高中数学第二章数列章末检测新人教A版必修5(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第二章数列章末检测新人教A版必修5 编辑整理：
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章末检测(二) 数列
时间：120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．在等差数列｛a n｝中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于( ）
A．－10 B．－2
C．2 D．10
解析:设公差为d，∴a7－a5＝2d＝4，∴d＝2，又a3＝a1＋2d，∴－6＝a1＋4,∴a1＝－10。

答案:A
2．在等比数列｛a n｝中，a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于( ）
A．1 B．－1
C．±1 D．不能确定
解析：由题意得，a4＋a12＝－3<0,a4·a12＝1>0,
∴a4〈0，a12〈0，∴a8<0，
又∵a错误!＝a4·a12＝1，∴a8＝－1。

答案：B
3．已知数列｛a n｝的前n项和S n＝n2＋n，那么它的通项公式a n＝（)
A．n B．2n
C．2n＋1 D．n＋1
解析:当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－[（n－1）2＋(n－1）]＝2n，当n＝1时,a1＝S1＝2，也满足上式，故数列｛a n｝的通项公式为a n＝2n.
答案：B
4．若数列｛a n｝满足a n＝q n(q>0，n∈N*），则以下命题正确的是（）
①｛a2n｝是等比数列；②错误!是等比数列;
③{lg a n｝是等差数列；④{lg a错误!}是等差数列．
A．①③B．③④
C．②③④D．①②③④
解析：因为a n＝q n(q>0，n∈N＊）,所以{a n｝是等比数列，因此{a2n｝，错误!是等比数列，｛lg a n｝，｛lg a错误!｝是等差数列．
答案：D
5．已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n，3为等比数列，则x＋y＋mn的值为（) A．16 B．11
C．－11 D．±11
解析：根据等差中项和等比中项知x＋y＝5,mn＝6，所以x＋y＋mn＝11，故选B.
答案：B
6．已知S n＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋（－1）n＋1·n，则S6＋S10＋S15等于（）
A．－5 B．－1
C．0 D．6
解析：由题意可得S6＝－3，S10＝－5，S15＝－7＋15＝8，所以S6＋S10＋S15＝0.
答案：C
7．已知等比数列｛a n}的公比为正数，且a3·a7＝4a错误!，a2＝2，则a1＝（)
A．1 B.错误!
C．2 D.错误!
解析:设｛a n}的公比为q,则有a1q2·a1q6＝4a21q6，解得q＝2（舍去q＝－2），所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1。

故选A。

答案：A
8．设等差数列｛a n}的公差d不为0，a1＝9d.若a k是a1与a2k的等比中项，则k等于( ) A．2 B．4
C．6 D．8
解析:∵a错误!＝a1a2k，∴（8＋k）2d2＝9d(8＋2k)d，∴k＝4（舍去k＝－2）．
答案：B
9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低错误!,现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )
A．900元B．1 800元
C．2 400元D．3 600元
解析：把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a1，公比为1－错误!＝错误!，则a4＝8 100×错误!2＝2 400。

答案：C
10．一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形
的边数n等于( )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
解析：由题意得，120°n＋错误!n（n－1)×5°＝180°(n－2），化简整理,得n2－25n＋144＝0,
解得n＝9或n＝16。

当n＝16时，最大角为120°＋(16－1）×5°＝195°〉180°，不合题意．∴n≠16.故选C.
答案:C
11．设｛a n｝是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为( ）
A．－78 B．－82
C．－148 D．－182
解析：∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50,d＝－2,∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d）＋(a4＋2d）＋（a7＋2d）＋…＋(a97＋2d）＝（a1＋a4＋a7＋…＋a97）＋33×2d＝50＋33×(－4)＝－82.
答案：B
12．定义:称错误!为n个正数p1,p2，…,p n的“均倒数”，若数列｛a n}的前n项的“均倒数"为错误!，则数列｛a n｝的通项公式为( )
A．2n－1 B．4n－1
C．4n－3 D．4n－5
解析：设数列{a n}的前n项和为S n，由已知得错误!＝错误!＝错误!，∴S n＝n(2n－1）＝2n2－n。

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－n－［2(n－1)2－（n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2×12－1＝1适合上式，∴a n＝4n－3。

答案:C
二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中的横线上）
13．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a5＝－2,a8＝16,则S6等于________．
解析：∵{a n｝为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝错误!＝－8，∴q＝－2.又a5＝a1q4,∴a1＝错误!＝－错误!，∴S6＝错误!＝错误!＝错误!.
答案:错误!
14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________。

解析:设等差数列公差为d，则S3＝3a1＋错误!×d＝3a1＋3d＝3,a1＋d＝1，①
又S6＝6a1＋6×5
2
×d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.②
联立①②两式得a1＝－1，d＝2,故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
答案：15
15．在等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1〉0，S16〉0，S17<0,则当n＝________时,S n 最大．
解析：∵错误!，
∴a8>0，而a1〉0，
∴数列{a n｝是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列,从而n＝8时,S n最大．
答案：8
16．已知函数f（x)＝x a的图象过点(4,2）,令a n＝错误!，n∈N＊。

记数列｛a n}的前n项和为S n，则S2 016＝________。

解析：由f（4)＝2可得4α＝2,解得α＝错误!,
则f（x）＝x错误!.
∴a n＝
1
f n＋1＋f n
＝错误!＝错误!－错误!，
S
2 016
＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016
＝(2－错误!）＋(错误!－错误!)＋（错误!－错误!)＋…＋（错误!－错误!)
＝错误!－1.
答案：错误!－1
三、解答题（本大题共有6小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分)在等比数列｛a n｝中,a2＝3，a5＝81。

(1）求a n；
(2)设b n＝log3a n,求数列{b n}的前n项和S n。

解析：（1）设｛a n}的公比为q，
依题意得错误!解得错误!
因此a n＝3n－1。

（2)因为b n＝log3a n＝n－1,且为等差数列，
所以数列{b n}的前n项和S n＝错误!＝错误!。

18．(12分）已知等差数列{a n}，a6＝5,a3＋a8＝5。

（1）求{a n｝的通项公式a n；
(2)若数列｛b n}满足b n＝a2n－1,求｛b n}的通项公式b n。

解析：（1）设｛a n｝的首项是a1，公差为d，
依题意得错误!
∴错误!
∴a n＝5n－25(n∈N＊）．
（2)∵a n＝5n－25，
∴b n＝a2n－1＝5（2n－1）－25＝10n－30，
∴b n＝10n－30(n∈N＊）．
19．（12分)已知等差数列｛a n｝满足a1＋a2＝10,a4－a3＝2。

（1）求｛a n｝的通项公式;
(2)设等比数列｛b n}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{a n｝的第几项相等？
解析：（1）设等差数列{a n｝的公差为d。

因为a4－a3＝2，所以d＝2。

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4。

所以a n＝4＋2(n－1）＝2n＋2(n∈N*)．
（2)设等比数列{b n}的公比为q。

因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128。

由128＝2n＋2,得n＝63.
所以b6与数列｛a n｝的第63项相等．
20．(12分)已知等差数列{a n｝满足：a3＝7,a5＋a7＝26,｛a n}的前n项和为S n。

（1)求a n及S n；
(2）令b n＝错误!（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n。

解析：（1)设等差数列{a n}的公差为d,
由题意，得错误!，解得错误!.
∴a n＝a1＋(n－1）d＝3＋2（n－1）＝2n＋1。

S n＝na
＋错误!n(n－1)d＝3n＋错误!n（n－1）×2＝n2＋2n.
1
（2）由(1)知a n＝2n＋1,
∴b n＝错误!＝错误!＝错误!·错误!
＝1
4错误!
,
∴T n＝错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!.
21．（13分)设数列｛a n｝的前n项和为S n,其中a n≠0，a1为常数,且－a1，S n,a n＋1成等差数列．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n＝1－S n，问：是否存在a1,使数列{b n}为等比数列?若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1）依题意，得2S n＝a n＋1－a1，
当n≥2时,有错误!
两式相减，得a n＋1＝3a n(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，a n≠0，
所以数列{a n｝是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此，a n＝a1·3n－1（n∈N＊)．
(2)因为S n＝错误!＝错误!a1·3n－错误!a1，
b n＝1－S n＝1＋错误!a
1
－错误!a1·3n。

要使｛b n｝为等比数列，当且仅当1＋错误!a1＝0，即a1＝－2，
所以存在a1＝－2,使数列{b n}为等比数列．
22．(13分）求和：x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)x n(x≠0)．
解析:设S n＝x＋3x2＋5x3＋…＋（2n－1）x n,
∴xS n＝x2＋3x3＋5x4＋…＋（2n－3)x n＋(2n－1）x n＋1。

∴（1－x）S n＝x＋2x2＋2x3＋…＋2x n－（2n－1)x n＋1
＝2(x＋x2＋x3＋…＋x n）－x－（2n－1)x n＋1
＝2错误!－x－（2n－1）x n＋1(x≠1），
当x≠1时，1－x≠0，
S n＝错误!－错误!。

当x＝1时，S n＝1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝错误!＝n2.
所以S n＝错误!。