统计案例复习

的 不同类别，像这类变量称为分类变量.
（2）列联表：列出两个分类变量的 频数表 ，称
为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能 取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联 表（称为2×2列联表）为 2×2列联表 y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
为两个变量有很强的线性相关性.
2.残差分析
（1）总偏差平方和 把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加 起来即：
i 1
( yi y )
n
2
.
（2）残差 数据点和它回归直线上相应位置的差异（yi- yi ） ˆ
ˆ ˆ 是 随机误差的效应，称 ei yi yi 为残差.
（3）残差平方和
=140.8-125=15.8,
12.3 12.3 12.3 12.3 0.987. ∴r= 10 15.8 158 2 79 1.4 8.9 ④|r|=0.987＞0.878,即|r|＞r0.05,
所以有95%的把握认为“x与y之间具有线性相关关
系”，去求线性回归方程是有意义的.
（1）求 x , y ; （2）对x,y进行线性相关性检验； （3）如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方 程； （4）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
（3）如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方
程； （4）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 思维启迪 （1）先根据已知计算相关系数r，判断 是否具有相关关系. （2）再利用公式求出回归方程进行回归分析. 解 （1） x 2 3 4 5 6 4. 5 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 y 5. 5
题型二
非线性回归分析
【例2】下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，以
x表示轿车的使用年数,y表示相应的年均价格，求
y关于x的回归方程.
使用年 数x
年均价 格y(美 元) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 651 1 943 1 494 1 087 765
538
484
290
226
204
思维启迪
112.3 5 4 5 ˆ i 1 (3)b 1.23, 5 2 2 2 90 5 4 xi 5 x
i 1
xi yi 5 x y
5
ˆ a y b x 5 1.23 4 0.08. ˆ
所以线性回归方程为 y =1.23x+0.08. ˆ
解析
r＞0且丁最接近1，残差平方和越小，相关性
越高，故选D.
3.已知x、y之间的数据如表所示，则回归直线过点
（ D ）
x y A.(0,0) 解析 1.08 2.25 1.12 2.37 1.19 2.40 C.(0, y ) 1.28 2.55 D.( x , y )
B.( x ,0)
回归直线过样本点的中心（ x , y ）.
x增大时，y相应减小，故②错误.|r|越接近1，表示两 个变量相关性越高，|r|=1表示两个变量有确定的关系
（即函数关系），故③正确.
5.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671
人，经过计算K2=27.63，根据这一数据分析，我
有关 们有理由认为打鼾与患心脏病是 无关）. 解析 ∵K2=27.63＞10.828, ∴有99.9%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”. 的（有关，
（2）步骤如下： ①作统计假设H0：x与y不具有线性相关关系. ②n-2=3时，r0.05=0.878.
5
③ xi yi 5 x y =112.3-5×4×5=12.3,
i 1 2 2 xi 5 x i 1 5 2 2 yi 5 y i 1 5
=90-5×42=10,
题型一
线性回归分析
【例1】假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支 出的维修费用y（万元）有如下统计资料： x y 已知 2 2.2
2 xi i 1 5
3 3.8
90,
5 i 1
4 5.5
5 i 1
5 6.5
6 7.0
yi2
140.8, xi yi 112.3,
79 8.9, 2 1.4
这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过 的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图 象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,
然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分
析问题，使之得到解决.
题型三 独立性检验
在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人， 其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休 闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男 性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主
2.独立性检验没有直观性，必须依靠K2的观测值作判
断.
失误与防范
1.r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好 坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据. 2.独立性检验的随机变量K2=2.706是判断是否有关系 的临界值，K2＜2.706应判断为没有充分证据显示
X与Y有关系
一、选择题
1.下列四个命题： ①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越 强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好； ③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模 型的拟合效果越好； ④在推断H：“X与Y有关系”的论述中，用三维柱 形图，只要主对角线上两个柱形高度的比值与副 对角线上的两个柱形高度的比值相差越大，H成立 的可能性就越大. 其中真命题的个数是（ A.1 B.2 C.3 D.4 ）
其中真命题的个数是
A.1
解析 ②正确.
B.2
C.3
（ A ） D.4
①r有正负，应为|r|越大，相关性越强.
③R2越大，拟合效果越好. ④应为高度积的差的绝对值越大，H成立的可能性就 越大，故选A.
2.对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，
它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是 （ A ） A.模型Ⅰ的相关系数r为0.98 B.模型Ⅱ的相关系数r为0.80
相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换的 样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归 方程拟合.
由表中数据可得r≈-0.996.|r|>0.75.认为x与z之
ˆ 间具有线性相关关系，由表中数据得 b ≈-0.298,
ˆ a ≈8.165,所以 z =-0.298x+8.165,最后回代 ˆ
ˆ z =ln y ,即 y =e-0.298x+8.165为所求. ˆ ˆ 探究提高 非线性回归问题有时并不给出经验公式.
2 n 2 i 1
n
①r=
( xi x) ( yi y )

i 1
xi yi n x y n x )( yi2 n y )
i 1 2 n 2
n
( xi2 i 1
n
正相关 ； ②当r ＞0时，表明两个变量 负相关 . 当r ＜0时，表明两个变量 r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性 越强 .r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于 0.75 时，认
统计案例
基础知识
要点梳理
1.回归分析 （1）定义：对具有相关关系 的两个变量进行统计 分析的一种常用方法. （2）随机误差：线性回归模型用y=bx+a+e表示， 其 中a和b为模型的 （3）样本点的中心
自主学习
未知参数
，
e 称为随机误差.
在具有线性相关关系的数据（x1,y1）, (x2,y2),
„,(xn,yn)中，回归方程的截距和斜率的最小二乘
由已知表格先画出散点图，可以看出随
着使用年数的增加，轿车的平均价格在递减，但不 在一条直线附近.但据此认为y与x之间具有线性相关 关系是不科学的，要根据图形的形状进行合理转化, 转化成线性关系的变量间的关系.
解
作出散点图如图所示.
可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因
此，y与x之间应是非线性相关关系.与已学函数图象
要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）画出二维条形图；
（3）检验休闲方式是否与性别有关，可靠性有多大.
解
（1）2×2列联表如图：
休闲方式
看电视
性别 女 男 合计 43 21 64
运动
27 33 60
合计
70 54 124
（2）二维条形图如图：
（3）假设休闲方式与性别无关，则
比较，用 y e ˆ
ˆ ˆ bx a
来刻画题中模型更为合理,令 z ˆ
ln y ，则 z bx a ，题中数据变成如下表所示： ˆ ˆ ˆ ˆ
x z
1 7.883
2 7.572
3 7.309
4
5
6
7
8 5.670
9
10
6.991 6.640
6.288 6.182
5.421 5.318
（4）当x=10时，y =1.23×10+0.08=12.38（万元）, ˆ
即估计使用10年时，维修费用约为12.38万元. 探究提高 在解决具体问题时，要先进行相关性检
验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系.
若它们之间具有相关关系，再求回归方程，否则， 即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和 预测的量也是不可信的.
D.两个变量之间是否存在关系
解析 相关系数来衡量两个变量之间线性相关关 系的强弱.
2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性
相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系
数r与残差平方和m如下表： 甲 乙 丙 丁
r
m
0.82
115
0.78
106
0.69
124
ห้องสมุดไป่ตู้
0.85
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性 相关性？ A.甲 B.乙 C.丙 （ D ） D.丁
ˆ b
i 1
( xi x)( yi y )
i 1
n
( xi x)
n
2
,
a ˆ
ˆ y bx
.
其中 x
1n xi n i 1
, y
1n yi n i 1
, ( x, y )
称
为样本点的中心. （4）相关系数
i 1 n i 1
( xi x)( yi y )
4.下列说法中正确的有：①若r＞0，则x增大时，y也相应
增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r=1
或r=-1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在 散点图上各个点均在一条直线上 A.①② 解析 B.②③ C.①③ D.①②③ （ C）
若r＞0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y
也相应增大，故①正确.r＜0，表示两个变量负相关，
i 1
( yi yi ) 2 ˆ
n
.
(4)相关指数
R2 =
1 i 1 n 2 ( yi y )
i 1
ˆ ( yi yi )
n
2
.
R2的值越大，说明残差平方和 越小 ，也就是说模型 的拟合效果越好.在线性回归模型中，R2表示解释变 量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回 归的效果越好. 3.独立性检验 （1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属
n(ad bc) 2 构造一个随机变量K2= (a b)(c d )(a c)(b d ), 其
中n= a+b+c+d 为样本容量. （3）独立性检验
利用随机变量 K2 来确定是否能以一定把握认为“两
个分类变量 有关系 ”的方法称为两个分类变量的独 立性检验.
基础自测
1.相关系数度量 A.两个变量之间线性相关关系的强度 B.散点图是否显示有意义的模型 C.两个变量之间是否存在因果关系 （ A ）
124 (43 33 27 21) 2 K2 = 6.201 5.024, 70 54 64 60 所以有理由认为休闲方式与性别无关是不合理的，
即我们有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关.
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观 性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直 观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求 r,R2再作判断即可.
C.模型Ⅲ的相关系数r为0.50
D.模型Ⅳ的相关系数r为0.25 解析 根据相关系数的定义和计算公式可知，|r|
≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，拟合效果
越好；|r|越接近于0，相关程度越小，拟合效果 越弱,所以A正确.
3.下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个 常数后，方差恒不变；