x 3 sin 2x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 2sin(2x ) 6
AOB,sin( )
3 2
, SAOB

1 25 2
35 3 22
2. 已知向量 a (sin,cos 2sin ),b (1, 2) ， a
b
，则
sin cos 1 3cos2
的值________.
解： a b, 2sin cos 2sin,
所以
2.
2
2bc
2 2a 2a 8
1
5.已知向量 m ( 3 sin x ,1), n (cos x , cos2 x).
4
44
(1)若 m n 1，求 cos(2 x) 的值； 3
(2)记 f (x) m n ，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝ bcos C，求 f(A)的取值范围.
以向量形式出现的三角函数问题
1. 在 AOB 中， OA (2cos,2sin),OB (5cos ,5sin ),OAOB 5 则 SAOB = ________.
OA (2cos,2sin),OB (5cos ,5sin ),OAOB 5
OAOB 10cos( ) 5, cos( ) 1 ， (0, ) 2
3c

2b
，
f
( A)

1.1
2 sin(2 A

6
)

1,sin(2A
6
)
1,

6

2A

6

11 , 6
A

3
由余弦定理， a2

7 4
=b2
c2
2bc cos 3


3c 2
2
c2

2
3c 2
c
1 2

7 4
c2
c 1,b 3
4
2
5
3
10
a
b
c
1
21
b 1,

ห้องสมุดไป่ตู้
,c
sin A sin B sin C
2S
ABC

1 2
2 22
4. ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 2aBC bCA cAB 0 ，则 ABC 的最小角的余弦值
为
.
解： 2aBC bCA cAB 2aBC bCA c(AC CB) (2a c)BC (b c)CA
解： m n 3 sin x cos x cos2 x 3 sin x 1 cos x 1 sin( x ) 1
44
4 2 22 22
26 2
(1) ∵ m n 1，∴ sin( x ) 1 1,sin( x ) 1 ,cos(x ) 1 2sin2( x ) 1
的正切值为 1 ， CA =1，则 ABC 的面积为
．
3
ABC，tan C 1 , tan B 1 ,
2
3
11
ABC
, tan
A


tan(B

C)

2 1
1
3 1

1
23
A (0, ), A 3 , tan C 1 ,sin C 5 , tan B 1 ,sin B 10 ,
∴ f (A) sin( A ) 1 (1, 3) ,故 f (A) 的取值范围是 (1, 3) .
26 2 2
2
6. 已知 f (x) a b ，其中向量 a (2cos x, 3 sin 2x),b (cos x,1)x R . （1）求 f (x) 的单调递增区间；