北师大版七年级下第1章整式的乘除全章复习教学案设计+习题(无答案)

整式
第1节 乘方运算
知识点睛
概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数.
含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘.
例如：表示，
表示， 表示
表示， 表示
特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.
“奇负偶正”口诀的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：；. ⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号。

例如：，而.
⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正。

例如：，.
特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，.
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
n n a a n n a a n a n
a n a 5333333⨯⨯⨯⨯5(3)-(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-53-(33333)-⨯⨯⨯⨯52()72222277777
⨯⨯⨯⨯527222227⨯⨯⨯⨯[](3)3---=-[](3)3-+-=(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=2(3)9-=3(3)27-=-n ()n n a a -=-n ()n n a a -=
正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.
⑴ 同底数幂相乘．
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：
（都是正整数）. ⑵ 幂的乘方．
幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：
（都是正整数）． ⑶ 积的乘方．
积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：
（是正整数）．
⑷ 同底数幂相除．
同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：
（，，都是正整数）
⑸ 规定；（，是正整数）． 整式的乘法
⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母的幂分别是和，乘积中的幂是，同理，乘积中的幂是，另外，单项式中不含的幂，而中含，故乘积中含.
⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：，其中为单项式，为多项式.
m n m n a a a
+⋅=,m n ()n
m mn a a =,m n ()n n n ab a b =n m n m n a a a -÷=0a ≠m n ()010a a =≠1p p
a a -=
0a ≠p 23234233ab a b c a b c ⋅=a a 2a a 3a b 4b ab c 2323a b c 2c 2c ()m a b c ma mb mc ++=++m a b c ++
⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：
【典例剖析】
知识点一：幂的运算
【例1】计算：⑴； ⑵； ⑶
【例2】已知：，求：的值
【变式】已知，求：的值
【例3】已知，，求下列各式的值
⑴ ； ⑵；
⑶2m n a ++
()()m n a b ma mb na nb ++=+++23
1122⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
102a a a ⋅⋅()()()854x y y x x y -⋅-⋅-240x y +-=1233x y -2350x y +-=927x y ⋅2m a =3n a =1m a +3n a +
【变式】已知，，，则的结果是 .
【例4】计算：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷
【例5】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【例6】若，，求的值为多少？
【变式1】若，，则 3n a =3m b =13m n ++()3
32a b a ⎡⎤--⋅⎢⎥⎣⎦()()35232xy y ---23()n a a ⋅5237()()p q p q ⎡⎤⎡⎤+⋅+⎣⎦⎣⎦3m a =4n a =32m n a +5n a =2n b =()32n
a b =()()23
211n n a a -+⋅()435a a ⋅()32a b ⎡⎤+⎣⎦()54x
【变式2】
知识点二：单项式乘以单项式
【例7】计算：
① ② ③
④
⑤ ⑥
332x x x ⋅⋅()2x x -⋅-()32a ()432x y -()()32234x y xy ⋅-()()43
232xy z x y -⋅-()()
2
30
2559131-÷-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--
知识点三：单项式乘以多项式
【例8】计算：
⑴ ⑵
（3） （4）
【例9】若，，求的值。

()()24231x x x -⋅+-221232
ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭()2
2221252a ab b a a b ab ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭1212()n n n x x x x ++⋅-+12
x =1y =2222()()3()x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-
【例10】已知， 求的值。

知识点四：多项式乘以多项式
【例11】计算下列各式：
（1）()()b a y x 352++ ⑵
(3)(3x 2＋2x ＋1)(2x 2
＋3x －1) (4)(3x ＋2y )(2x ＋3y )－(x －3y )(3x ＋4y )
【例12】已知，求的值． 2
25(2520)0m m n -+-+=2(2)2(52)3(65)3(45)m m n m n m n n m n ---+---()()234x x -+22()()26x my x ny x xy y ++=+-()m n mn +
拓展训练
1、 若，，，求证：2b=a+c .
2、 已知：单项式M 、N 满足，求M 、N 。

3、 若(x 2＋ax ＋8)(x 2－3x ＋b )的乘积中不含x 2和x 3项，则a ＝_______，b ＝_______．
4、 如果三角形的底边为(3a ＋2b )，高为(9a 2－6ab ＋4b 2
)，则面积＝__________．
32=a 62=b
122=c 22
2(3)6x M x x y N +=+
5、 若(x 2＋ax －b )(2x 2－3x ＋1)的积中，x 3的系数为5，x 2
的系数为－6，求a ，b ．
6、若1＋x ＋x 2＋x 3＝0，求x ＋x 2＋x 3＋…＋x
2000的值．
家庭作业
1、计算的结果是（ ） A. B. C. D.
2
322)(xy y x -⋅105y x 84y x 85y x -126y x
2、计算结果为（ ） A. B. 0 C. D.
3、，则（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D.-23
4、 计算的结果是（ ） A. B. C. D.
5、下列各式中计算错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6、的结果为（ ） A ． B ． C ．
D ． 7、若(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－kx ＋ab ，则k 的值为( )
)()4
1()21(22232y x y x y x -⋅+-36163y x -
36y x -3
6125y x -992213y x y x y x n n m m =⋅⋅++-=-n m 34))(3
2()3(32m n m y y x x -⋅-⋅-mn m y x 43m m y x 22311+-
n m m y x ++-232n
m y x ++-5)(3113422(231)462x x x x x x -+-=+-232
(1)b b b b b b -+=-+231(22)2x x x x --=--342232(31)2323x x x x x x -+=-+221
1(6)(6)23
ab a b ab ab --⋅-2236a b 3222
536a b a b +2332223236a b a b a b -++232236a b a b -+
8、计算(2x －3y )(4x 2＋6xy ＋9y 2)的正确结果是( )
A ．(2x －3y )2
B ．(2x ＋3y )2
C ．8x 3－27y 3
D ．8x 3＋27y 3 9、(x 2－px ＋3)(x －q )的乘积中不含x 2项，则( )
A ．p ＝q
B ．p ＝±q
C ．p ＝－q
D ．无法确定
10、计算题 （1） （2）
（3） （4）
11、先化简，再求值：，其中．
)125.0(2.3322n m mn -)53(32)21(322yz y x xyz -⋅⋅-33()(3)m mn n mn -+-22
(4)(223)ab a ab b ---222(1)(3)x x x x x x ----2x =-
第2节 整式的除法运算及公式
知识点睛
整式的除法
⑴ 单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：，被除式为，除式为，系数分别为3和1，故商中的系数为3，的幂分别为和，故商中的幂为，同理，的幂为，另外，被除式中含，而除式中不含关于的幂，故商中的幂为.
⑵ 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，
公式为：，其中为单项式，为多项式.
平方差公式：
平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。

注意：①公式中的和可以是具体的数也可以是单项式或多项式。

例如：；； ；。

②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。

例如：； 完全平方公式：
；， 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。

2322233a b c ab ab c ÷=2323a b c ab a 2a a a 21a a -=b 2b 2c c c 2c ()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷m a b c ++22
()()a b a b a b +-=-a b 2
(2)(2)4a a a +-=-22(3)(3=9x y x y x y +--）
22()()()a b c a b c a b c +++-=+-3535610()()a b a b a b +-=-97103(1003)(1003)9991⨯=-+=22
()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+
边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。

注意： ①公式中的和可以是单项式，也可以是多项式。

②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，
补充公式
立方和公式：；
立方差公式：；
和的完全立方公式：；
差的完全立方公式：
【典例剖析】
知识点一：整式的除法
单项式除以单项式
【例1】计算
⑴ ⑵
多项式除以单项式
a b 22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab c -=-+-222(4)8x y y ÷2322393m n m n n m a b c a b ---÷
（1） （2）
多项式除以多项式 【例3】将一多项式，除以
后，得商式为余式为． 求 ．
【变式】已知多项式的除式为，商式为，余式为，求的值．
知识点二：平方差公式
【例4】计算
（1）（3x ＋2）（3 x －2）； （2）（－x+2y ）（－x －2y ）
（3）（b +2a ）（2a －b ）； （4）
()a ab a ÷+2()xy xy
y x 22422÷+()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦()56x +()21x +0a b c --=3221x x ax -+-1bx -22x x -+1a b 、(22)(22)x y y x -+-+
【变式】（1） （2）
【例5】求的值，其中
【变式】若
知识点三：完全平方公式
【例7】计算（1） ⑵
【变式】计算⑴ ⑵ ⑶
⑷
10298⨯2222()()a ab b a ab b ++-+()()()22y x y x y x +-+2,5==y x 的值。

求y x y x y x ,,6,1222=+=-2(811)a b -+2(23)x y --2(4)m n +21()2x -2
(32)x y -21(4)4y --
【例8】填空⑴； ⑵；
⑴
⑷；
【例9】已知，，则
【变式】已知实数、满足，，求的值．
知识点四：配方思想
【例11】填空：⑴； ⑵；
222()______a b a b +=+-222()______a b a b +=-+[]221______________2a b +=
+22()()_______a b a b -=+-3a b +=2230a b ab +=-2211a ab b -++=a b 2()1a b +=2()25a b -=22a b ab ++222_____4(2)x y x y ++=+2229_____121(3___)a b a -+=-
⑶； ⑷.
【例12】⑴如果多项式是一个完全平方式，那么的值为
⑵如果多项式是一个完全平方式，那么的值为
2244____(2___)m mn m ++=+2_____6______(3)xy x y ++=+219
x kx ++k 24x kx -+k
家庭作业
1、计算
（1） （2） （3）
2、运用平方差公式计算：
⑵ ⑶
3、利用公式简化计算：
（1） （2） (3)1982
4、先化简，再求值，其中。

()()22-+x x ()()a a 3131-+()()y x y x 55-+2211()()22x y x y -+(41)(41)a a ---+()()m n m n a b a b +-2123461234512347-⨯11411515⨯1
111111()()()2332223
x y y x x x y +-+-4,6x y ==
（1） （2）
（3） （4）
6、（1）若，则
（2）若是一个完全平方式，则
（3）若是一个完全平方式，则
7、计算。

；
2(23)x y -+(2)(2)a b b a --2222()()a ab b a ab b ++-+(22)(22)x y y x -+-+2414039
x x -+=x =228x xy k ++k =224m kmn n ++k =2()()()x y x y x y --+-3131(2)(2)5353
x y z y z x ---+
8、已知：102=-y x ，求()()()[]y y x y y x y x 42222÷-+--+的值。