2021年广东省东莞市联考九年级上学期期末数学试题

2021年广东省东莞市联考九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从上面看如图中的几何体，得到的平面图形正确的是（）
A．B．
C．D．
2．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．
3．“投掷一枚硬币，正面朝上”这一事件是（）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
4．下列格点，在反比例函数y＝6
x
图象上的是（）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）
A．3：2 B．3：2 C．9：4 D．27：8
6．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜1
3
B．k＜﹣
1
3
C．k＜3 D．k＞﹣3
7．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣2）8．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．
9．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 两点在圆上，∠CAB ＝20°，则∠ADC 的度数等于（ ）
A ．114°
B ．110°
C ．108°
D ．106°
10．如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝4cm ，动点P 从点O 出发，沿OA→AB →BO 的路径以每秒1cm 的速度运动一周．设运动时间为t ，s ＝OP 2，则下列图象能大致刻画s 与t 的关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．方程x 2﹣2x ＝0的两个根是：x 1＝_____，x 2＝_____．
12．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a 个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为_____．
13．把抛物线2y x =-向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式是__________.
14．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE .若点D 在线段BC 的延长线上，则B 的大小为________.
15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝_____．
16．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，C1B1⊥AB于点B1，设弧BC1，C1B1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，C2B2⊥AB于点B2，设弧B1C2，C2B2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3＝_____．
三、解答题
17．计算：π0﹣（1
3
）﹣1
18．先化简，再求值：
2
2
1369
324
a a a a
a a a
+--+
-÷
-+-
，当a＝﹣3时，求代数式的值．
19．如图在⊙O中，OA是半径，OA＝4．
（1）用直尺和圆规作OA的垂直平分线BC，BC交OA于点D，交⊙O于点B、C（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在第（1）问的基础上，求线段BC的长度．
20．2021年2月16日，由著名导演林超贤的电影《红海行动》在各大影院上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小丽获胜．（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率．
21．从甲地到乙地的火车原来的平均速度是100千米每小时，经过两次提速后平均速度为121千米每小时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）若甲乙两地铁路长220千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时．
22．如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
23．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝1
2
x的图象与反比例函数y＝
k
x
（k≠0）
图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；
（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．
24．如图1，圆内接四边形ABCD，AD＝BC，AB是⊙O的直径．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，连接OD，作∠CBE＝2∠ABD，BE交DC的延长线于点E，若AB＝6，AD＝2，求CE的长；
（3）如图3，延长OB使得BH＝OB，DF是⊙O的直径，连接FH，若BD＝FH，求证：FH是⊙O的切线．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，EF∥AB交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，若AB＝4，DE，求BF的长；
（2）如图2．连接AE，交BF于点H，若DF＝HF＝2，求线段AB的长；
（3）如图3，连接BF，AB＝，设EF＝x，△BEF的面积为S，请用x的表达式表示S，并求出S的最大值；当S取得最大值时，连接CE，线段DB绕点D顺时针旋转30°得到线段DJ，DJ与CE交于点K，连接CJ，求证：CJ⊥CE．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
从上边看是，
故选B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
2．A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．B
【解析】
【分析】
根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案．【详解】
解：抛一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，
∴“抛一枚硬币，正面朝上”这一事件是随机事件．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．B
【解析】
【分析】
在反比例函数y＝6
x
图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积为6，即可判断；
【详解】
解：反在比例函数y＝6
x
图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积为6，
∴（﹣3，﹣2）在y＝6
x
上，
故选：B．【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数y＝k
x
图象上的点
的横坐标与纵坐标的乘积为定值k．
5．C
【解析】
【分析】
由两个相似三角形，其相似比3：2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】
解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；
故选C．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质
.此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．A
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，
解得：k＜1
3
．
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．A
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点与原来的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
【详解】
解：点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣4，2）．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
8．C
【分析】
求最大高度，就要把抛物线解析式的一般形式改写成顶点式后，求顶点的纵坐标．
【详解】
解：∵抛物线形水柱，其解析式为y=﹣（x﹣2）2+6，
∴水柱的最大高度是：6．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是把一般式化成顶点式.
9．B
【分析】
由AB是直径可知∠ACB=90°,接着求出∠ABC,由圆内接四边形对角互补求出
∠ADC.
【详解】
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
在△ABC中，∠ABC=90°－∠CAB=70°，
∵圆内接四边形对角互补，
∴∠ADC=180°－∠ABC=110°，所以答案选B.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，了解圆内接四边形对角互补是本题的解题关键.
10．C
【解析】
【分析】
在半径AO上运动时，s=OP2=t2；在弧BA上运动时，s=OP2=4；在BO上运动时，s=OP2=（4π+4-t）2，s也是t是二次函数；即可得出答案．
【详解】
解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP2=t2；
在弧AB上运动时，s=OP2=4；
在OB上运动时，s=OP2=（2π+4-t）2．
结合图像可知C选项正确
故选：C．
【点睛】
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的关键．
11．0 2
【解析】
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式解方程即可．
【详解】
解：x2﹣2x＝0
x （x ﹣2）＝0，
解得：x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：0，2．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
12．12
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】 由题意可得，
33
a +×100%=20%， 解得a=12．
经检验：a=12是原分式方程的解，
所以a 的值约为12，
故答案为12．
【点睛】
本题考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13．2y -x 2=+
【分析】
根据题意直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加2即可得新函数解析式即可．
【详解】
解：∵2y x =-向上平移2个单位长度，
∴所得的抛物线的解析式为2y -x 2=+．
故答案为2y -x 2=+．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用
规律求函数解析式．
14．40°
【分析】
根据旋转的性质可得出AB ＝AD 、∠BAD ＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B 的度数，此题得解．
【详解】
根据旋转的性质，可得：AB ＝AD ，∠BAD ＝100°，
∴∠B ＝∠ADB ＝
12×（180°−100°）＝40°． 故填：40°.
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B 的度数是解题的关键．
15．2.5．
【分析】
利用以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k 得到位似比为13
，然后根据相似的性质计算AB 的长． 【详解】
解：∵A （1.5，0），D （4.5，0）， ∴OA OD =1.54.5=13
， ∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心， ∴AB DE =OA OD =13
, ∴AB=
13DE=13×7.5=2.5． 故答案为2.5．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．
16．12
π-
【解析】
【分析】
每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．
此题的关键是求得AB2、AB3的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】
解：根据题意，得
AC1＝AB＝4．
所以AC2＝AB1＝．
所以AC3＝AB2＝2．
所以AB3．
所以阴影部分的面积S3＝4541
21 36022
ππ
⨯
-⨯=-
【点睛】
此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．17．0
【解析】
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】
解：π0﹣（1
3
）﹣1
＝1+2﹣3
＝0．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．﹣1
2
．
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【详解】
解：原式＝
()()
()2
22 13
·
323
a a
a a
a a a
+-+-
-
-+-
＝
1
3
a
a
+
-
-
2
3
a
a
-
-
＝
3
3
a-
，
当a＝﹣3时，
原式＝
31 332
=-
--
．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据线段中垂线的尺规作图即可得；
（2）由中垂线知OD＝2，利用勾股定理求得BD的长，根据垂径定理即可得出答案．【详解】
解：（1）如图所示，直线BC即为所求．
（2）∵BC垂直平分OA，且OA＝4，
∴OD＝2，
则BD=
∴BC＝2BD＝
【点睛】
本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和垂径定理．
20．（1）共有16种等可能的结果数；（2）小丽获胜的概率为3 8 .
【解析】
【分析】
（1）利用树状图展示所有16种等可能的等可能的结果数；
（2）找出次数字之和大于5的结果数和两次数字之和小于5的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】
（1）画树状图为：
共有16种等可能的结果数；
（2）因为两次数字之和大于5的结果数为6，
所以小亮获胜的概率＝
6
16
＝
3
8
，
因为两次数字之和小于5的结果数为6，
所以小丽获胜的概率=
6
16
＝
3
8
.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21．（1）10%；（2）0.2.
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据：原来速度×（1+增长率）2＝现在的速度，列出方程求解可得；
（2）先求得第一次提速后的速度，然后分别求得原时间和现时间，二者相减即可求得少用时间．
【详解】
解：（1）设该火车每次提速的百分率为x，根据题意得：
100（1+x）2＝121，
解得：x＝0.1＝10%或x＝﹣2.1（舍去）
答：该火车每次提速的百分比为10%；
（2）∵第一次提速后火车的平均速度为100（1+10%）＝110千米/小时，
∴第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为：
220220100110
-＝2.2﹣2＝0.2（小时）．
【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（1）见解析；（2
）【分析】
（1）根据旋转的性质得到∠DBE ＝∠ABC ，∠EBC ＝60°，BE ＝BC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接AD ，根据旋转的性质得到DE ＝AC ，∠BED ＝∠C ，DE ＝AC ＝2，根据全等三角形的性质得到∠BEA ＝∠C ，AE ＝AC ＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ，
∴∠DBE ＝∠ABC ，∠EBC ＝60°，BE ＝BC ，
∵∠DBC ＝90°，
∴∠DBE ＝∠ABC ＝30°，
∴∠ABE ＝30°，
在△ABC 与△ABE 中，=30?BC BE ABC ABE BA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△ABE （SAS ）；
（2）解：连接AD ，
∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ，
∴DE ＝AC ，∠BED ＝∠C ，DE ＝AC ＝2，
∵△ABC ≌△ABE ，
∴∠BEA ＝∠C ，AE ＝AC ＝2，
∵∠C ＝45°，
∴∠BED ＝∠BEA ＝∠C ＝45°，
∴∠AED ＝90°，DE ＝AE ，
∴AD AE ＝
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（1）32y x
；（2）5；（3）6432(,)55 【解析】
【分析】
（1）根据在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x
（k≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（8，a ），可以求得点A 的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）根据题意和勾股定理可以求得OP 的长；
（3）根据题意可以求得点P 的坐标，本题得以解决．
【详解】
解：（1）∵函数y ＝
12x 的图象过点A （8，a ）， ∴a ＝12
×8＝4， ∴点A 的坐标为（8，4）， ∵反比例函数y ＝
k x （k≠0）图象过点A （8，4）， ∴4＝8
k ，得k ＝32， ∴反比例函数的解析式为y ＝
32x ； （2）设BP ＝b ，则AP ＝b+2，
∵点A （8，4），AB ⊥x 轴于点B ，
∴AB ＝4，∠ABP ＝90°，
∴b 2+42＝（b+2）2，
解得，b＝3，
∴OP＝8﹣3＝5，
即线段OP的长是5；
（3）设点D的坐标为（d，1
2
d），
∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，
∴
1
2
584 22
d
⨯⨯
=，
解得，d＝64
5
，
∴1
2
d＝
32
5
，
∴点D的坐标为（64
5
，
32
5
）．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．
24．（1）见解析；（2）4
3
；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由弧AD＝弧BC，根据同弧让所对的圆周角相等得∠ABD＝∠BDC得AB∥CD；（2）由∠BCE＝∠CBA＝∠DAO得∠CBE＝2∠ABD且∠AOD＝2∠ABD；从而得到△AOD∽△CBE，根据相似比得出结果；
（3）要证FH是⊙O的切线，只须证出DF⊥FH即可，作出辅助线是本题的关键．【详解】
解：（1）证明：圆内接四边形ABCD，AD＝BC，
∴弧AD＝弧BC，∴∠ABD＝∠BDC
∴AB∥CD
（2）由（1）知，∠BCE＝∠CBA＝∠DAO，
∵∠CBE＝2∠ABD且∠AOD＝2∠ABD
∴△AOD∽△CBE
∴AD OA OA CE BC AD
==
∴
22
1
2
24
63
AD
CE
OA
===
⨯
（3）作FM⊥AH于M，
∵∠ADB＝∠AFB＝∠DAF＝90°
∴四边形AFBD是矩形，
∴FH＝BD＝AF
∴AM＝HM，OM＝BM
∴OF＝BF＝OD
∴∠FOH＝60°，∠OHF＝30°
∠DFH＝90°
又∵DF是⊙O的直径，
∴FH是⊙O的切线．
【点睛】
此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，在第三问中，作出辅助线是本题的关键．
25．（1）5；（2）8；（3
）2
19
S(x
24
=--+，
9
2
，见解析.
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可得AB＝AD＝4，∠A＝90°，∠BDA＝45°＝∠DBA，由平行线性质可得∠DFE＝∠A＝90°，∠DEF＝∠DBA＝∠EDF＝45°，可得DF＝1，AF＝3，由勾股定理可求BF的长；
（2）由题意可得DF＝EF＝FH＝2，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE＝
∠FHE＝∠BHA，可得AB＝BH，由勾股定理可求AB的长；
（3）由三角形面积公式可求S △BEF ＝12EF×AF ＝12x （﹣x ）＝219224x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭
由
二次函数性质可得x ＝2
时，S 取得最大值，即点E 是BD 中点，由旋转的性质和直角三角形的性质可证四边形JCEN 是矩形，可证CJ ⊥CE ．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ，
∵EF ∥AB
∴∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45°
∴DF ＝EF
∴DE DF
∴DF ＝1
∴AF ＝AD ﹣DF ＝3
∴BF 5
（2）∵DF ＝EF ，DF ＝HF ＝2，
∴EF ＝2＝FH
∴∠FEH ＝∠FHE
∵EF ∥AB
∴∠FEH ＝∠BAE ，
∴∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA
∴AB ＝BH
∵在Rt △ABE 中，BF 2＝AF 2+AB 2，
∴（AB+2）2＝（AB ﹣2）2+AB 2，
∴AB ＝8，AB ＝0（不合题意舍去）
∴AB ＝8
（3）如图，过点J 作JN ⊥BD 于，
∵S △BEF ＝12EF×AF ＝12x （x ）＝21924x ⎛-+ ⎝⎭
∴当x ＝2时，S △BEF 最大值为94
，
∵x ＝2
，
∴EF ＝2
∵EF ∥AB ∴12
EF DE DF AB BD AD === ∴BD ＝2DE ，AD ＝2DF
∵CB ＝CD ，BD ＝2DE ，
∴CE ⊥BD ，BD ＝2CE ，
∵旋转
∴JD ＝BD ，∠JDB ＝30°，
又∵JN ⊥BD
∴JD ＝2JN ，
∴BD ＝2JN ，
∴JN ＝CE ，
∵JN ⊥BD ，CE ⊥BD
∴JN ∥CE ，且CE ＝JN
∴四边形JCEN 是平行四边形，
∵JN ⊥BD
∴四边形JCEN 是矩形
∴CJ ⊥CE
【点睛】
本题是四边形综合题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。