高一同步对数与对数函数讲义-

精锐教化学科老师辅导讲义
一、日校回顾
二、上节课学问点回顾
三、学问梳理 （一）、对数定义
一般地，假如 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数， 记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数
（二）对数的性质
（1）负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） （2）1的对数是零；01log =a ， （3）底数的对数是1；1log =a a （4）对数恒等式 N a
N
a =log
注：常用对数：以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN
自然对数：在科学技术中经常运用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN
底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞
（三）、对数的运算法则
（四）、对数函数的定义：
函数叫做对数函数，定义域为，值域为． 1、函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，
回答下列问题．
（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并说明为什么？
（2）函数x y a log =与x y a
1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？
(3)图象之间又有什么特别的关系？
（4）已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ==== 的图象，则底数之间的关系： ．
2、对数函数的性质
由对数函数的图象，视察得出对数函数的性质．
a ＞1
0＜a ＜1
x y a log =)10(≠>a a 且),0(+∞),(+∞-∞log =y x a
1 log =y x a
2 log =y x a
3 log =y x a
4
图
象
性 质
定义域：（0，+∞） 值域：R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
时 时
时 时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
四、例题讲解 例1、计算下列各题：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)2(lg 2)2
＋lg 2·lg 5＋
lg 2
2
－lg 2＋1.
例2、求值：lg 3＋25lg 9＋3
5
lg 27－lg 3
lg 81－lg 27.
例3、若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2
)的定义域为M.当x∈M 时，求f(x)＝2x ＋2
－3×4x
的最值及相应的x 的值．
例4、已知f(x)＝log a 1＋x
1－x
(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)>0的x 的取值范围．
11
1
1
)1,0(∈x 0<y ),1(+∞∈x 0>y )1,0(∈x 0>y ),1(+∞∈x 0<y
例13、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且对随意的x ∈R ，均有f(x ＋2)＝f(x)成立，当x ∈[0,1] 时，f(x)＝log a (2－x)(a ＞1)．
(1)当x ∈[－1，－1]时，求f(x)的表达式；
(2)若f(x)的最大值为12，解关于x ∈[－1,1]的不等式f(x)＞1
4
.
【答案】
例1、解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg
54
lg 54
＝1.
(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋lg 2
2
－2lg 2＋1
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.
例2、解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 341g 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋45＋910－12lg 34－3lg 3＝115
.
解法二：原式＝
lg
3×925×2712×35×3－12lg 8127
＝lg 3
115lg 3＝11
5.
例3、解 ∵y＝lg(3－4x ＋x 2
)，∴3－4x ＋x 2
>0，
解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}， f(x)＝2
x ＋2
－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2
.
令2x
＝t ，∵x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.
∴f(t)＝4t －3t 2
＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43
(t>8或0<t<2)．
综上可知：当x ＝log 2 23时，f(x)取到最大值为4
3
，无最小值．
例6、解：(1)f(－x)＝－f(x)，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x
1＋ax ，
整理得：1－a 2x 2
＝1－4x 2
，∴a ＝±2，又a≠2，故a ＝－2.
(2)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴0＜b≤12.
(3)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x
＝lg
－
1＋2x ＋21＋2x ＝lg ⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋21＋2x .
∴函数在定义域内是单调递减的．
例7、解：(1)当x ∈[－1,0]时，
f(x)＝f(－x)＝log a [2－(－x)]＝log a (2＋x)，
所以f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log a
2－x ， x ∈[0，1]log a 2＋x . x ∈[－1，0]
.
(2)因为f(x)是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f(x)的最大值就是当x ∈[0,1] 时，f(x)的最大值．
因为a ＞1，所以f(x)＝log a (2－x)在[0,1]上是减函数． 所以[f(x)]max ＝f(0)＝log a 2＝1
2，
所以a ＝4.
当x ∈[－1,1]时f(x)＞1
4得
⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x＜0log 42＋x ＞14或⎩
⎪⎨⎪
⎧
0≤x≤1，log 42－x ＞1
4，
得2－2＜x ＜2－ 2.
例8、解(1)：要使函数有意义，必需：04
1
2
1
2≥-
--x 即11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122
-≤--≤-x
∴
2
124
1
1
2
≤
≤--x ∴4141201
2
≤-
≤--x ∴2
10≤≤y
(2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R 从而24log )52(log 22
2=≥++x x 即函数值域为2≥y
(3)函数有意义，必需：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x
由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2
=++-x x
∴ 95402≤++-≤x x
从而 29log )54(log 3
12
3
1-=≥++-x x 即：值域为2-≥y
(4)要使函数有意义，必需： 02>--x x ①
0)(log 2≥--x x a ②
由①：01<<-x
由②：当1>a 时 必需 12≥--x x φ∈x
当10<<a 时 必需 12≤--x x R x ∈
综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2
=
--x x ∴4
102
≤--<x x ∴4
1
log )(log 2
a a x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a
例9、 解：（1）令
,011>-+x x 得01
1
<-+x x ， 即(x+1)(x-1)＜0，
故f(x)的定义域为(-1，1)．
又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．
例10、解：定义域 3601832
-<>⇒>--x x x x 或
单调区间是),6(+∞ 设2121),6(,x x x x <+∞∈且 则
)183(log 1212
11--=x x y )183(log 22
22
12--=x x y
---)183(12
1x x )183(22
2--x x =)3)((1212-+-x x x x
∵612>>x x ∴012>-x x 0312>-+x x ∴18322
2--x x 18312
1-->x x 又底数12
1
0<< ∴012<-y y 12y y <
∴y 在),6(+∞上是减函数。

例11、解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 341g 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋45＋910－12lg 34－3lg 3＝115
.
解法二：原式＝
lg
3×925×2712×35×3－12lg 8127
＝lg 3
115lg 3＝11
5.
例12、解：(1)f(－x)＝－f(x)，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x
1＋ax ，
整理得：1－a 2x 2
＝1－4x 2
，∴a ＝±2，又a≠2，故a ＝－2.
(2)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴0＜b≤12.
(3)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x
＝lg
－
1＋2x ＋21＋2x ＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋21＋2x .
∴函数在定义域内是单调递减的．
例13、解：(1)当x ∈[－1,0]时，
f(x)＝f(－x)＝log a [2－(－x)]＝log a (2＋x)，
所以f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log a
2－x ， x ∈[0，1]log a 2＋x . x ∈[－1，0]
.
(2)因为f(x)是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f(x)的最大值就是当x ∈[0,1] 时，f(x)的最大值．
因为a ＞1，所以f(x)＝log a (2－x)在[0,1]上是减函数．
所以[f(x)]max ＝f(0)＝log a 2＝1
2
，
所以a ＝4.
当x ∈[－1,1]时f(x)＞1
4得
⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x＜0log 42＋x ＞14或⎩
⎪⎨⎪
⎧
0≤x≤1，log 42－x ＞1
4，
得2－2＜x ＜2－ 2.
五、 课堂练习 一、选择题
1．若3a
=2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）
（A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2
（C ）5a-2 （D ）3a-a 2
2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则
N
M
的值为（ ） （A ）
4
1
（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2
=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga y a n x
log ,11则=-等于（ ）
（A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）2
1
(m-n)
4.假如方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ）
（A ）lg5·lg7
（B ）lg35
（C ）35 （D ）
35
1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2
1-
等于（ ）
（A ）
31
（B ）321 （C ）2
21 （D ）331 6．函数y=lg （
112
-+x
）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log (2x-1)23-x 的定义域是（ ）
（A ）（
32，1）⋃（1，+∞） （B ）（21，1）⋃（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2
1，+∞）
8．函数y=log 2
1(x 2
-6x+17)的值域是（ ）
（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 2
1(2x 2
-3x+1)的递减区间为（ ）。