九年级数学下册第27章圆27.3圆中的计算问题第1课时弧长和扇形的面积练习华东师大版(2021年整

九年级数学下册第27章圆27.3 圆中的计算问题第1课时弧长和扇形的面积同步练习（新版）华东师大版
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27.3 第1课时弧长和扇形的面积
一、选择题
1．2018·滨州已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC＝25°，则劣弧
AC，︵
的长为( )
A。

错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误! 2．若一个扇形的半径为8 cm，弧长为错误!π cm，则该扇形的圆心角为（) A．60° B．120°
C．150° D．180°
3．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（）
A．3π B．6π C．9π D．12π4．2017·丽水如图K－20－1，C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是( )
图K－20－1
A.错误!－错误!
B.错误!－2 错误!C。

错误!－错误! D。

错误!－错误!
5．如图K－20－2，扇形纸扇完全打开后,外侧竹条AB，AC的夹角为120°，
AB的长为30 cm，贴纸部分BD的长为20 cm，则贴纸部分的面积为( ）
图K－20－2
A．100π cm2 B。

错误!π cm2 C．800π cm2 D.错误!π cm2
6．如图K－20－3，⊙A，⊙B和⊙C两两不相交,且半径都是2 cm，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（)
图K－20－3
A．4π cm2 B．2π cm2 C．π cm2 D.错误! cm2
7．2018·宁波如图K－20－4,在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则错误!的长为（）
图K－20－4
A.错误!π B。

错误!π
C。

错误!π D。

错误!π
8．如图K－20－5，在△ABC中,AB＝5,AC＝3，BC＝4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为错误!，则图中阴影部分的面积为（）
图K－20－5
A。

错误!π B。

错误!π C.错误!π
D.错误!π
二、填空题
9．如图K－20－6，已知⊙O的半径为2,A为⊙O外一点,过点A作⊙O的一条切线AB，切点为B，AO的延长线交⊙O于点C.若∠BAC＝30°,则劣弧BC的长为________。

图K－20－6
10．已知扇形的半径为3 cm，此扇形的弧长是2π cm，则此扇形的圆心角等于________度，扇形的面积是________cm2(结果保留π)．
11．阅读课本P75中《硬币滚动中的数学》,我们可以知道滚动圆滚动的圈数取决于滚动圆的圆心运动的路程(如图K－20－7①）．在图②中，有2018个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2018个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位,则动圆C自身转动的圈数为______．
图K－20－7
12.2018·永州如图K－20－8，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1)，以点
O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置，则AB，︵
的长为________．
图K－20－8
13．如图K－20－9，在△ABC中,BC＝4.8，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，P是错误!上的一点，且∠EPF＝50°,则图中阴影部分的面积是________.
图K－20－9
14．如图K－20－10所示,△ABC是正三角形,曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中错误!，错误!，错误!的圆心分别为点A，B，C.如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．（结果保留π）
图K －20－10
15．如图K －20－11所示，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙A 相交于点F .若错误!的长为π2
,则图中阴影部分的面积为________．
图K －20－11
三、解答题
16．如图K －20－12，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∠ABC ＝2∠D ，连结OA ，OB ,OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E 。

(1）求∠OCA 的度数;
（2)若∠COB ＝3∠AOB ，OC ＝2 3，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号）．
图K－20－12
素养提升思维拓展能力提升
方案优化在某高新技术开发区中，相距200 m的A，B两地的中点O处有一精密仪器研究所，为保证研究所的正常工作,在其周围50 m的范围内不得有机动车辆通过，现要从A到B修一条公路，有两种修路方案:
方案一：分别由A,B向以点O为圆心,半径为50 m的半圆引切线，切点分别为M，N，沿线段AM，圆弧MN，线段NB修路（如图K－20－13(a）)；
方案二:分别由A，B向以点O为圆心，半径为50 m的半圆引切线,两切线相交于点P,沿线段AP,PB修路(如图K－20－13（b）)．
图K－20－13
分别计算两种修路方案的公路长,并指出按哪种修路方案修路更合适．
教师详解详析
［课堂达标］
1．［解析] C 因为∠ABC＝25°，所以劣弧错误!所对应的圆心角∠AOC＝50°，故劣弧错误!的长为错误!π·5＝错误!.
2．［解析] B 根据题意可得错误!＝错误!，解得n ＝120。

3．［解析］ D S ＝错误!＝12π，故选D .
4．［解析] A 连结OC 。

∵C 是半圆的三等分点，∴∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∠BOC ＝120°.由三角形面积公式求得S △BOC ＝错误!×2×错误!＝错误!，由扇形的面积公式求得S 扇形OBC ＝错误!＝错误!,∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △BOC ＝错误!－3。

故选A 。

5．[解析］ D 根据扇形的面积公式可以求阴影部分的面积，即用大扇形的面
积减去小扇形的面积．S 阴影＝S 扇形ABC －S 扇形ADE ＝120×π×302360
－错误!＝错误!π（cm 2）．
6．[答案] B
7．[解析］ C ∵在△ABC 中,∠ACB ＝90°，∠A ＝30°,BC ＝BD ，∴∠B ＝
60°,AD＝BD＝BC，∴l错误!＝错误!＝错误!π.
8．[解析] A∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形．
由题意，得△AED的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积＋扇形ADB的面积－△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝错误!＝错误!π。

故选A。

9．[答案］错误!
［解析］如图，连结OB.
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°.
∵∠BAC＝30°,
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°,
∴劣弧BC的长为错误!＝错误!。

故答案为错误!.
10．[答案］ 120 3π
［解析] 根据弧长公式l ＝n πr 180
，得2π＝错误!，解得n ＝120.S 扇形＝错误!lr ＝错误!×2π×3＝3π（cm 2
）．
11．［答案］ 错误!
[解析］ 总弧长为错误!×（2016＋4）×2＝错误!，而圆的周长为2πr ，所以一共自转了错误!圈．
12．［答案］ 错误!π
［解析］ 由点A （1，1)，可得OA ＝错误!＝错误!，点A 在第一象限的角平分线
上，那么∠AOB＝45°，再根据弧长公式计算，AB ︵的长为错误!π＝错误!π。

13．[答案］ 错误!－错误!π
［解析] 如图，连结AD.
∵⊙A 与BC 相切于点D ，
∴AD ⊥BC ，AD ＝2,
∴S △ABC ＝12BC·AD＝12
×4。

8×2＝4。

8。

∵圆周角∠EPF与圆心角∠EAF所对的是同一条弧,
∴∠EPF＝1
2
∠EAF.
而∠EPF＝50°，
∴∠EAF＝2∠EPF＝100°，
∴S扇形AEF＝错误!＝错误!π，
∴S阴影＝S△ABC－S扇形AEF＝错误!－错误!π.
故答案为24
5
－错误!π。

14．［答案] 4π
[解析] 错误!的长＝错误!＝错误!，错误!的长＝错误!＝错误!，错误!的长＝错误!＝2
π,则曲线CDEF的长＝2π
3
＋错误!＋2π＝4π.
15．［答案] 2－错误!
16．解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°.
∵∠ABC＝2∠D，
∴∠D＋2∠D＝180°，
∴∠D＝60°,
∴∠AOC＝2∠D＝120°。

∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°。

(2)∵∠COB＝3∠AOB，∠AOB＋∠COB＝∠AOC,
∴∠AOB＋3∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝30°，
∴∠COB＝∠AOC－∠AOB＝90°.
在Rt△OCE中，OC＝2 错误!，∠OCA＝30°，
∴OE＝OC·tan∠OCA＝2 3·tan30°＝2 错误!×错误!＝2，
∴S△OCE＝错误!OE·OC＝错误!×2×2 错误!＝2 错误!.
∵S扇形OBC＝错误!＝3π,
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OCE＝3π－2 错误!。

［素养提升］
［解析] 方案一:关键是求出错误!的长，求错误!的长只需求出圆心角∠MON的大小．连结OM,ON,在Rt△AOM中,OM＝50，OA＝错误!AB＝100，∴∠AOM＝60°，同理得∠NOB＝60°，故可求出∠MON的度数；
方案二：由题意可知在△PAB中，PA＝PB，AB＝200 m,∠APB＝120°，可求出
PA的长．
解:方案一：如图(a),连结OM，ON。

∵AM，BN分别切半圆于点M，N，
∴OM⊥AM,ON⊥BN。

∵AO＝BO＝错误!＝100(m)，MO＝NO＝50 m，
∴AM＝BN＝1002－502＝503（m)，
∠AOM＝∠BON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴错误!的长为错误!＝错误!π（m),
∴此修路方案的公路长为错误!m。

方案二：如图（b)，连结OP，由方案一可知∠A＝30°，AO＝100 m，∴AP＝BP＝错误!＝错误!(m），
∴此修路方案的公路长为错误!m.
∵100错误!＋错误!π－错误!＝错误!＜0,
∴按方案一修路更合适．。