值域的求法

值域求解方法
一．观察法（反解法）：适用于c a d cx b ax y ≠++=
1.3
12-+=x x y 解：（观察法）原式=37237)3(2-+=-+-x x x ，因为03
7,3≠-∴≠x x ，所以 2≠y ，值域为{}2≠y y 或 ()()∞+∞，，22- 。

（反解法）123+=-x y xy ，13)2(+=-x y x ，所以2
13-+=y x x ， 所以 2≠y ，值域为{}2≠y y 或 ()()∞+∞，，
22- 。

练习：
（1）2
415+-=x x y 解：观察法。

原式=）
（2427-452427-)24(45+=++x x x ，因为0)24(27≠+x ，所以45≠y ，值域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠45y y 。

反解法：原式=1524-=+x y xy ，12)54(--=-y x y ，5412+--=
y y x ，所以45≠y ，值域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠45y y 。

(2) 2
23-+=x x y 解：观察法：原式=28328)2(3-+=-+-=
x x x y ，因为028≠-x ，所以3≠y ，值域为 {}3≠y y 。

反解法：232+=-x y xy ，22)3(+=-y y x ，3
22-+=y y x ，所以3≠y ，值域为 {}3≠y y 。

二．配方法：适用于二次函数
1.642+-=x x y
解：2)2(2+-=x y ，由函数图象得，值域为{}
2≥y y 。

加条件 642+-=x x y ，[)5,1∈x 2)2(2+-=x y ，由函数图象得，当2=x 时，2min =y ，当5=x 时，11max =y ，值域为{}112<≤y y 或 [)11,2。

练习：
（1）322+--=x x y )25(-≤≤-x
解：原式=4)1(2++-x ，由函数图象得，当2-=x 时，3max =y ，
当5-=x 时，12min -=y ，值域为[]3,12-
三．换元法：适用于带根号的式子。

1. 12--=x x y 解：设1-=x t ，则0≥t ，且12+=t x 。

所以，815)41(2)1(222+
-=-+=t t t y ，因为0≥t ，所以815≥y ，值域为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≥815y y 练习：
（1）x x y 21-+= 解：设x t 21-=，则0≥t ，且2
12
t x -=。

所以，,1)1(2
12122+--=+-=t t t y 0≥t ，由图象知，1≤y ，值域为{}1≤y y 。

（2）12-+=x x y 解：设12-=x t ，则0≥t ，且2
12
t x +=。

以，,)1(2
12122+=++=t t t y 0≥t ，由图象知，21≥y ，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥21y y
四．分离常数：分子分母含平方项，不含一次项
1.1
222+-=x x y 解：原式=1
31131222+-=+-+x x x ，因,112≥+x 所以11102≤+<x ，31302≤+<x ，01332<+-
≤-x ，111
322<++-≤-x ，值域为[)1,2- 练习： （1）2
2
11x x y +-= 解：原式=1
2112)1(222++-=+++-x x x ，因为,112≥+x 所以11102≤+<x ，21202≤+<
x ，11
2112≤++-<-x ，值域为(]1,1- （2）34252+-=x x y 解：因为11)1(234222≥+-=+-x x x ，所以1342102≤+-<x x ，53
42502≤+-<x x ，所以值域为(]5,0。

五．判别式法：适用于分子分母含二次项 1. 1
13322-+++=x x x x y 解：由已知得，0)1()3()3(2
=+--+-y x y x y ，
当3=y 时，0)13(≠+-（舍） 时，当3≠∴y []0)1()3(4)3(2≥+----=∆y y y ，即031452≥--y ，解得
351≥-≤y y 或，由3≠y ，所以()+∞⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∞-∈,351, y . 练习： 1.1
58522+++=x x x y
解：由已知得，058)5(2=-+--y x x y ，若5=y ，则0=x ，
若5≠y ，R x ∈∴，0)5(4822≥--=∆∴y ，即591≠≤≤y y 且，所以值域[]9,1。