随机过程与噪声

第2章 随机过程与噪声
在通信系统中，信源发送的信号具有一定的不可预测性，或者说随机性。

信号在传输过程中会不可避免地遇到各种噪声和干扰，这些噪声也是不可预测的或随机变化的。

电磁波的传播受大气层的变化、地面地形的影响，也使接收的信号随机变化。

因此，通信中的信号和噪声都具有一定的随机性，需要借助随机过程的数学方法来描述。

本章介绍随机过程的基本概念、数字特征及噪声的表示方法，重点分析通信系统中几种重要随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况，这些内容对后面章节中分析通信系统的性能很有用。

2.1随机过程描述 2.1.1 随机过程概念
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

通信系统中的信号和噪声是具有随机性的，通常称为随机信号，它们均可看作随时间参数t 变化的随机过程。

随机过程是时间t 的实函数，但是在某一时刻上观察到的值却是一个随机变量。

也就是说，随机过程可以看成是对应不同随机试验结果的时间过程的集合。

例如：设有n 部性能完全相同的通信机，它们的工作条件相同，如果用n 台相同的记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，结果将发现，尽管测试设备和测试条件都相同，但是纪录的是n 条随时间起伏且各不相同的波形，如图2-1所示。

这就是说，接收机输出的噪声电压随时间变化是不可预测的。

测试结果的每一个记录，即图2-1中的一个波形，都是一个确定的时间函数x i (t),它称之为样本函数或随机过程的一个实现。

全部样本函数构成的总体│x 1(t),x 2(t),…,x n (t)│就是一个随机过程，记作()t ξ。

简言之，随机过程是所有样本函数的集合。

显然，把对接收机输出噪声波形的观察可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，
()t ξ取图2-1所示的所有可能样本中的某一样本函数，至于是哪一个样本，在进行观测之前是无法预测的，这正是随机过程随机性的表现。

随机过程的这种不可预测性或随机性还可以从另一个角度来理解，在任一观测时刻t 1上，不同样本的取值{}n i t x i ,...,2,1),(1=是一个随机变
量，记作)(1t ξ。

换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。

因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

()
t ξ
图2-1 样本函数构成的总体
随机过程具有两个属性： (1) ()t ξ是时间的函数。

(2) 给定任一时刻t ，()t ξ是不含t 的随机变量。

2.1.2随机过程的统计特性
随机过程的统计特性是通过它的概率分布和数字特征来表述的。

设()t ξ是一个随机过程，其在任意给定时刻t 1,的取值用()1t ξ表示，随机变量()1t ξ的统
计特性可用分布函数或概率密度函数来描述。

把随机变量()1t ξ小于或等于某一数值1x 的概率])([11x t p ≤ξ记作),(111t x F ，即 ])([),(11111x t p t x F ≤=ξ （2.1-1）
则称),(111t x F 为随机过程()t ξ的一维分布函数。

如果),(111t x F 对x 1的偏导数存在，有
()()1111
111,,t x f x t x F =∂∂ （2.1-2） 则称()111,t x f 为()t ξ的一维概率密度。

显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，还需在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。

对于任意给定的两个时刻t 1,t 2,把11)(x t ≤ξ 和22)(x t ≤ξ同时成立的概率 {
}221121212)(,)(),;,(x t x t P t t x x F ≤≤=ξξ （2.1-3） 称为随机过程()t ξ的二维分布函数，如果
),;,(,)
,;,(212212122212
1t t x x f x x t t x x F =∂∂∂ （2.1-4）
存在，则称),;,(21212t t x x f 为()t ξ的二维概率密度函数。

同理，任意给定T t t t n ∈,...,,21，则()t ξ的n 维分布函数被定义为 ()()()()[]n n n n n x t x t x t p t t t x x x F ≤≤≤=ξξξΛΛΛ,,,,;,,22112121 （2.1-5）
如果存在
()()n n n n
n n n n t t x x f x x x t t t x x x F ΛΛΛΛΛ11212121,,,;,,=∂∂∂∂ （2.1-6）
则称()n n n t t x x f ΛΛ11,为()t ξ的n 维概率密度函数。

显然，n 越大，对随机过程统计特性
的描述越充分，但问题的复杂度也随之增加。

2.1.3随机过程的数字特征
上述随机过程的概率分布函数和密度函数虽然能较完整的描述其统计特性，但在实际工作中，用数字特征来描述更为简单和直观。

随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广得到的，其中最常用的是均值、方差和相关函数。

1、均值（数学期望）
随机过程()t ξ在任意给定时刻t 1的取值()1t ξ是一个随机变量，其一维概率密度函数为
),(111t x f ，则()1t ξ的均值定义为
()[]()⎰
∞
∞
-=
111111,dx t x f x t E ξ （2.1-7）
因为t 1是任取的，所以可以把t 1直接写为t ，x 1也改为x ,这时上式就变为随机过程在任意时刻的均值（也称数学期望），记为a(t) ()()[]()⎰
∞
∞
-=
=dx t x xf t E t a ,1ξ （2.1-8）
显然，随机过程()t ξ的均值a (t)是时间t 的函数，它表示随机过程的所有样本函数曲线的摆动中心。

2、方差
随机过程的方差定义为
()()[]()()[]{}()[]
()[]()[]()[]
()[]()[]()()[]
{}
⎰∞∞
--=-=+⋅-=-==2
12
2
2
2
22
2,2t a dx t x f x
t a t E t E t E t E t E t E t E t D t ξξξξξξξξσ (2.1-9)
可见，方差等于均方值与数学期望平方之差，它表示随机过程在时刻t 相对于均值a(t)
的偏离程度。

3、协方差和相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t 1, t 2)和相关函数R （t 1, t 2）来表示。

协方差函数定义为
()()()()(){}
()()()2
1212122211221121,;,]][[]][[,dx dx t t x x f t a x t a x t a t t a t E t t B ⋅--=--=⎰
⎰
∞∞-∞
∞
-ξξ (2.1-10)
式中，t 1与t 2是任取的两个时刻，a (t 1)与a (t 2)是t 1,t 2时刻的均值，),;,(21212t t x x f 为
二维概率密度函数。

相关函数定义为：
()()()[]
()2
121212212121,;,,dx dx t t x x f x x t t E t t R ⎰
⎰
∞∞-∞
∞
-==ξξ (2.1-11)
式中，()1t ξ和()1t ξ分别是在t 1,t 2时刻观测()t ξ得到的随机变量。

可以看出，R （t 1，t 2）是两个变量t 1和t 2的确定函数。

R (t 1，t 2)与B (t 1，t 2)之间的关系为
()())()(,,212121t a t a t t R t t B -= （2.1-12）
若()(),0021==t a t a 或则B (t 1，t 2)=R(t 1，t 2)。

由于B(t 1，t 2)和R(t 1，t 2) 是衡量同一过程相关程度的，因此，它们又分别称为自协方差函数和自相关函数，本书中只采用R(t 1，t 2)。

如果把相关函数的概念引申到两个或多个随机过程，也可以定义互相关函数。

设)(t ξ和
)(t η分别表示两个随机过程，则互相关函数为
()()()[]
()dy
dx t y t x f xy t t E t t R ⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-⋅==212121 ,;,,ηξηξ （2.1-13）
若2t >1t ,并令12t t -=τ，则相关函数R(t 1，t 2)可以表示为),(11τ+t t R 。

这说明，相关函数依赖于起始时刻1t 及2t 与1t 之间的时间间隔τ，即相关函数是1t 和τ的函数。

2.2 平稳随机过程
平稳随机过程是一种特殊类型的随机过程，在通信领域中应用很广泛。

2.2.1 严平稳过程与广义平稳过程
严平稳随机过程的全称是随机过程在严格意义下的平稳过程，是指它的任何n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

也就是说，对于任意的正整数n 和所有实数τ，随机过程)(t ξ的n 维概率密度函数满足
()()τττ+++=n n n n n n t t t x x f t t t x x x f ΛΛΛΛ,,;,,,;,,2112121 （2.2-1）
该定义表明，严平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。

由此推论出，它的一维分布函数与时间t 无关，即
)(),(1111x f t x f = （2.2-2） 而它的二维分布函数只与时间间隔τ有关，即
()τ;),;,(2121212x x f t t x x f = （2.2-3） 显然，随着概率密度函数的简化，平稳随机过程)(t ξ的一些数字特征也可以相应地简化，其均值为
()()[]()a dx x xf t E t a ==
=⎰
∞
∞
-ξ （2.2-4）
为一常数，它表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。

自相关函数为
()()()[]
())
(;,2121211111τττξξτR dx dx x x f x x t t E t t R ==+=+⎰
⎰
∞∞-∞
∞
- （2.2-5）
可见，严平稳随机过程)(t ξ具有显明的数字特征：①均值与t 无关，为常数a ；②自相关函数只与时间间隔12t t -=τ有关，即)(),(11ττR t t R =+。

实际中常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，把同时满足①和②的随机过程定义为广义平稳随机过程。

严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为广义平稳随机过程，将广义平稳随机过程简称为平稳过程。

本书此后的讨论都假定是平稳过程。

2.2.2平稳过程的各态历经性
平稳随机过程在满足一定条件下有一个非常有用的特性，称为“各态历经性”。

是指随机过程的数字特征（统计平均）可由随机过程中任一实现的数学特征（时间平均）来代替。

大量实际观测和理论分析表明，许多平稳随机过程都具有这样的特性。

假设x(t)是平稳随机过程)(t ξ的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别定义为
()
()[]()(
)
()
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=⎰⎰⎰-∞→-∞→-∞→22
222
2
221lim
1lim 1lim T
T T T
T T T
T T R dt t x t x T dt a t x T a dt t x T ττσ （2.2-6） 如果平稳随机过程使下式成立
()()
⎪⎭
⎪
⎬⎫===ττσσR R a
a 2
2 （2.2-7） 即平稳过程的统计平均值等于它的任意一次实现的时间平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。

“各态历经性”的含义是：随机过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态。

因此，无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需作一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，这使实际测量和计算过程大为简化。

注意，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。

在通信系统中所遇到的随机信号及噪声，一般均可满足各态历经条件。

2.2.3平稳过程自相关函数与功率谱密度
在平稳过程中，均值、方差、自相关函数和互相关函数这四个数字特征中，自相关函数最为重要。

其一，平稳随机过程的统计特性可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。

1、自相关函数
设)(t ξ为实平稳随机过程，则自相关函数 ()()()[]()212121,dx dx x x f x x t t E R ⎰⎰
∞∞-∞
∞
-=+=ττξξτ （2.2-8）
具有以下主要性质：
① ()()[
]S t E R ==2
0ξ
(2.2-9)
即0=τ的自相关函数等于信号的平均功率。

② ()()ττ-=R R （2.2-10）
即)(τR 是关于τ的偶函数。

这一性质可直接由定义式（2.2-8）证。

③ ()()0R R ≤τ （2.2-11） 即自相关函数)(τR 在0=τ有最大值。

考虑一个非负式[]0)()(2
≥+±τξξt t E 可以证
明此关系。

()()()()[]()[]()()[]()[]0
20
22
2
22≥++-≥+++±t E t t E t E t t t t E ξτξξξτξτξξξ 0)(2)0(2≥±τR R )0()(R R ≤τ
④ ()()[]2
2
a t E R ==∞ξ （2.2-12） 即()R ∞等于)(t ξ的直流功率，证明如下。

()()()[]()[]()[]()[]t E
t E t E t t E R ξτξξτξξτττ2
lim lim =+⋅=+=∞
→∞
→
上式利用了当∞→τ时，)(t ξ与)(τξ+t 不存在依赖关系，即统计独立，且)(t ξ中不含周期分量。

⑤ ()()2
0σ=∞-R R （2.2-13）
即左端表达式代表的是)(t ξ的交流功率，证明如下。

()[]()[]{
}()(){
}
()[
]
()[]()()()()∞-=-=+⋅-=+-=+-=-=R R a R a a a R a t aE t E a t a t E a t E t D 00202222222
22
ξξξξξξ
当均值为0时，有2
)0(σ=R 。

由上述性质可知，用自相关函数几乎可表述)(t ξ所有的数字特征，因而具有实用意义。

2、功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。

由于随机过程的任意一个实现是一个确定的功率信号，设为()t f ，它的功率谱密度()ωf P 定义为
()()
T
F P T T f
2
lim
ωω∞→= （2.2-14） 式中，()ωT F 是()t f 的截短函数()t f T 所对应的频谱函数，见图2-2。

图2-2 截短函数
可以把()t f 看成是平稳过程()t ξ的任一样本，因而每个样本的功率谱密度也可以用式（2.2-14）来表示。

一般而言，不同样本函数具有不同的谱密度()ωf P ，因此，某一样本的功率谱密度不能作为随机过程的功率谱密度，而应看作是对所有样本功率谱的统计平均，即
()[]
()
[
]T
F E P E P T T f 2
lim
)(ωωωξ∞
→== （2.2-15）
上式给出了平稳随机过程()t ξ的功率谱密度()ωξP 定义，尽管该定义非常直观，但却很难直
接用它来计算功率谱。

由确知信号理论可知，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换的关系。

这种关系对平稳随机过程同样成立，也就是说，平稳过程的功率谱密度()ωξP 与其自相关函数()τR 也是一对傅里叶变换关系，即
()()()()⎰
⎰
∞∞
-∞
∞
--⋅=
⋅=
ωωπ
ττ
τωωτ
ξωτξd e
P R d e R P j j 21
（2.2-16）
简记为
)()(ωτξP R ⇔
关系式（2.2-16）称为维纳-辛钦关系，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。

它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。

在维纳-辛钦关系的基础上，可以得到以下结论：
（1）对功率谱密度进行积分，可以得到平稳过程的总功率
[]
⎰
∞
∞
-==
)()(21)0(2t E d P R ξωωπ
ξ （2.2-17）
这正是维纳-辛钦关系的意义所在，它不仅指出了用自相关函数来表示功率谱密度的方法，同时还从频域的角度给出了平稳随机过程()t ξ平均功率的计算法，而式[]
)()0(2
t E R ξ=
是时域计算法。

这一点进一步验证了()τR 与功率谱密度()ωξP 的关系。

（2）功率谱密度()ωξP 具有非负性和实偶性，即有
0)(≥ωξP （2.2-18） 和
)()(ωωξξP P =- （2.2-19） 【例2-1】 某随机相位余弦波)cos()(θωξ+=t A t c ，其中A 和c ω均为常数；θ是在
)2,0(π内均匀分布的随机变量。

（1）求()t ξ的自相关函数与功率谱密度； （2）讨论()t ξ是否具有各态历经性。

【解】（1）先观测()t ξ是否广义平稳 ()t ξ的数学期望为
[]0sin sin cos cos 2)sin sin cos (cos 221)
cos()()(202020
20
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=
+==⎰⎰⎰
⎰πππ
π
θθωθθωπθ
θωθωπθπ
θωξd t d t A d t t A d t A t E t a c c c c c
()t ξ的自相关函数为
[]
[]
[]{}
[]1212122
21212222121
0221(,)()()cos()cos()cos ()cos ()221cos ()cos ()2222cos ()02
c c c c c c c R t t E t t E A t A t A E t t t t A A t t t t
d A t t πξξωθωθωωθωωθθθω==+⋅+=-+++=-+++=-+⎰ 令 τ=-12t t ，得
)(cos 2
),(2
21ττωR A t t R c == 可见，()t ξ的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，故()t ξ为广义平
稳随机过程。

根据平稳随机过程相关函数与功率谱密度的关系，即)()(ωτξP R ⇔，由于
[])()(cos c c c ωωδωωδπτω++-⇔ 所以，功率谱密度为
[])()(2
)(2
C C A P ωωδωωδπωξ++-=
而平均功率为
2
)(21)0(2
A d P R S ===⎰∞∞-ωωπξ （2）再来求()t ξ的时间平均。

根据式（2.2-6）可得
⎰-
∞→=+=22
0)cos(1
lim T
T c T dt t A T a θω
[]τωθτωωτωθτωθωτc T T T
T c c c T T T c c T A dt t dt T A dt
t A t A T
R cos 2
)22cos(cos 2lim )(cos )cos(1
lim
)(22
222222
=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+++=++⋅+=⎰⎰⎰
--∞→-∞→ 比较统计平均与时间平均，可得)()(,ττR R a a ==，因此，随机相位余弦波具有各
态历经性。

2.3 平稳随机过程通过线性系统
通信过程主要是信号通过系统传输的过程。

通信系统中所遇到的信号或噪声一般都是随机的，这些随机过程通过线性系统后，输出将是什么样的过程？
随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的。

这里只考虑平稳随机过程通过线性时不变系统的情况。

对于线性时不变系统，输出响应)(0t v 等于输入信号)(t v i 与系统的冲击响应)(t h 的卷积，即
τττd t h v t h t v t v i i o )()()()()(-=
*=⎰
∞
∞
- （2.3-1）
或
⎰-=
*=τττd t v h t v t h t v i
i o )()()()()( （2.3-2）
对应的傅里叶变换关系为
)()()(ωωωi O V H V = （2.3-3） 如果把)(t v i 看作是输入随机过程的一个样本,则)(0t v 可看作是输出随机过程的一个样
本。

显然,输入随机过程为()t i ξ的每个样本与输出过程()t 0ξ的相应样本之间都满足式（2.3-2）的关系。

因此，输入与输出随机过程也应满足式（2.3-2）,即有
()()()()()⎰∞
∞
--=*=ττξτξξd t h t t h t i i 0 (2.3-4)
现假定输入过程()t i ξ是平稳随机过程，可根据上述关系求系统输出过程()t 0ξ的统计特性。

1、输出过程()t 0ξ的均值
对式(2.3-4)两边取统计平均，则输出过程()t 0ξ的均值为
()[]()()()()[]ττξτττξτξd t E h d t h E t E i i ⎰⎰∞∞
-∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0 输入过程是平稳的，则有()[]()[](a t E t E i i ==-ξτξ常数），所以
()[]()[]()()00H a d h t E t E i ⋅==⎰∞
∞
-ττξξ （2.3-5）
可见，输出过程的均值等于输入过程的均值与直流传递函数H(0)的乘积，且[])(0t E ξ与t 无关。

2、输出过程()t 0ξ的自相关函数
根据自相关函数的定义，输出过程()t 0ξ的自相关函数为
()()()[]
()()()()()()()()[]⎰
⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞
-∞∞-∞∞--+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⋅-=+=+β
αβτξαξβαββτξβααξατξξτd d t t
E h h d t h d t h E t t E t t R i i
i i 11
111010110, 根据输入过程的平稳性，有
[])()()(11βατβτξαξ-+=-+-i i I R t t E 于是
()()()()τβαβατβατ0
110),(R d d R h h t t R i
=-+==
+⎰⎰∞∞-∞
∞
- (2.3-6)
可见，()t 0ξ的自相关函数只与时间间隔τ有关，与时间起点无关。

式（2.3-5）和式（2.3-6）表明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

3、输出过程()t 0ξ的功率谱密度 对式(2.3-6)进行傅里叶变换，输出过程()t 0ξ的功率谱密度为
()()()()(){}⎰
⎰
⎰⎰∞
∞
--∞
∞-∞
∞
-∞
∞---+==τ
βαβατβατ
τωωτ
ωτd e
d d R h h d
e R P j i j 00
令βαττ-+='
，则有 ()()''0'
)()(P ττββααωωτωβωαd e R d e h d e h j i j j -∞
∞
-∞
∞
--∞
∞
-⎰⎰⎰
=
即
()()()()()ωωωωωωi i P H P H H 2
0)(P ⋅=⋅⋅==* (2.3-7)
可见，线性系统输出功率谱密度是输入功率谱密度)(ωi P 与系统功率传递函数2
)(ωH 的乘积。

这是一个很重要的公式，若想得到输出过程的自相关函数)(0τR ，比较简单的方法是先计算出功率谱密度)(0ωP ，然后求其反变换，这比直接计算)(0τR 要简便得多。

2.4 高斯过程
高斯过程也称为正态随机过程，在实践中观测到的大多数噪声都属于高斯过程，在信道的建模中经常用到高斯模型。

2.4.1高斯过程定义
若随机过程()t ξ的任意n 维（n=1,2,…）分布都服从正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。

其n 维正态概率密度函数表示如下：
()
()1212/2/21112,,,;,,,1
1exp ||2||2||n n n n n j j k k jk n n j k j k n f x x x t t t x a x a B B B σσπσσσ==⎡⎤⎛⎫-⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑K L L (2.4-1)
式中，()[]()[]B a t E t E a k k k k k ,,2
2-==ξσξ为归一化协方差矩阵的行列式
1
11
21221
112
Λ
M M
M
ΛΛ
n n n
n b b b b b b B =
jk
B
为行列式B 中元素jk b 的代数余因子；jk b 为归一化协方差函数，且 ()(){}
k
j k k j j jk a t a t E b σσξξ]][[--=
(2.4-2)
2.4.2 高斯过程主要特性
(1)高斯过程的n 维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。

因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。

(2)广义平稳的高斯过程也是严平稳的。

因为若高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，因此它的n 维分布也与时间起点无关。

(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有k j ≠，有0=jk b ，这时式(2.4-1)变为
()()()()()
n n k k k n
k k n n n t x f t x f t x f a x t t t x x x f ,,,2ex p 21
,,,;,,,22112
212121ΛΛΛ⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=∏=σσπ (2.4-3)
这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。

(4)高斯过程经过线性系统后的过程仍然是高斯过程。

2.4.3 高斯过程一维分布
高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数表示为
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=222)(exp 21
σσπa x x f (2.4-4) 式中，a 为高斯随机变量的数学期望，2
σ为方差。

f(x)曲线如图2-3所示。

图2-3 高斯概率密度函数
f(x)具有以下特性：
(1)()x f 对称于a x =这条直线，在a 处为最大，等于σ
π21。

(2)()1=⎰
∞
∞
-dx x f (2.4-5)
及
()()2
1
00
=
=⎰⎰∞
∞-dx x f dx x f （2.4-6） (3)表示分布中心，
a 称为标准偏差σ。

f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。

当1,0==σa 时，称为标准化的正态分布，即有
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=2exp 21
2x x f π (2.4-7)
当要求计算高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x 的概率()x P ≤ξ时，可由下式得到
()()()dz a z x P x F x
⎰
∞
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
≤=2
22exp 21
σσπξ (2.4-8) 这个积分无法用闭合形式计算，但可以通过查表得到数值解。

(2.4-8)常用以下几种特殊函
数来表示：
(1)误差函数和互补误差函数 误差函数定义为
()dt e x erf x
t ⎰-=
2
2
π (2.4-9)
它是自变量的递增函数，且有()()()()001erf erf erf x erf x =∞=-=-，，。

称()x erf -1为互补误差函数，记为erfc(x)，即
()()dt e x erf x erfc x
t ⎰
∞
-=
-=2
2
1π
（2.4-10）
互补误差函数是自变量的递减函数，且有
()()()()0102erfc erfc erfc x erfc x =∞=-=-，，
当1>>x 时，近似有
()2
1
x e
x
x erfc -≈
π （2.4-11）
实际应用中只要x ＞2就可满足要求。

(2)概率积分函数和Q(x)函数 概率积分函数定义为
()dt e
x x
t ⎰
∞
--
=
Φ2
221π
（2.4-12）
这是又一个在数学手册上有数值和曲线可查的特殊函数，且有()1=∞Φ。

Q(x)函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为
()()dt e
x x Q x
t ⎰∞
-
=
Φ-=2
2
21
1π
0≥x （2.4-13）
借助该函数可以计算概率()⎪⎭
⎫
⎝⎛-=>σξa x Q x P 。

比较式（2.4-10）和式（2.4-13），可得
()⎪⎭⎫
⎝⎛=221x erfc x Q （2.4-14） ()⎪⎭
⎫
⎝⎛-=Φ2211x erfc x （2.4-15）
(
)
))
221erfc x Q
⎡⎤==-Φ
⎣
⎦
（2.4-16）
现在利用以上特殊函数与式（2.4-8）进行联系，以表示正态分布函数F(x ）。

若对式（2.4-8）进行变量代换，令新积分变量z a
t dz dt σσ
-==，有，并与式（2.4-12）联系，
则有
()⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=σa x x F （2.4-17） 若对式（2.4-8）进行变量代换，
令新积分变量t dz dt ==，并利用式（2.4-6）， 则还可得到
(
)112211 2
erf x a
F x erfc x a
⎧+≥⎪⎪⎪
=⎨
⎪
⎪-≤⎪⎩ （2.4-18）
在分析通信系统的抗噪声性能时常用误差函数或互补误差函数表示F(x)。

2.4.4 高斯白噪声
1、白噪声
在通信系统中，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
()2
n f P n =
()+∞<<∞-f (2.4-19) 或 ()0n f P n = ()+∞<<f 0 (2.4-20)
这类噪声被称为白噪声，用n(t)表示。

式中0n 为一常数，单位是W/HZ 。

式(2.4-19)表示双边功率谱密度，如图2-4（a ）所示，而式(2.4-20)为单边功率谱密度。

将式(2.4-19)取傅里叶反变换，可得到白噪声的自相关函数，即
()()τδτ2
n R =
(2.4-21) 如图2-4（b ）所示，这表明，白噪声仅在0=τ才相关，而在任意两个时刻）（即0≠τ上的
随机变量都是互不相关的。

图2-4 白噪声功率谱密度与自相关函数
(a)
(b)
如果白噪声是高斯分布的，就称之为高斯白噪声。

由式(2.4-21)和高斯过程的性质可知，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

应当指出，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式，目的是为了使问题的分析大大简化。

在实际中，只要噪声的功率谱是均匀分布的，频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。

例如，在第3章中将要讨论的热噪声和散粒噪声均是近似白噪声的例子。

2、低通白噪声
如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。

假设白噪声的双边功率谱密度为2/0n ，理想低通滤波器的传输特性为
()⎩⎨⎧≤=其它
,
0,0H
K H ωωω
则可得输出的功率谱密度为
()()H i n K P H P ωωωωω≤⋅
==,2
)(0
2
02
0 (2.4-22) 其自相关函数为
()()τ
ωτ
ωω
ωπ
ττπωH H H
f j f f t j f n K df e n K d e P R H H
sin 2
2102
0202
00===
⎰
⎰
-∞
∞
- (2.4-23) 对应的曲线如图2-5所示。

式中，H H
f πω2=。

H
H
f 图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
(a)功率谱密度
（b)
自相关函数
由图2-5（a ）可见，输出噪声的功率谱密度被限制在H f f ≤内，在此范围外则为零，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。

由图2-5（b ）可见，这种带限白噪声仅在()Λ,2,12/==k f k H τ上得到的随机变量才互不相关。

也就是说，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量，这个概念很重要。

3、带通白噪声
如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则输出的噪声称为带通白噪声。

设理想带通滤波器的传输特性为
()1
220
c c B B
f f f H f ⎧-
≤≤+⎪=⎨
⎪⎩其它
(2.4-24)
式中，c f 为中心频率，B 为带通宽度。

则其输出的噪声的功率谱密度为
()()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+≤≤-==其它,022,20
20B f f B f n f P f H f P c c i (2.4-25) 利用()()τω00R P ⇔，则得输出噪声的自相关函数为
()()τπτ
πτ
πττπτ
πτπc f j B f B f f j B f B f f j f B B B
n df e n df e n df
e f P R c c c c 2cos sin 220222
02220200=+==⎰⎰
⎰+-+--
-∞
∞- (2.4-26)
其平均功率为
()B n R N 0000== （2.4-27） 理想带通白噪声的功率谱和自相关函数对应曲线如图2-6所示。

c
c 0
(a)功率谱密度
(b) 自相关函数
图2-6 理想带通白噪声的功率谱和自相关函数
通常，带通滤波器的c f B <<，因此也称窄带滤波器，相应的把带通白噪声称为窄带高斯白噪声。

因此，它的表达式和统计特性与一般窄带随机过程相同。

2.5 窄带高斯噪声
所谓窄带随机过程()t ξ，是指它的频谱密度集中在中心频率c f 附近相对窄的频带范围
f ∆内，即满足c f f <<∆条件，且c f 远离零频率。

实际中，大多数通信系统都是窄带带通
型的，通过窄带系统的信号或噪声必然是窄带随机过程。

如果用示波器观测某一次实现的波形，则它是一个频率近似为c f ，包络和相位随机缓慢变化的正弦波，如图2-7所示。

因此，窄带随机过程()t ξ可用下式表示 ()()()
[]
()0cos ≥+=t a t t t a t c ξξξϕωξ （2.5-1）
图2-7 窄带过程的频谱和波形示意图
(b)
式中，()()t t a ξξϕ和分别为()t ξ的随机包络和随机相位，也是随机过程。

上式利用三角函数和角公式，可写成
()()()(){}
()()()()()()t
t t t t t t a t t t a t t t t t a t c s c c c c c c ωξωξωϕωϕωϕωϕξξξξξξξξsin cos sin sin cos cos sin sin cos cos -=-=-= （2.5-2） 式中
()()()t t a t c ξξϕξcos = （2.5-3） ()()()t t a t s ξξϕξsin = （2.5-4）
()()t t s c ξξ及分别称为()t ξ的同相分量和正交分量，也是随机过程。

显然，它们的变化相对于载波t c ωcos 的变化要缓慢得多。

由式（2.5-1）～（2.5-4）可看出，()t ξ的统计特性可由()()a t t ξξφ，或()()c s t t ξξ，的统计特性确定。

反之，如果已知窄带过程()t ξ的统计特性，可确定()()a t t ξξφ，以及
()()c s t t ξξ，的统计特性。

如果()t ξ的概率密度函数为高斯分布，则称为窄带高斯过程或窄带高斯噪声。

2.5.1窄带高斯噪声统计特性
设窄带随机过程是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为2
ξσ。

现在分析()t a ξ，
()t ξϕ或()t c ξ，()t s ξ的统计特性。

1、()t c ξ和()t s ξ的统计特性 对式（2.5-2）求数学期望，有
()[]()()[]t t t t E t E c s c C ωξωξξsin cos -=
()[]()[]t t E t t E c s c C ωξωξsin cos -= （2.5-5）
因为()t ξ平稳且均值为零，那么对于任意的时间t 都有()[]0=t E ξ，所以由式（2.5-5）
可得
()()c s 00E t E t ξξ⎫=⎡⎤⎪⎣⎦⎬=⎡⎤⎪⎣⎦⎭
（2.5-6）
()t ξ的自相关函数
()()()[]=+=+τξξτξt t E t t R ,
()()()()()()()()
c ,cos cos ,cos sin ,sin cos ,sin sin c c cs c c sc c c s c c R t t t t R t t t t R t t t t R t t t t τωωττωωττωωττωωτ++-++-+++++
（2.5-7）
其中
()()()[]
()()()[]()()()[]
()()()[]
τξξττξξττξξττξξτ+=++=++=++=+t t E t t R t t E t t R t t E t t R t t E t t R s s s c s sc s c cs c c c ,,,,
因为()t ξ是平稳的，故有
()()ττξξR t t R =+,
这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t 无关，而仅与时间间隔τ有关。

因此，若令t=0,则式（2.5-7）仍应成立，即有
()()()τωττωττξc cs c c t t R t t R R sin ,cos ,+-+= （2.5-8） 这时，应有
()()()()
ττττcs cs c c R t t R R t t R =+=+,,
故式（2.5-8）变为
()()()τωττωττξc cs c c R R R sin cos -= （2.5-9） 再令c
t ωπ
2=
，同理可得 ()()()τωττωττξc sc c s R R R sin cos += （2.5-10）
其中有
()()()()
ττττsc sc s s R t t R R t t R =+=+,,
由以上数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带高斯过程()t ξ是平稳的，则它的()t c ξ与()t s ξ也是平稳的。

进一步分析，式（2.5-9）和（2.5-10）应同时成立，故有
()()ττs c R R = （2.5-11）
()()ττsc cs R R -= （2.5-12）
可见，同相分量()t c ξ和正交分量()t s ξ具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有
()()ττ-=sc cs R R
将上式代入（2.5-12），可得
()()ττ--=sc sc R R （2.5-13） 同理可得
()()ττ--=cs cs R R （2.5-14）
式（2.5-13）和式（2.5-14）说明，()t c ξ和()t s ξ的互相关函数()()τττ都是、cs sc R R 的奇函数，在0=τ时，有
()()000R ==cs sc R （2.5-15） 于是，由式（2.5-9）及（2.5-10）可得
()()()000R s c R R ==ξ （2.5-16）
即 2
2
2
s c σσσξ== （2.5-17） 这表明，()t c ξ，()t s ξ和()t ξ具有相同的平均功率和方差（因为均值为0）。

另外，根据()t ξ是平稳高斯型的，故()t ξ在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，则由式（2.5-2）可得
取01==t t 时， ()()11t t c ξξ=
取c
t t ωπ
22=
=时， ()()22t t s ξξ= 所以，()()21t t s c ξξ、是高斯随机变量，从而()t c ξ和()t s ξ也是高斯随机过程。

又根据式（2.5-15）可知，()t c ξ与()t s ξ在0=τ互不相关，因此它们也是统计独立的。

综上所述，可以得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程()t ξ，它的同相分量()t c ξ和正交分量()t s ξ也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。

此外，在同一时刻得到的s c ξξ,是互不相关的或统计独立的。

2、()()t t a ξξϕ和 的统计特性
以上分析可知，s c ξξ和的联合概率密度函数为 ()()()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-=
=2
222
2ex p 21,ξξ
σξξπσξξξξs c s c s c f f f （2.5-18） 设ξξϕ,a 的联合概率密度函数为()
ξξϕ,a f ，则根据概率论知识，有
()
()
()
()
ξξξξϕξξξξϕ,,,,a f a f s c s c ∂∂= （2.5-19）
根据式（2.5-3）和式（2.5-4）随机变量之间的关系 ⎩⎨⎧==ξξξ
ξϕξϕξsin cos a a s
c
可得
()
()
ξξ
ξξξξ
ξξ
ξ
ξ
ξξξϕϕϕϕϕξϕξξξϕξξa a a a a a s c s
c
s c =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂cos sin sin cos ,,
于是
()()
()()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+-=
=222222
2exp 22sin cos exp 2,,ξξξ
ξξξξξξξξξξξσπσσϕϕπσξξϕa a a a a f a a f s c （2.5-20）
注意，这里()πϕξξ20,0，
在而≥a 内取值。

再利用概率论中边际分布知识，将()
ξξξϕϕ对,a f 积分可求得包络ξa 的一维概率密度函数为
()()ξξξπ
ξ
ξξξξξϕσπσϕϕd a a d a f a f ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-==⎰
⎰
∞
∞
-2
220
2
2ex p 2, ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=
2
22
2ex p ξξξξ
σσa a ， 0≥ξa （2.5-21） 可见，ξa 服从瑞利分布。

同理，将()
ξξξϕa a f 对,积分可求得相位ξϕ的一维概率密度函数为
()()()
πϕ
π
σσπϕϕξ
ξξξξξ
ξ
ξξξ20,
212exp 21,220
20
≤≤=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎰
⎰∞
∞da a a da a f f （2.5-22）
可见，随机相位ξϕ服从均匀分布。

综上所述，得到又一个重要结论：一个均值为零，方差为2
ξσ的窄带平稳高斯过程()t ξ，
其包络()t a ξ的一维分布是瑞利分布，相位()t ξϕ的一维分布是均匀分布。

并且就一维分布而言，()()t t a ξξϕ与是统计独立的，即有下式成立
()()()ξξξξϕϕf a f a f ⋅=, （2.5-23）
2.5.2 正弦波加窄带高斯噪声 在通信系统中，传输的信号是用一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到加性噪声的影响。

为了减小噪声的影响，通常在接收机前端加一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。

因此，带通滤波器的输出是正弦波已调信号与窄带高斯噪声的混合波形，这是通信系统中常会遇到的一种情形。

所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。

设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为
()()()t n t A t r c ++=θωcos （2.5-24） 式中，()()()t t n t t n t n c s c c ωωsin cos -=为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2
n σ；正弦
信号的A ，c ω均为常数，()πθ20，
是在上均匀分布的随机变量。

于是有
()()()
()()()[]()[]()[]()()()()[]
t t t z t t z t t z t t n A t t n A t t n t t n t A t n t f t r c c s c c c s c c c s c c c ϕωωωωθωθωωθω+=-=+-+=-++=+=cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos （2.5-25）
式中：
()()t n A t z c c +=θcos （2.5-26） ()()t n A t z s s +=θsin （2.5-27）
合成信号 r(t)的包络和相位为
()()()022
≥+=
z t z t z t z s c
（2.5-28）
()()()
πϕϕ20arctan
≤≤=t z t z t c s （2.5-29）。