数学分析-二重积分概念讲稿

第二十一章 重 积 分
§1二重积分概念
教学目的：掌握二重积分的定义、性质及可积性定理
教学重点：二重积分的定义及性质
教学难点：定理21.7的证明
教学方法：讲练结合．
一、平面图形的面积
为了研究定义在平面图形(即平面点集)上函数的积分，我们首先讨论平面 有界图形的面积问题． ☆ 设P 是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割这个图形(图21—1)．这时直线网T 的网眼——小闭矩形i ∆可分为三
类：
(i)i ∆上的点都是P 的内点；
(ii)i ∆上的点都是P 的外点，即Φ=∆P i ；
(iii)i ∆上含有P 的边界点．
我们将所有属于直线网T 的第(i)类小矩形(图21—1
中阴影部分)的面积加起来，记这个和数为)(T s P ，则有)(T s P ≤R ∆(这里R ∆表示包含P 的那个矩形R 的面积)；将所有第（i ）类与第（iii ）类小矩形(图21—1中粗线所围部分)的面积加起来，记这个和数为)(T S P .
结论．．1．：T 为平面有界图形．．．．．．．P 的平行于坐标轴的一组直线网，则．．．．．．．．．．．．．．．)(T s P ≤．)(T S P ． 事实上: )(T s P 为P 的面积的不足值，而)(T S P 为P 的面积的过剩值.
结论．．2．：对于平面上所有直线网，数集．．．．．．．．．．．．．{．)(T s P }．有上确界，数集．．．．．．．{．)(T S P }．有下确界，记．．．．．．
)},({sup T s I P T P = )}.({int T S I P T
P =。

称．．P I 为．P 的．内面积．．．，P I 为．P 的．外面积．．．, 且有．．P P I I ≤≤0.．
(1) 事实上: 数集{)(T s P }上确界、数集{)(T S P }下确界的存在性，由确界存在定理可以推得(非
df 称一个平面图形P 是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形R ，使得R P ⊂．
空数集有界必有确界)(上册P7Th1.1).
定理
平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的>0，总存
在直线网T ，使得
ε<-)()(T s T S P P (2) 证明：[必要性] 设平面有界图形P 的面积为P I ，由定义1，有P I =P I =P I 对任给的ε>0，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得
2)(1ε
->P P I T s ， 2
)(2ε
+<P P I T S . (3) 记T 为由1T 与2T 这两个直线网合并所成的直线网，可证得
① ).()(),()(21T S T S T s T s P P P P ≥≤
于是由(3)可得
2)(ε
->P P I T s ， .2)(ε+<P I T S P
从而得到对直线网T 有ε<-)()(T s T S P P ．
[充分性] 设对任给的ε>0，存在某直线网T ，使得(2)式成立．但
≤≤P P I T s )(P I ).(T S P ≤
所以 P I P I -.)()(ε<-≤T s T S P p
由ε的任意性，因此=P I P I ，因而平面图形P 可求面积． ▌ 由不等式(1)及定理21.1立即可得：
推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积=P I _0，即对
任给的0>ε，存在直线网T ，使得
ε<)(T S P ，(因为0)(=T s P )
或对任给的ε>0，平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖．
定理2.21 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零．
证明：由定理1.21，P 可求面积的充要条件是：对任给的ε>0，存在直线网T ，使得ε<-)()(T s T S P P ．由于
)()()(T s T S T S P P K -=
所以也有ε<)(T S K ．由上述推论，P 的边界K 的面积为零． ٱ
定理21.3 若曲线K 为由定义在[]b a ,上的连续函数)(x f 的图象，则曲线K 的面积为零．
证明：由于)(x f 在闭区间 ][b a ,上连续，所以它在[]b a ,上一致连续．因而对任给的
0>ε，
总存在0>δ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]()b x a x n i x x n i i ===-,,,,2,1,01 并且满足
{}δ<=-=∆-n i x x x i i i ,,2,1max 1
时，可使)(x f 在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立.a b i -<ε
ω现把曲线K 按自变量
n x x x x ,,,10 =分成n 个小段，这时每一个小段都能被以i x ∆为宽，i ω为高的小矩形所覆盖．由于这n 个小矩形面积的总和为
,11εεω=∆-<∆∑∑==n i i n i i i
x
a b x
所以由定理1.21的推论即得曲线K 的面积为零． ▌
结论．．3．：由参量方程．．．．．))((),(βαψϕ≤≤==t t y t x 所表示的平面光滑曲线．．．．．．．．．．(．即．ψϕ,在．[]βα,上具有连续的导函数．．．．．．．．．)．或按段光滑曲线，其面积一定为零．．．．．．．．．．．．．．．
． 证明：（略）
二、二重积分的定义及其存在性
1 实例
求曲顶柱体的体积：设),(y x f 为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数．求以曲面),(y x f z =为顶，D 为底的柱体(图2l —2)的体积V ．
采用类似于求曲边梯形面积的方法．先用一组平行于坐标轴的直线网T 把区域D 分成n 个小区域()),,2,1n i i =σ (称T 为区域D 的一个分割)．以i σ∆表示小区域i σ的面积．这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成n 个以i σ为底的小曲顶柱体()),,2,1n i V i =．由于),(y x f 在D 上连续，故当每个i σ的直径都很小时, ),(y x f 在i σ上各点的函数值都相差无几，因而可在i σ上任取一点()i i ηξ,，用以()i i f ηξ,为高，i σ为底的小平顶柱体的体积()i i f ηξ,i σ∆作为i V 的体积i V ∆的近似值(如图2l —3)，即
.),(i i i i f V σηξ∆≈∆
把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积V 的近似值
.),(11∑∑==∆≈∆=n
i i i i n i i f V V σηξ
当直线网T 网眼越来越细密，即分割T 细度i n i d T ≤≤=1max (i d 为i σ的直径)趋于零时,就有.),(1V f n i i i
i →∆∑=σηξ
2 二重积分的定义
☆ 下面叙述定义在平面有界闭区域上函数),(y x f 的二重积分的概念．
设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，),(y x f 为定义在D 上的函数．用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域.,,,21n σσσ 以i σ∆表示小区域i σ的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i d 表示小区域i σ的直径，称i n
i d T ≤≤=1max 为分割T 的细度．在每个i σ上取一点),(i i ηξ,作和式
.),(1∑=∆n
i i i i f σηξ称它为函数),(y x f 在D 上属于分割T 一个积分和．
注．
：1）与定积分概念一样，二重积分也是通过“分割、近似求和、取极限”这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数．
2）当),(y x f ≥0时，二重积分
⎰⎰D d y x f σ),(在几何上就表示以),(y x f z =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积．
3）当1),(=y x f 时,二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(的值即为积分区域D 的面积．
4）由二重积分定义知道，若),(y x f 在区域D 上可积，则与定积分情况一样，对任何分割T ，只要当δ<T 时，(4)式都成立．因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割D ，则每一小网眼区域σ的面积.y x ∆∆=∆σ．此时通常把⎰⎰D
d y x f σ),(记作
⎰⎰D dxdy y x f .),(
(6)
结论．．4．
：函数),(y x f 在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是它在D 上有界.
证明: (同定积分可类似证明,略)
结论．．5．
：二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质. 证明: (同定积分那样类似地证明即可,略)
3 可积性定理
下面列出有关二元函数的可积性定理．我们只给出定理7.21的证明，其余请读者自行证明．
定理21.4 ),(y x f 在D 上可积的充要条件是： ).(lim )(lim 0
0T s T S T T →→= 定理21.5 ),(y x f 在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得.)()(ε<-T s T S ．
定理21.6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．
定理21.7 设),(y x f 是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若),(y x f 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则),(y x f 在D 上可积．
证明:不失一般性，可设),(y x f 的不连续点全部落在某一条光滑曲线L 上．记L 的长度为l ．于是对任给的0>ε，把L 等分成1+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=εl n 段: .,,21n L L L
在每段i L 上取一点i P ,与其一端点的弧长为
.2n l 以i P 为中心作边长为ε的正方形i ∆,则i L ⊂i ∆.从而有.1i n i L ∆⊂= 记,1
i n i ∆=∆= 则∆为一多边形．设∆的面积为W ，那么
.)(1)1(22εεεεεε+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤l l l n W
现在把区域D 分成两部分．第一部分,1∆= D D ，第二部分12D D D -=.
由于),(y x f 在2D 上连续，根据定理21．6与定理21．5，存在2D 的分割2T ，使 得.)()(22ε<-T s T S 又记),,(inf
),,(sup ),(),(y x f m y x f M y x y x ∆∈∆∆∈∆==以T 表
示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有
[][]W W m W M T s T S T s T S ωε+<-+-=-∆∆)()()()(22
,)1()(εεωωεωεε++=++≤l l
其中ω是),(y x f 在D 上的振幅。

由于),(y x f 在D 上有界，故ω是有限值.于是由定理5.21就证明了),(y x f 在D 上可积. ▌
三、二重积分的性质
二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：
1．若),(y x f 在区域D 上可积，k 为常数，则),(y x kf 在D 上也可积，且
⎰⎰⎰⎰=D
D d y x f k d y x kf .),(),(σσ
2．若),(),,(y x g y x f 在D 上都可积，则),(),(y x g y x f ±在D 上也可积，且
[].),(),(),(),(.
⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±D D D d y x g d y x f d y x g y x f σσσ
3．若),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在21D D 上也可积，且
.),(),(),(2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=D D D D d y x f d y x f d y x f σσσ
4．若),(y x f 与),(y x g 在D 上可积，且
,),(),,(),(D y x y x g y x f ∈≤
则
⎰⎰⎰⎰≤.
),(),(D D d y x g d y x f σσ
5．若),(y x f 在D 上可积,则函数),(y x f 在D 上也可积,且
.),(),(σσd y x f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰≤
6．若),(y x f 在D 上可积,且
,),(,),(D y x M y x f m ∈≤≤
则
,),(D D D MS d y x f mS ≤≤
⎰⎰σ 这里D S 是积分区域D 的面积．
7．(中值定理) 若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在,),(D ∈ηξ，使 得
,),(),(D D S
f d y x f ηξσ=⎰⎰
这里D S 是积分区域D 的面积.
中值定理的几何意义：以D 为底，)0),()(,(≥=y x f y x f z 为曲顶的曲顶 柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于),(y x f 在 区域D 中某点),(ηξ的函数值).,(ηεf
作业： P229 1；8。