新人教A版数学必修二 4-2-1《直线与圆的位置关系》配套课件

题型二 求圆的切线方程 【例 2】 过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此 切线的方程． [思路探索] 利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜 率，进而求出切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点 A 在圆外． (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y＋3＝k(x－4)． 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为 1， 所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以 k2＋8k＋16＝k2＋1. 解得 k＝－185.所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)， 即 15x＋8y－36＝0.
【变式 4】 (2012·长沙五校高一检测)直线 l 经过点 P(5,5)并且 与圆 C：x2＋y2＝25 相交截得的弦长为 4 5，求 l 的方程． 解 根据题意知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y－5＝k(x－5)与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)，
法一 联立方程组yx－2＋5y＝2＝k2x5－，5， 消去 y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系
【课标要求】 1．理解直线和圆的三种位置关系． 2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系． 【核心扫描】 1．直线与圆位置关系的判定与分类，以及解析法研究几何问题 的思想的体会与应用．(重点) 2．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)
解 法一 判断直线与圆位置关系问题可转化为 b 为何值时，
方程组xy2＝＋xy＋2＝b 2
① ②
有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．
把②代入①整理得 2x2＋2bx＋b2－2＝0③
方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．
当－2＜b＜2 时，Δ＞0，方程组有两组不同实数解，因此直线 与圆有两个公共点，直线与圆相交； 当 b＝2 或 b＝－2 时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因 此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 当 b＜－2 或 b＞2 时，Δ＜0，方程组没有实数解，因此直线与 圆没有公共点，直线与圆相离．
【变式 2】 (1)求圆 x2＋y2＝10 的切线方程，使得它经过点 M(2，
6)； (2)求圆 x2＋y2＝4 的切线方程，使得它经过点 Q(3,0)．
解 (1)因为点 M 的坐标适合圆的方程，
所以点 M 在圆 x2＋y2＝10 上，由题可知圆心为 C(0,0)，
则直线 CM 的斜率 kCM＝ 26，因为圆的切线垂直于经过切点的
【变式 1】(2012·张家港高一检测)已知圆 O：x2＋y2＝8，过 P(4， 0)的直线 l 的斜率 k 在什么范围内取值时，直线 l 与圆 O：(1) 相交；(2)相切；(3)相离．
解 法一 设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)， 由yx＝2＋ky2x＝－84，， 得(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0， 由 1＋k2＞0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)． (1)当 Δ＝32(1－k2)＞0 即－1＜k＜1 时，方程组有两组不同的实 数解，直线 l 与圆 O 相交； (2)当 Δ＝32(1－k2)＝0 即 k＝±1 时，方程组有两组相同的实数 解，直线 l 与圆 O 相切； (3)当 Δ＝32(1－k2)＜0 即 k＜－1 或 k＞1 时，方程组没有实数 解，直线 l 与圆 O 相离．
解 设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵两切线 2x＋y－5＝0 与 2x＋y＋15＝0 平行， ∴2r＝|15－22＋－152|＝4 5，∴r＝2 5， ∴|2a＋22b＋＋115|＝r＝2 5，即|2a＋b＋15|＝10①
|2a＋22b＋－15|＝r＝2 5，即|2a＋b－5|＝10② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴ba－ －12＝12③ 由①②③解得ab＝ ＝－ －21， . ∴所求圆 C 的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)＞0， 解得 k＞0. 又 x1＋x2＝－10kk2＋1－1 k，x1x2＝25kk2＋k－12. 由斜率公式，得 y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2x1－x22 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 1＋k2100kk22＋11－2k2－4·25kk2＋k－12＝4 5. 两边平方，整理得 2k2－5k＋2＝0， 解得 k＝12或 k＝2 符合题意， 故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
k|32k＋| 1＝2，解得
k＝±2
5
5 .
所以所求切线方程为 y＝±255(x－3)．
题型三 求与直线相切的圆的方程 【例 3】 圆 C 与直线 2x＋y－5＝0 切于点(2,1)，且与直线 2x ＋y＋15＝0 也相切，求圆 C 的方程． [思路探索] 由于直线 2x＋y－5＝0 与直线 2x＋y＋15＝0 互相平 行，因此，这两条直线间的距离应等于直径，且圆心与切点的 连线必垂直于切线．
2．圆的切线的求法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线 的斜率 k，则由垂直关系，切线斜率为－1k，由点斜式方程可求 得切线方程．如果 k＝0 或 k 不存在，则由图形可直接得切线方 程为 y＝b 或 x＝a. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： ①几何方法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y－ kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，进而切 线方程即可求出．
规律方法 (1)明确圆心的位置及圆的半径与两平行线间的距 离之间的关系是解决本题的关键． (2)要注意应用切线的如下性质： ①过切点且垂直于切线的直线必过圆心； ②过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
【变式 3】 求圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 x＋y－1＝0
相切于 P(3，－2)的圆的方程．
想一想：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系 各有什么特点？ 提示 “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系是从 不同的方面，不同的思路来判断的，“几何法”侧重于“形”， 更多地结合了图形的几何性质；而“代数法”则侧重于“数”， 它倾向于“坐标”与“方程”．
名师点睛 1．直线与圆相交时弦长的求法 (1)求出交点坐标，利用两点间距离公式，求出弦长； (2)利用弦长公式求： d＝|x1－x2| 1＋k2＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] 其中 x1，x2 为交点的横坐标，k 为已知直线斜率． (3)设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则有2l 2＋d2＝r2，即半 弦长，弦心距，半径构成直角三角形，数形结合，利用勾股定 理求解．
半径，
所以所求切线的斜率
k＝－
2 6.
故经过点 M 的切线方程为 y－ 6＝－ 26(x－2)，整理得 2x＋ 6 y－10＝0.
(2)容易判断点 Q(3,0)在圆外，且 x＝3 不是圆的切线，故切线的
斜率存在，设切线的方程为 y＝k(x－3)，即 kx－y－3k＝0，又
圆的圆心为(0,0)，半径长为 2，所以
∴|AB|＝ 1＋k2×[x1＋x22－4x1x2]
＝
2×12－4×－72＝ 30.(8 分)
(2)如图(2)，当弦 AB 被点 P0 平分时， OP0⊥AB，∵kOP0＝－2，
∴kAB＝12.(10 分)
∴直线 AB 的方程为
y－2＝12(x＋1)， 即 x－2y＋5＝0.(12 分)
图(2)
【题后反思】 直线与圆相交弦长问题的解决，常采用根与系数 的关系或几何法(半弦长，弦心距和圆的半径构成直角三角形) 来解决．
法二 直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，即 kx－y－4k＝0. 圆心 O 到直线 l 的距离 d＝ |－k24＋k|1， 圆 O 的半径 r＝2 2. (1)当 d＝ |－k24＋k|1＜2 2， 即－1＜k＜1 时，直线 l 与圆 O 相交；
(2)当 d＝ |－k24＋k|1＝2 2， 即 k＝±1 时，直线 l 与圆 O 相切； (3)当 d＝ |－k24＋k|1＞2 2， 即 k＜－1 或 k＞1 时，直线 l 与圆 O 相离．
自学导引 1．直线与圆有三种位置关系 (1)直线与圆 相交 ，有两个公共点； (2)直线与圆 相切 ，只有一个公共点； (3)直线与圆 相离 ，没有公共点．
试一试：过平面一点 P 可作几条圆的切线？ 提示 当点 P 在圆内时，切线不存在；当点 P 在圆上时，只能 作一条圆的切线；当点 P 在圆外时，可作两条圆的切线．
法二(代数法)：
[规范解答] (1)法一 如图(1)所示，由已知 α＝135°，
∴kAB＝tan 135°＝－1.(2 分) ∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1＝0.(4 分)
∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝|－21|＝
2 2 .(6
分)
∵r＝2 2，∴|BC|＝
8－ 222＝
解 因为圆心在直线 y＝－4x 上，又在过切点 P(3，－2)与切线
l：x＋y－1＝0 垂直的直线 x－y－5＝0 上，解方程组
x－y－5＝0， y＝－4x.
得圆心(1，－4)．于是 r2＝(1－3)2＋(－4＋2)2
＝8 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
题型四 弦长问题 【例 4】 已知圆 x2＋y2＝8 内有一点 P0(－1,2)，AB 为过点 P0 且倾斜角为 α 的弦． (1)当 α＝135°时，求 AB 的长； (2)当弦 AB 被点 P0 平分时，写出直线 AB 的方程． 审题指导
②代数方法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0， 代入圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k， 进而求出切线方程． ③过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的 k 值 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合 求出．
题型一 直线与圆的位置关系的判定 【例 1】 已知圆的方程是 x2＋y2＝2，直线 y＝x＋b，当 b 为何 值时，圆与直线相交、相切、相离？ [思路探索] 解答本题可转化成求一元二次方程根的个数，或利 用数形结合转化成求直线截距的范围．
2．直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法：直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y) 的一元二次方程，此方程的判别式为 Δ，则 直线与圆相交⇔Δ＞0； 直线与圆相切⇔Δ＝0； 直线与圆相离⇔Δ＜0. (2)几何法：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则 直线与圆相交⇔ d＜r ； 直线与圆相切⇔ d＝r ； 直线与圆相离⇔ d＞r .
30 2.
∴|AB|＝2|BC|＝ 30.(8 分)
图(1)
法二 当 α＝135°时，kAB＝tan 135°＝－1，(2 分) ∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 y＝－x＋1，(4 分)
代入 x2＋y2＝8，得 2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－72.(6 分)
(2)若直线斜率不存在， 圆心 C(3,1)到直线 x＝4 的距离也为 1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x＝4. 综上，所求切线方程为 15x＋8y－36＝0 或 x＝4.
规律方法 求圆的切线方程时，用圆心到直线的距离求出切线 方程中的参数，即得切线方程． 经过圆内一点的切线不存在，经过圆上一点的切线有一条，经 过圆外一点的切线有两条，若只求出一条，则说明另一条切线 的斜率不存在，切线为 x＝x0 的形式．
法二
圆心
Байду номын сангаас
O(0,0)到
y＝x＋b
的距离
d＝
|b| ，半径 2
r＝
2.
①当 d＜r，即－2＜b＜2 时，直线与圆相交；
②当 d＝r，即 b＝2 或 b＝－2 时，直线与圆相切；
③当 d＞r，即 b＞2 或 b＜－2 时，直线与圆相离．
规律方法 已知直线和圆的位置关系，求直线中参数的取值范 围时，可利用代数法也可利用几何法，而数形结合(几何法)往 往会使运算更简单．