【配套K12】高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.3组合1课堂导学案新人教A版选修2_3

1.2.3 组合（1）
课堂导学
三点剖析
一、有限制条件的组合问题——“在”与“不在”问题 【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少不同的取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，共有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，共有多少取法？ 解析：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是
!
36
7838⨯⨯=
C =56 答：从口袋内取出3个球，共有56种取法.
（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是!
26
72
7⨯=
C =21. 答：取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法.
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是
!
35
6737⨯⨯=
C =35 答：取出不含黑球的3个球，共有35种取法. 温馨提示
(1)从n 个不同的元素中，每次取出m 个不同元素的组合，其中一个必须在内.这类问题的思考方法是先将这个特定元素置于其内，则只需由余下的n-1个元素中每次取出m-1个元素，
再汇总原置于内的特定元素，所以符合条件的种数为1
1--m n C .
(2)从n 个不同的元素中，每次取出m 个不同元素的组合，其中某一元素不能在内.这类问题有两种思考方法：
①将这个特定元素选出，而从其余的n-1个元素中每次取m 个不同元素的组合，这些组合显
然必符合条件，为m n C 1-种；
②以间接法解之，即从不带附加条件的总数中，减去不合本题条件的数，为m n C -11--m n C 种.
二、有限制条件的组合问题——“至多”“至少”问题
【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )
A.140种
B.84种
C.70种
D.35种
思路分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2甲1乙或1甲2乙，所以可用分类计数原理和分步计数原理解决，另外也可以采用间接法.
解法一 从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有1
5
24C C ∙种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有1
425C C ∙种取法，所以取出的3台
电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有15
24C C ∙+2
51
4C C ∙ =70(种).
解法二 从所有的9台电视机中取3台有3
9C 种取法，其中全为甲型的有34C 种取法，全为乙型的有35C 种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有39C -34C -35C =70(种).
答案：C 温馨提示
本题解法一用了直接法，解法二用的是间接法；本题最易出现如下取法错误
1
7
1514C C C ∙∙=140（种）.这样计算就出现了重复. 三、求组合题的原则——“正难则反”
【例3】 空间中有8个点，有且只有4个点共面，共可确定多少个平面？
解析：利用间接法：不考虑限制条件，从8个点中任取3个点共有3
8C 种取法，由于其中4个点共面，从这4个点中任取3个的组合数为34C ，故一共确定的平面数为： 38C -3
4
C +1=53. （这里加1是因为多减了一个平面）.
温馨提示
有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手时，往往从问题的反面考虑更易解决. 各个击破
【类题演练1】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数. (1)A ，B 必须当选； (2)A ，B 必不当选； (3)A ，B 不全当选；
(4)至少有两名女同学当选；
(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任.
解析：（1）只要从其余的10人中再选3人即可，有3
10C =120（种）. （2）5个都选自另外10人，即有510C =252（种）.
（3）法一：分类如下：
A ，
B 中有一人当选：有410
12C C ∙种. A ，B 都不入选：有5
10C 种.
所以共有41012C C ∙+5
10C =672（种）. 法二：5
12C -3
10C =672（种）
(4)间接法：4
71
55
75
12C C C C ∙-- =596（种） （5）法一：分三步：
第一步：选一男一女分别担任体育委员、文娱委员的方法有1
517C C ∙种； 第二步：选出两男一女，补足5人的方法有1426C C ∙种； 第三步：为这三人分配职务，有35A 种；
由分步计数原理，共有安排方法1517C C ∙·14
26C C ∙·35A =12 600（种） 法二：分两步：
第一步：选出3名男同学，2名女同学，有2537C C ∙种方法； 第二步：分配职务有13C ·12C ·33A 种.
根据分步计数原理，共有安排方法
37
C ·2
5C ·13C ·12C ·33A =12 600(种) 【变式提升1】某学习小组8名同学，从男生中选出2人，从女生中选出1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？
解析：设有男同学x 人，则女同学有8-x 人，第一步，先从x 名男同学中任选2名，有2
x C 种选法；第二步从8-x 名女同学中任选1名，有1
8x C -种选法，两次共选出3名同学，这三名同学的组合为2x C ·18x C -；第三步，将这3名同学全排列，有33A 种排法.因为每个排列都对应一种参赛方式，所以，共有2x C ·18x C -33A =180种选法，其中x 的取值范围是2≤x≤7，
x∈N *
.解方程，得x=5或6，8-x=3或2，即男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人. 【类题演练2】从全班48人中选出5人参加东湖水污染情况调查小分队，假若班长和副班长至少有一人在内，有多少种选法？
解析：这是一个有限制条件的组合问题，要抓住题中的关键字眼“至少”进行正确的分类.
班长、副班长中只有一人在内，有4
1612C C 种；班长、副班长两人都在内，有346C 种，所以根据分类计数原理和分步计数原理，符合条件的选法共有(446
12C C ∙+346C )(种). 【变式提升2】从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有一位女同志，分别到四个工厂去调查，不同的分配方法有( )
A.100种
B.400种
C.480种
D.2 400种 解析：可分两类：2男2女、3男一女
第一类有25C ·2
4C 种取法；第二类有35C ·14C 种取法，故共有（2
5C ·24C +35C ·1
4C ）种，
即100种取法.
每一种取法都有1
4A 种分配方法.共有100×1
4A =2 400(种).选D.
【类题演练3】 由正方体的8个顶点和中心，可组成多少个四面体？
解析：在正方体的顶点和中心共9个点中，其中四点共面的情况有6种，5点共面情况有4
56C 种，所以组成四面体的个数为45
4966C C --=90(种). 【变式提升3】 从三棱柱6个顶点所连的直线中，能组成多少对异面直线？
解析：众所周知，四面体的六条棱可以组成3对异面直线.由三棱柱的6个顶点可组成46C -3=12个四面体.故三棱柱6个顶点所连的直线一共能组成3(46C -3)=36(对)异面直线.。