江西省吉安市2019-2020学年中考数学最后模拟卷含解析

江西省吉安市2019-2020学年中考数学最后模拟卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC 交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）
A．83B．8 C．43D．6
2．下列博物院的标识中不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于
A．90°B．180°C．210°D．270°
4．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（）
A．1
6
cm B．
1
3
cm C．
1
2
cm D．1cm
5．估计
1
927
3
⨯-的运算结果应在哪个两个连续自然数之间（）
A．﹣2和﹣1 B．﹣3和﹣2 C．﹣4和﹣3 D．﹣5和﹣4
6．平面直角坐标系中的点P（2﹣m，1
2
m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（）
A．B．
C．D．
7．下列事件中，属于不确定事件的是（）
A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功
B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点
C．太阳从西边升起来了
D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
8．下列是我国四座城市的地铁标志图，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
9．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）
A．πB．3
2
π
C．2πD．3π
10．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）
A．12cm B．2cm C．24cm D．2cm
11．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数
2
y
x
=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点
B，点C在y轴上，若AC＝BC，则点C的坐标为（）
A．（0，1）B．（0，2）C．
5
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．（0，3）
12．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）
A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_____元．
14．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为_____．
15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．
16．一个正n边形的中心角等于18°，那么n＝_____．
17．分解因式：ax2－a=______．
18．计算2
(252)的结果等于__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（0，3），B（1，0），现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax2+bx+c经过点C．
（1）如图1，若抛物线经过点A和D（﹣2，0）．
①求点C的坐标及该抛物线解析式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点E（2，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO，若符合条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围．
20．（6分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且AD=1，DC=3，点P为边AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q．
(1)求AB的长；
(2)当BQ的长为40
9
时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系．
21．（6分）先化简，再求值：（1﹣
3
2
x+
）÷
21
2
x
x
-
+
，其中x是不等式组
20
218
x
x
->
⎧
⎨
+<
⎩
的整数解
22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC．
23．（8分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
24．（10分）先化简，再求值：先化简
2
2
21
1
x x
x
-+
-
÷(
1
1
x
x
-
+
﹣x+1)，然后从﹣2＜x5
合适的整数作为x的值代入求值．
25．（10分）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：AF+AE=2AD．
26．（12分）根据图中给出的信息，解答下列问题：
放入一个小球水面升高，cm，放入一个大球水面
升高cm；如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
27．（12分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表：
类型价格进价（元/盏）售价（元/盏）
A型30 45
B型50 70
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏．
（2）若设商场购进A型台灯m盏，销售完这批台灯所获利润为P，写出P与m之间的函数关系式．（3）若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型台灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
分析: 连接OB ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO ⊥EF ，再根据矩形的性质可得OA=OB ，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO ，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC ，再利用勾股定理列式计算即可求出AB. 详解: 如图，连接OB ，
∵BE=BF ，OE=OF ，
∴BO ⊥EF ，
∴在Rt △BEO 中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC ，
∴∠BAC=∠ABO ，
又∵∠BEF=2∠BAC ，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴3
∴3，
∴22AC BC -22(43)(23)-6，
故选D ．
点睛: 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键. 2．A
【解析】
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,对题中选项进行分析即可.
【详解】
A 、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查轴对称图形的概念，解题的关键在于利用轴对称图形的概念判断选项正误
3．B
【解析】
【详解】
试题分析：如图，如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B
4．D
【解析】
【分析】
过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.
【详解】
过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，
∴OF CD
OE AB
=，即
2
126
CD
=，
解得：CD=1.
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.
5．C
【解析】
根据二次根式的性质，可化简得
1
927
3
⨯-=3﹣33=﹣23，然后根据二次根式的估算，由3
＜23＜4可知﹣23在﹣4和﹣3之间．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简和估算，关键是根据二次根式的性质化简计算，再二次根式的估算方法求解.
6．B
【解析】
【分析】
【详解】
根据第二象限中点的特征可得：
2-m0 1
m0 2
>
⎧
⎪
⎨
>
⎪⎩
，
解得：
m2 m0
<
⎧
⎨
>
⎩
.
在数轴上表示为：
故选B.
考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征
7．A
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、是随机事件，故A符合题意；
B、是不可能事件，故B不符合题意；
C、是不可能事件，故C不符合题意；
D、是必然事件，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义解答即可.
【详解】
选项A不是中心对称图形；
选项B不是中心对称图形；
选项C不是中心对称图形；
选项D是中心对称图形.
故选D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的定义，熟练运用中心对称图形的定义是解决问题的关键.
9．D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．
【详解】
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴图中阴影部分的面积=
2 1203
360
π⨯
=3π．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．10．D
【解析】
【分析】
过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.
【详解】
如图，过A作AD⊥BF于D，
∵∠ABD=45°，AD=12，
∴
sin45
AD
AB
︒
==122，
又∵Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB=242，
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
11．B
【解析】
【分析】
根据方程组求出点A坐标，设C（0，m），根据AC=BC，列出方程即可解决问题．
【详解】
由
1
{2
y x
y
x
=-
=
，解得
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴A（2，1），B（1，0），设C（0，m），
∵BC=AC，
即4+（m-1）2=1+m2，
∴m=2，
故答案为（0，2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标问题、勾股定理、方程组等知识，解题的关键是会利用方程组确定两个函数的交点坐标，学会用方程的思想思考问题．
12．A
【解析】
试题分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解：ax2﹣4ax﹣12a
=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．
故答案为a（x﹣6）（x+2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．17
【解析】
【分析】
根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.
【详解】
解：1-30%-50%=20%,
⨯+⨯+⨯=.
∴2520%1030%1850%17
【点睛】
本题考查了加权平均数的计算方法,属于简单题,计算25元所占权比是解题关键.
π
14
2
【解析】
【分析】
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G 为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．
【详解】
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ， ∴3sin6023OG OA ，=⋅︒=⨯= ∴S 阴影=S △OAB -S 扇形OMN =()260π31π 2332
3602．⨯⨯⨯⨯-=- 故答案为32π-
【点睛】 考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
15．40
【解析】
如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，
故答案为：40.
16．20
【解析】
【分析】
由正n 边形的中心角为18°，可得方程18n=360，解方程即可求得答案．
【详解】
∵正n 边形的中心角为18°，
∴18n=360，
∴n=20.
故答案为20.
【点睛】
本题考查的知识点是正多边形和圆，解题的关键是熟练的掌握正多边形和圆.
17．(1)(1)a x x +-
【解析】
【分析】
先提公因式，再套用平方差公式.
【详解】
ax 2－a=a （x 2-1）=()()
11a x x +- 故答案为：()()11a x x +-
【点睛】
掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.
18．22-【解析】
【分析】
根据完全平方公式进行展开，然后再进行同类项合并即可.
【详解】
解：2
.
故填22-【点睛】
主要考查的是完全平方公式及二次根式的混合运算，注意最终结果要化成最简二次根式的形式.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）①y=﹣
13x 2+56x+3；②P （34+ ，14+）或P'（74+ ，﹣712
+）；（2）18- ≤a<1；
【解析】
【分析】
（1）①先判断出△AOB ≌△GBC ，得出点C 坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用平行线（对称）和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；（2）同（1）②的方法，借助图象即可得出结论．
【详解】
（1）①如图2，∵A （1，3），B （1，1），
∴OA=3，OB=1，
由旋转知，∠ABC=91°，AB=CB ，
∴∠ABO+∠CBE=91°，
过点C 作CG ⊥OB 于G ，
∴∠CBG+∠BCG=91°，
∴∠ABO=∠BCG，
∴△AOB≌△GBC，
∴CG=OB=1，BG=OA=3，
∴OG=OB+BG=4
∴C（4，1），
抛物线经过点A（1，3），和D（﹣2，1），
∴
1641 {420
3
a b c
a b c
c
++=
-+=
=
，
∴
1
3
5
{
6
3
a
b
c
=-
=
=
，
∴抛物线解析式为y=﹣1
3
x2+
5
6
x+3；
②由①知，△AOB≌△EBC，∴∠BAO=∠CBF，
∵∠POB=∠BAO，
∴∠POB=∠CBF，
如图1，OP∥BC，
∵B（1，1），C（4，1），
∴直线BC的解析式为y=1
3
x﹣
1
3
，
∴直线OP的解析式为y=1
3 x，
∵抛物线解析式为y=﹣1
3
x2+
5
6
x+3；
联立解得，
3317
4
{
117
x
y
+
=
+
=
或
3317
4
{
117
x
y
-
=
-
=
（舍）
∴P 3317
+117
+
；
在直线OP上取一点M（3，1），∴点M的对称点M'（3，﹣1），
∴直线OP'的解析式为y=﹣1
3 x，
∵抛物线解析式为y=﹣1
3
x2+
5
6
x+3；
联立解得，
7+193
{
7+193
12
x
y
=
=
或
7193
{
7193
12
x
y
-
=
-
=
（舍），
∴P'（
7193
4
+
，﹣
7193
12
+
）；
（2）同（1）②的方法，如图3，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（4，1），E（2，1），∴
1641
{
421
a b c
a b c
++=
++=
，∴
6
{
81
b a
c a
=-
=+
，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+8a+1，
令y=1，
∴ax2﹣6ax+8a+1=1，
∴x1×x2=
81
a
a
+
∵符合条件的Q点恰好有2个，
∴方程ax2﹣6ax+8a+1=1有一个正根和一个负根或一个正根和1，
∴x1×x2=
81
a
a
+
≤1，
∵a＜1，
∴8a+1≥1，
∴a≥﹣
1
8
，
即：﹣
1
8
≤a＜1．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，对称的性质，解题的关键是求出直线和抛物线的交点坐标.
20．（1）AB长为5;（2）圆P与直线DC相切，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）过A作AE⊥BC于E，根据矩形的性质得到CE=AD=1，AE=CD=3，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过P作PF⊥BQ于F，根据相似三角形的性质得到PB=25
9
，得到PA=AB-PB=
20
9
，过P作PG⊥CD
于G交AE于M，根据相似三角形的性质得到PM=16
9
，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】
（1）过A作AE⊥BC于E，
则四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=1，AE=CD=3，
∵AB=BC，
∴BE=AB-1，
在Rt△ABE中，∵AB2=AE2+BE2，∴AB2=32+（AB-1）2，
解得：AB=5；
（2）过P作PF⊥BQ于F，
∴BF=1
2
BQ=
20
9
，
∴△PBF∽△ABE，
∴PB BF AB BE
=，
∴
20
9
54 PB
=，
∴PB=25
9
，
∴PA=AB-PB=20
9
，
过P作PG⊥CD于G交AE于M，∴GM=AD=1，
∵DC⊥BC
∴PG∥BC
∴△APM∽△ABE，
∴AP PM AB BE
=，
∴20
9
54
PM
=，
∴PM=16
9
，
∴PG=PM+MG=25
9
=PB，
∴圆P与直线DC相切．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．x=3时，原式=1 4
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,找出解集中的整数计算得出到x的值,代入计算即可求出值.
【详解】
解：原式=÷
=×
=，
解不等式组得，2＜x＜，∵x取整数，
∴x=3，
当x=3时，原式=1
4
．
【点睛】
本题主要考查分式额化简求值及一元一次不等式组的整数解．
22．（1）详见解析；（2）
2 tan.
2
C
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=22AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC 中，即可求得tanC的值．
【详解】
（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接BE ，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC ，AC=3AE ，
∴AB=3AE ，CE=4AE ，
∴=，
在RT △BEC 中，tanC=BE CE ==． 23．羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.
【解析】
试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． 试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400， 解得 x 1=20，x 2=1． 则100﹣4x=20或100﹣4x=2． ∵2＞21， ∴x 2=1舍去． 即AB=20，BC=20 考点：一元二次方程的应用．
24．﹣1x ，﹣12
． 【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在－2＜ x 中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可求出最后答案，值得注意的是，本题答案不唯一，x 的值可以取－2、2中的任意一个.
【详解】
原式＝2x-11(1)(1)x+1(1)1x x x x x ---+÷-+（）（）＝2x-1x+1x+1x-1-x +1⋅＝x-1-x x-1（）＝1x
-，∵－2＜ x （x 为整数）且分式要有意义，所以x ＋1≠0，x －1≠0，x≠0，即x≠－1,1,0，因此可以选取x ＝2时，此时原式＝－12
. 【点睛】
本题主要考查了求代数式的值，解本题的要点在于在化解过程中，求得x 的取值范围，从而再选取x ＝2得到答案.
25．证明见解析.
【解析】
【分析】
由题意易用角角边证明△BDE ≌△CDF ，得到DF=DE ，再用等量代换的思想用含有AE 和AF 的等式表示AD 的长．
【详解】
证明：∵CF ⊥AD 于，BE ⊥AD ，
∴BE ∥CF ，∠EBD=∠FCD ，
又∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=CD ，
∴在△BED 与△CFD 中，
EBD FCD BED CFD BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△△BED ≌△CFD （AAS ）
∴ED=FD ，
又∵AD=AF+DF ①，
AD=AE-DE ②，
由①+②得：AF+AE=2AD.
【点睛】
该题考察了三角形全等的证明，利用全等三角形的性质进行对应边的转化．
26．详见解析
【解析】
【分析】
（1）设一个小球使水面升高x 厘米，一个大球使水面升高y 厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可．
（1）设应放入大球m 个，小球n 个，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】
解：（1）设一个小球使水面升高x 厘米，由图意，得2x=21﹣16，解得x=1．
设一个大球使水面升高y 厘米，由图意，得1y=21﹣16，解得：y=2．
所以，放入一个小球水面升高1cm ，放入一个大球水面升高2cm ．
（1）设应放入大球m 个，小球n 个，由题意，得
m n 103m 2n 5026+=⎧⎨+=-⎩，解得：m 4n 6=⎧⎨=⎩
． 答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．
27．（1）应购进A 型台灯75盏，B 型台灯25盏；（2）P=﹣5m+2000；（3）商场购进A 型台灯20盏，B 型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．
【解析】
【分析】
（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100-x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）根据题意列出方程即可；
（3）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【详解】
解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，
根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，
解得x=75，
所以，100﹣75=25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利P元，
则P=（45﹣30）m+（70﹣50）（100﹣m），
=15m+2000﹣20m，
=﹣5m+2000，
即P=﹣5m+2000，
（3）∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍，
∴100﹣m≤4m，
∴m≥20，
∵k=﹣5＜0，P随m的增大而减小，
∴m=20时，P取得最大值，为﹣5×20+2000=1900（元）
答：商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程的应用.。