数学人教A版必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图像课件(1)

A．0
B．1
C．－1
D．2
π
【解析】 由题意－m＝sin 2，∴－m＝1，∴m＝－1.
【答案】
C
)
4．函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的图象(
)
A．关于直线 x＝1 对称
B．关于原点对称
C．关于 x 轴对称
D．关于 y 轴对称
【解析】 作出函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的简图(略)，
2
3
2
3
2

1

3
P1 ( ， )、P2( ， )关于原点对称点分别是P7
6
2
3
2
、P8 ；

1

3
P1 ( ， )、P2( ， )关于x轴的对称点分别是P11 、P10
6
2
3
2

1

3

因此，只要画出 P1 ( ， )、P2( ， ) 、P3( ，1) ，再根据对称性或诱导公式，
6
2
3
2
2
y
1
x
的图象不断向左、向右平移（每次运移动2π个单位），就可以得到正弦
函数y = sinx在R上的图象.
正弦函数的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线（如下图）
根据函数 = ， ∈［0，2π］的图象，你能想象函数 = ，
∈R 的图象吗？
由诱导公式一可知，函数 = ， ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且
0
1
-cos x
-1
0
1
0
-1
π
3
2π
2π
描点连线，如图
思考：你能利用函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，通过图象
变换得到y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象吗？同样地，利用函
数y＝cosx，x∈[0，2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到
函数y＝-cosx，x∈[0，2π] 的图象？
B．关于 x 轴对称
C．介于直线 y＝1 和 y＝－1 之间
D．与 y 轴仅有一个交点
【解析】
观察 y＝sin x 的图象可知 A，C，D 正确，且关于原点中心对称；
【答案】
B
2．用“五点法”作函数 y＝cos 2x，x∈R 的图象时，首先应描出的
五个点的横坐标是(
)
π
3π
A．0，，π， ，2π
2
k≠０的图象与 = ， ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数 =
， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就
可以得到ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ弦函数 = ， ∈R的图象（图5.4.4）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲
【精彩点拨】 在[0，2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．
【解析】
(1)列表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋sin x
1
2
1
0
1
在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到
y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
(2)列表：
x
0
π
2
cos x
1
0
－1


【解】 由诱导公式得
7π

y＝cos 2 －x＝－sin


x，
(1)列表：
x
0
π
2
－sin x
0
－1
π
3π
2
2π
0
1
0
π

3π

(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，2，－1，(π，0)， 2 ，1，(2π，0)．




(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住
12
P11
x
o

6

3

2
2
3
5
6

7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
将单位圆12等分，如上图.
记：∠P1M3X =

，∠P2M3X
6
=

，∠P3M3X
3
=

，∠P4M3X
2
=
2
，∠P5M3X
3
=
5
，. . .
6
则由三角函数的定义

6
1
2

3
sin = ，sin =

6
3

，sin
2
2
1
2
= 1，sin
易知它们关于 x 轴对称，故选 C.
【答案】
C
5．方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________．
【解析】 作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
【答案】
2
6．用“五点法”画出
7π

y＝cos 2 －x，x∈[0,2π]的简图．
1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象
最高点、最低点与 x 轴的交点．
2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意
用光滑的曲线连接五个关键点．
1．以下对于正弦函数 y＝sin x 的图象描述不正确的是(
)
A．在 x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同
o1
o
-1
就可以画出其余9个点.

6

3

2
2
3
5
6

7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
2
描点：画出y = sinx在[0，2π]上的图象
y
1
x
o1
o

6

3

2
2
3
5
6

7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
2
-1
让单位圆继续逆时针旋转一周，函数值会重复出现，再继续逆时针旋转一周，
函数值又重复出现；相反地，让单位圆顺时针旋转一周，函数值也会重复出
的交点为A（1，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转0 弧度至点B，根据正弦
函数的定义，点B的纵坐标 0 = 0 ．由此，以 0 为横坐标， 0 为纵坐标画点，
即得到函数图象上的点T（0 ，0 ）.
y
P3
P2
P4
P5
P7 M5 M
4
P7
P1
M3
M2
P8 P
9 P10
M1 P
(___，0)
2
2π
(___，1)
y
y sinx , x R
1
正弦曲线
x
-2

o
-
2
3
4
-1
余弦曲线
y
-2
-
y cosx , x R
1
o
-1

2
3
x
【例 1】用“五点法”作出下列函数的简图．
（1）y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；
（2）y＝-cos x，x∈[0，2π].

3
• 对应坐标 P1 ( ， )，P2( ，
2
3
=
3
5
，sin
2
6
1
2
= ，. . .
3

2
3
5
1
)，P3( ，1)，P4( ， )，P5( ， )，. . .
2
2
3
2
6
2

1
5
1

3
2
3
视察图形，P1 ( ， )与P5( ， )，P2( ， )与P4( ， )分别关于y轴对称；
6
2
6
2
π π 3π
B．0，，， ，π
4 2 4
C．0，π，2π，3π，4π
π π π 2π
D．0，，，，
6 3 2 3
π
3π
π π 3π
【解析】 令 2x＝0，2，π， 2 和 2π，得 x＝0，4，2， 4 ，π，故选 B.
【答案】
B
π
，－m
3．点 M 2
在函数 y＝sin x 的图象上，则 m 等于(
= sin +

2
, ∈R ．而函数 = sin +

2
, ∈R 的图象可以通过正弦函数

= ， ∈R 的图象向左平移 个单位长度而得到．
2

所以，将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图象．
2
余弦函数 = ， ∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．
5.4 .1
正弦函数、余弦函数的图象
下面先研究函数 = ， ∈R 的图象，从画函数 =
∈[0，2π]的图象开始．
思考：在[0，2π]上任取一个值0 ，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值
0 ，并画出点T（0 ，0 ）？
如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴
它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间[－π，π]
上相应的五个关键点，将它们的坐标填入下表5.4.1，然后画出 = ，
∈[－π，π]的简图
画余弦函数
图象的五点
π
0
(___，1)
(___，0)
2
π
(___，－1)
3π
它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五
点法”作图是常用的方法.
(0,0), ( ,0), (2 ,0)
图像的最低点一个
( 3 , 1)
2
这就是“五点（画图）法”
思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样
的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

2
对于函数 = ， 由诱导公式 = sin( + ) 得， =
线．
sin(x+2k) = sinx， kZ
y = sinx，xR
y = sinx， x[0，2]
y
1
4
3
2

o
1

2
3
4
x
由正弦函数的图象，5个点对函数图象起关键作用，如下图：
y
1
o

2

3
2
2
x
-1
五个关键点:
图像的最高点一个
( ,1)
2
与x轴的交点3个
现，再继续顺时针旋转一周，函数值又重复出现.
根据函数 = ， ∈［0，2π］的图象，你能想象函数 = ，
∈R 的图象吗？
由诱导公式一知：函数y = sinx在[2kπ，2(k+1)π](k∈z，k≠0)上的图象
与y = sinx在[0，2π]上的图象完成一致.因此，将函数y = sinx在[0，2π]上