【压轴卷】高考数学第一次模拟试题(及答案)

【压轴卷】高考数学第一次模拟试题(及答案)
一、选择题
1．设1i
2i 1i
z -=++，则||z = A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若圆与圆22
2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）
A ．21
B ．19
C ．9
D ．-11
4．设集合2
{|20,}M x x x x R =+=∈，2
{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．
2,0,2
5．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )
A ．－15x 4
B ．15x 4
C ．－20i x 4
D ．20i x 4
6．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x
y a
-=与log a y x =-的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）
x
3 4 5 6 y 2.5
t
4
4.5
A ．产品的生产能耗与产量呈正相关
B ．回归直线一定过
4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D ．t 的值是3.15
9．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是
X
a 1 P
13 13
1
3
则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大
10．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．
11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件
D ．以上都不对
12．在[0,2]π内，不等式
3
sin 2
x <-的解集是（ ） A ．(0
)π，
B ．4,33ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,23ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
二、填空题
13．设n S 是等差数列{}*
()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
14．已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中
点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.
15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则
ABC 的面积为______．
16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
17．计算：1726
cos()sin 43
ππ-
+=_____． 18．若x ，y 满足约束条件220
100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为_____________．
19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为
3
π
的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．
20．若函数2
()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是
__________．
三、解答题
21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.
（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;
（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积. 22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，
90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.
（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为
6
3
，求PF 的长度. 24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）
112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为
()33{,,.1
2
x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.
详解：()()()()
1i 1i 1i
2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，
则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分
母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】
由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.
3．C
解析：C 【解析】
试题分析：因为()()2
2
226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以
250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,半径为25m -,根据圆与圆外切的判定(圆
心距离等于半径和)可得
()()
22
3040125m -+-=+-9m ⇒=,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以
M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
5．A
解析：A 【解析】 试题分析：二项式的展开式的通项为
，令
，则
，故
展开式中含
的项为
，故选A.
【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式
可以写为
，则其通项为
，则含
的项为
．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】
当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；
若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，
综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则
p 是q 的既不充分也不必要条件.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
由于1a >，所以1x
x
a y a
-=⎛⎫
= ⎪⎝⎭
为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
8．D
解析：D 【解析】 由题意，x =
3456
4
+++=4.5，
∵ˆy
=0.7x+0.35， ∴y =0.7×
4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】
解：1111()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，
222111111()()()(1)333333
a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926
a a a a a a =
++-+-=-+=-+ 01a <<，()D X ∴先减小后增大 故选：D ． 【点睛】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
10．B
解析：B 【解析】
根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．， 【详解】
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对
立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B ． 【点睛】
本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】
解：在[0，2π]内，
若sin x 3
2
-
＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53
π）， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．
二、填空题
13．25【解析】由可得所以
解析：25 【解析】
由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +⨯=
=． 14．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立 15
【解析】
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】
方法1：由题意可知||=|2
OF OM|=c=，
由中位线定理可得
12||4
PF OM
==，设
(,)
P x y可得22
(2)16
x y
-+=，
联立方程
22
1 95
x y
+=
可解得
321
,
22
x x
=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，
求得
315
,
2
P
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
，所以
15
215
1
2
PF
k==
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知|2
OF|=|OM|=c=，
由中位线定理可得
12||4
PF OM
==，即
3
4
2
p p
a ex x
-=⇒=-
求得
315
,
22
P
⎛
-
⎝⎭
，所以
15
215
1
2
PF
k==
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
15．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正
弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】
2b =，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23
sin sin B C
=，可得：
233sin sin22sin cos B B B B
==，
∴可得：3cos 4B =
，可得：sin B ==，
∴可得：sin sin22sin cos 8C B B B ===，21
cos cos22cos 18C B B ==-=，
()13sin sin sin cos cos sin 484816
A B C B C B C ∴=+=+=⨯+⨯=
，
11sin 2322S bc A ∴=
=⨯⨯=
．
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
16．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=11111
1201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
17．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基
【解析】 【分析】
利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式
17π26ππ2π
cos
sin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πcos sin 43=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.
18．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数 解析：6 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式
3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合1
2z 的几何
意义，可以发现直线31
22
y x z =-
+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由32z x y =+，可得3122
y x z =-+， 画出直线3
2
y x =-，将其上下移动， 结合
2z
的几何意义，可知当直线3122
y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=⎧⎨=⎩
，解得(2,0)B ，
此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
19．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最
解析：5﹣13【解析】 【分析】
设圆心为O,AB 中点为D,先求出2
2219
44
PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小
值得解. 【详解】
设圆心为O,AB 中点为D,
由题得22sin
2,36
AB AC π
=⋅⋅=∴=.
取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC
⎧+=⎨
-=⎩,
两方程平方相减得2
2219
44
PC PA PM AC PM ⋅=-=-，
要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.
此时DM=
1,2DM ∴==
,
所以PM 有最小值为2﹣
2
，
代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣
故答案为5﹣【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的
解析：1
8
【解析】 【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到
22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结
果. 【详解】
函数()2
1ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增
()210a
f x x x
'∴=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立
令()2
2g x x x =-，0x >
根据二次函数的性质可知：当14
x =
时， ()max 18g x =
1
8a ∴≥
，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：1
8
【点睛】
本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
三、解答题
21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111
632132
C A DE V -=⨯⨯⨯⨯= 【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为
1
3
•S △A1DE •CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点， 连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分 所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分
（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩AB=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分 由AA 1=AC=CB=2，
得∠ACB=90°，
，
，
，A 1E=3，故
A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分 所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：
=
=1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
22．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数
n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.
【解析】 【详解】
（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()2
2224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.
（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222
n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦
=
=.
令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =. 23．（1）见解析；（2
）3
【解析】 【分析】
（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）
以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题
得
cos ,1m AB m AB m AB
⋅=
=
=
⋅，解方程即得解.
【详解】
（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，
∴AF ⊥平面ABCD .
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D
，()0,0,1F ，
∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，
∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，
设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，
设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00
m AP m AC ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，
∴()21020
y z x y λλ⎧+-=⎨
+=⎩
，令1y =，可得
22,1,
1m λλ⎛⎫
=-
⎪-⎝
⎭
， ∴
2
2
6
cos ,321411m AB m AB m AB
λλ⋅=
=
=
⎛⎫
⋅++ ⎪
-⎝⎭
，得1
3
λ=或1λ=-（舍去），
∴53
PF =
.
【点睛】
本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 24．（1）证明见解析；（2）35
. 【解析】 【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】
(1)如图所示，连结11,A E B E ，
等边1
AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥， 由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =，
由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==
1123AA CA ==3,3BC AB ==，
据此可得：()()()
1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
由11AB A B =可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则：
()()13333
,,,,33022223333,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪
⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()
1,3,1m =，333,344EF ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
此时
4
cos ,55EF m EF m EF m
⋅=
=
=
⨯， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55
EF m θθ===.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 25．（I ）(4,),(2)24
π
π
（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】
（I ）圆1C 的直角坐标方程为22
(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=
联立得22(2)4
{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==22
2{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,)24
ππ
（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为
20x y -+=
由参数方程可得122
b ab y x =
-+，所以1,12,1,222b ab
a b =-+==-=解得。