竞赛辅导2012(稳恒磁场)

否，与磁场高斯定理矛盾
8.电阻丝连成的二端网络如图。电流 I 从网络的 A端流入，C 端流出。周围有匀强磁场，磁感应 强度为 B（未画出），试证该网络各部位所受合 力为 F I LAC B ，其中 LAC 为C端相对A端的 位置矢量。 C
I
A 解：设电流分布
I
I1
I1 I 3 C I3 I 2 I3
Q a
dq
o
r
r
P 静止均匀带电球面的电场强度：
E
0 (r a) dq 1 dq ˆ ˆ Q r r ˆ (r a) 2 2 r 40 r 0 4r 4 r 2 0 0 (r a ) dq ˆ r Q 2 ˆ r (r a) 4r 2 4r
2 3
0
北 ω
σ
西
rO
R
l B// φ 小磁针
l
南
B旋转盘
东
B盘 dB
0
2

R
0
0 R 2 2l 2 r3 dr ( 2l ) 2 2 3/ 2 [r l ] 2 R2 l 2
0 mB sin mB sin ( 90 ) mB盘 cos 力矩平衡 // 盘
x
0 I B ( i j ) 4R 2 BAB 2 tg 0.6366 BBC
32.480
2. 据稳恒电流磁场的毕奥 -萨伐尔定律 dB ________ ，最终可以求得图中三个互相正 交的圆环电流公共中心处的磁感应强度大小为
B ________ .
ˆ 0 qv r [公式 B ] 2 4 r
Q a
dq
o
v
r
P
r
取
dq
ˆ 0 dqv r dB 4 r 2 ˆ 0 dqv r B ? 2 4 r
dq ˆ 0v r 4r 2



Q a
dq
o
v
r
P
r
0 (r a) dq ˆ r Q 2 ˆ (r a) r 4r 4r 2

0 (r a) ˆ 0 dqv r dq ˆ 0Q v r B 0 ˆ (r a) 2 2 v r 4r 4 r 4r 2
A
I1
I 2 I3
I
I
I2
I1
A
I1 I 3 C I3 I 2 I3
（ 1）
I1
C
I1
I 2 I3
I
I1
A
I I2
I
I2
I
I3
I2
I3
（ 2）
等效性：（1）=（2）+（3）
I3
I 3 （ 3） 回路（3）所受合力为零。 回路（2）两支路受力：F1 I 1LAC B, F2 I 2 LAC B
B
T
v
U
θ d
x B M
1 2 解：电场力做功 eU mv 2 在磁场区电子绕磁感线作螺旋运动
速度分量
v// v cos , v v sin
mv 2r 2m , T 半径及周期 r eB v eB 螺距 hv T
//
2 cos 2mU Bk d e
y

z
o u
P
x
E i 2 0 u B k 2
0
4. 半径为 R 无限长半圆柱导体上均匀地流过电 流 I ，求半圆柱轴线处磁感应强度。
思路：视作无限长载流导线的叠加 取厚度为dr的薄层，其圆心 角为d的窄条中流过的电流 为dI1 0 dI1 0 2 I dB1 rd dr 2 2r 2r R I 20 2 d dr R 由对称性：
B
z
R
I
无限远点 A
I
y R C
无限远点 D
o x
z
B
I
无限远点 A
R
B AB

B
I
R C
BBC
o
y
无限远点 D
解： B BAB BBC BCD
1 0 I BAB ( j ) 2 2R 1 0 I BBC ( i ) 4 2R BCD 0
R
y
dr r

dI 2 dI1
dB2
dB1
o
x
B By
0



2 2
dB1 cos
R
0
0 I 20 I 2 2 R 2 cosd dr 2 R

2
5.半径为R，电荷面密度为σ 常量的薄圆板，在北 京地区一个竖直平面上以恒定角速度ω 绕着它 的 中心轴旋转，中心轴自西向东放置，如图所示。 中心轴上与圆板中心O相距处 l 有一原水平指北 的小磁针，因受到圆板电流磁场的作用而朝东偏 转角φ 后到达新的平衡位置，试求该处地磁场的 水平分量 B // 北
I
O
B
y
x
I
R
解:圆心的磁场为两段载流直线和流有电流的金属半球面磁 场强度的矢量和。
I
O
B
y
y
d
x
I
RdI dBFra bibliotekO
dB
x
dI
两段载流直线对圆心磁场无贡献，而流有电流的半金属球面 可视为方位不同的半圆电流的组合 dI I I I I dI dl Rd d dB 0 0 d R R 4R 4R 由对称性：
ω σ
O
西
l B// φ 小磁针
B旋转盘
东
R
南
北 ω
σ
西
rO
R
l B// φ 小磁针
l
南
B旋转盘
东
dr
r
O
dI
解：取细环
dI dq 2rdr rdr 2 2
0 r dr dI r dB 2 2 3/ 2 2 [r l ] 2 [r 2 l 2 ]3 / 2
Bx dBx 0

0 0 y 0
I I B B dB dB sin sin d 4R 2R
y
7.一半径为a的导体球，以恒定的速度v运动，球 面上均匀分布着电荷Q，设v<<c（真空光速）， 求导体球内、外的磁场分布。
Q a o
v
思路：运动电荷产生磁场+叠加原理
网络（1）所受合力： F F1 F2 I 1 LAC B I 2 LAC B ( I 1 I 2 )( LAC B) I ( LAC B)
9.被电势差U加速的电子从电子枪口T发射出来，其 初速度指向x方向。为使电子束能击中目标M点， （直线TM与x轴间夹角为θ ），在电子枪外空间加 一均匀磁场B，其方向与TM平行，如图，已知从T 到M的距离为d，电子质量为m，带电量为e，为使 电子恰能击中目标M点，应使磁感应强度B为多少？ T U θ d M x
B// B盘 ctg
0 R 2 2l 2
2 ( R2 l 2
2l )ctg
6.如图，电流强度为I的直流电通过一根半无限长直导线到 半径为R的金属半球面下方端点，而后均匀地流过半球面到 达半球面上方端点，再经过另一根半无限长直导线流向无 限远。设这两根半无限长直导线恰好在半球面的直径延长 线上，试证球心O处磁感应强度的大小为 B 0 I 方向过 2R 球心沿y轴正向。
稳恒磁场
两类问题 求磁场（各种形状载流导线，运动的带电粒子）
方法？
求磁力及运动 （载流导线，载流线圈，运动的带电粒子） 方法？
1.真空中电路ABCD如图, AB为与x轴平行的直 线,BC为半径为R的圆弧(1/4圆周), CD为沿y轴的 直线, A,D为无限远点 ,电流强度为I, 求原点O 处的 磁感应强度 B ，并在图中清楚明确地标出 B 。
击中条件
d kh kv//T (k 1,2)
洛仑兹力不做功，只改变运动方向
10.证明没有电流的真空中，B线互相平行的磁 场，必然是均匀磁场。
a
B1
b
S
n3
S
B2
d
B2
c
n1
B1
n2
11.试判断能否产生一个磁感应强度 B f (r )r 形式的磁场（ r 是场点的位置矢量，f ( r ) 为 r 的函数），并说明理由。
0 I 0 I 0 I B i j k 2R 2R 2R
B 3(
y I I
z
)
o I
R
x
0 I
2R
) 3(
2
0 I
2R
3. 无限大均匀带电平面的电荷密度为 ，建立如 图坐标，原点在该平面上，令平面上电荷一致地 沿Y轴负向以匀速 u 运动，则X>0上点P的电场 强度E=————，磁感应强度B=——————。