湖北省部分高中高三数学元月调考试题 文

数学（文科）试卷
考试时间：2015年1月6日下午 15:00—17:00 试卷满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合{1,2,3,4}M =，集合{3,4,6}N = ，全集{1,2,3,4,5,6}U =，则集合()U M C N ⋂=
（ ）
A ．{1}
B ．{1,2}
C ．{3,4}
D ．{1,2,4,5} 2．复数51i
z i
+=
+
的虚部为 （ ） A. 2 B ．2
- C ．2i D ．
2i - 3．要得到函数cos(2)3
y
x π
=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向右平移3
π
个单位长度 C ．向左平移
6
π
个单位长度 D ．向左平移
3
π
个单位长度
4．若y x ,满足约束条件020232x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤-⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．2
B ． 4
C ． 2-
D ．4-
5．已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ）
A ．6+
B ．6+
C ．12+
D ．8+ 6.命题“0
0,2
0x x R ∃∈≤”的否定为（ ）
A ．0
0,2
0x x R ∀∈≤ B ．00,20x x R ∀∈≥
C ．00,20x
x R ∀∈< D ．00,20x
x R ∀∈>
7．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值在区间11
[,]42
内，那么输入实数x 的取值范围是
（ ）
A ．(,2]-∞
B ． [2,1]--
C ． [1,2]-
D ． [2,)+∞
8．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点()2,0，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为
（ ）
A ．22
14x y += B ．221164
y x += C ．2214x y +=或221164y x += D ． 22
14x y +=或2214
y x += 9．若数列{a n }的前n 项和为,n S 对任意正整数n 都有21n n S a =-，则6S =（ ） A ．32 B ．31 C ．64 D ．63 10．设函数()1
ln ()2
f x x x a a R =+
-∈，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得(())f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,122e ⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．1,ln 212e
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中相应的横线上） 11．函数()
21
log 43y x =
-的定义域为 .
12．已知1x >，则函数4
221
y x x =+
-的最小值为 . 13．已知圆2
2
1:1C x y +=与圆2
2
2:(1)(1)1C x y -++=交于,A B 两点，则直线AB 的方程为 . 14．已知3(,2),cos ,5αππα∈=
则tan()4
π
α+等于 .
15．若双曲线C :221mx y -=（m 为常数）的一条渐近线与直线:31l y x =--垂直，则双曲线C 的焦距为 .
16．已知R m ∈，向量a =（m ，1），b =（－12，4），c =（2，－4）且a ∥b ，则向量c 在向量a 方向上的投影为 .
17．设A 为曲线M 上任意一点，B 为曲线N 上任意一点，若AB 的最小值存在且为d ，则称d 为曲线M ，N 之间的距离.
（1）若曲线M :x y e = (e 为自然对数的底数），曲线N ：y x =，则曲线M ，N 之间的距离
为 ；
（2）若曲线M ：21y x +=，曲线N ：210x y ++=，则曲线M ，N 之间的距离
为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共65分.答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（12分）已知函数(
)2cos 2cos f x x x x =+，△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
，a =（1）求()f x 的最大值及取得最大值时相应x 值的集合； （2）若()2f A =，6b c +=，求△ABC 的面积.
19．（13分）已知数列{}n a 为等差数列，11a =，公差0d >，数列{}n b 为等比数列，且
2162183,,a b a b a b ===.
（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足对任意正整数n 均有
212121
2
n n n c c c a b b b +++=L ，m 为正整数，求所有满
足不等式23121010m c c c <+++<L 的m 的值.
20．（13分）如图，已知在三棱柱111ABC A B C -中,4AC =,3BC =,15BC =,点D 在线段
AB 上，3,2AD BD ==,四边形11ACC A 为正方形.
（1）求证：1BC AC ⊥；
（2）请判断1AC 是否平行于平面1B CD （不用证明）； （3）求三棱锥11C CDB -的体积.
21.（14分）已知点F 是抛物线
22y px =的焦点，其中p 是正常数，,AB CD 都是抛物线
经过点F 的弦，且AB CD ⊥，AB 的斜率为k ，且0k >，,C A 两点在x 轴上方. (1) 求11AB CD +；
（2）①当2
43
AF BF p ⋅=
时，求k ； ②设△AFC 与△BFD 的面积之和为S ，求当k 变化时S 的最小值.
22．（13
a 为实常数. (1) 求()f x 的极值；
(2) 若对任意12,[1,3]x x ∈，且12x x <，恒有1212
11
()()f x f x x x ->-成立，求a 的取值范围.
2015届高三元月调考文科参考答案
一．选择题：BBACA DBCDC 二．填空题：11.()3,11,4⎛⎫
⋃+∞
⎪⎝⎭
；12.5；13.10x y --=； 14.17-
；
15.；
16.
17.2 18、（1
）()cos21f x x x =++
12cos2)12(2)126
x x sin x π
=++=++ …………………(3分) max ()3,22,6
2
f x x k k π
π
π∴=+
=+
∈Z 此时
{}max ()3,x ,6
f x x x k k π
π∴==+
∈Z 的取值集合为…………………(6分)
（2）1()2,sin(2)62
f A A π=+=即
由
1326
6
6
A π
π
π<+
<
5266A ππ∴+=,即 3A π
=…………………(8分)
在bc c b a ABC -+=∆2
2
2
中，由余弦定理 …………………(10分) 又32,6==+a c b bc bc c b 3363)(122-=-+=∴ ,8bc =
所以1
sin 2
ABC S bc A ∆== …………………(12分)
19、（1）由已知1862,,a a a 成等比数列，
226218111,(5)()(17)a a a a d a d a d ∴=+=++21880d a d -=,……………(2分)
由}{10,1,n d a a >=为等差数列11,n a d a n ∴=== …………(4分) 又1232,6,18b b b ===，{}n b 为等比数列123n n b -∴=⋅ …………(7分) （2）212121
2
n n c c c n b b b +++=Q
L 111
12
c n b ∴==当时, 11c = …………………(8分)
当21
111
2111
11221(1)2n n n n n n c c c n b b b n c c n b b ----⎧+++=⎪⎪≥⎨⎪++=-⎪⎩L L 时,相减得1(21)3n n c n -=-⋅
综合得1(21)3n n c n -=-⋅ …………………(10分)
1112(21)301,10n n c n c c c -=-⋅>=+=，，123123455,244c c c c c c c ++=+++= 12345123456973,3646c c c c c c c c c c c ++++=+++++=
4,5m ∴= ………………(13分)
20、（1）ABC ∆中，4,3,5AC BC AB ===
∴90ACB ∠=，即BC AC ⊥ …………………（2分） 1BCC ∆中，113,4,5BC CC BC ===
∴1BC CC ⊥而1CC AC C ⋂=
∴BC ⊥平面111,AAC C BC AC ⊥ ………………（4分）
（2）1AC 与平面1B CD 不平行 …………（7分）
（3）由已知易知AC ⊥平面1BCC ，:5:2AB DB =…………（9分）
∴1111112
5C B DC D B C C A B C C V V V ---==211163445325
=⨯⨯⨯⨯⨯= ……（13分）
21、（1）设1122(,),(,),:()
2
p
A x y
B x y AB y k x =-
由22()2
y px
p
y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得041)2(222
22=++-p k x k p x k 22
121222,4
k p x x p x x k ++=⋅= ………………(2分) 由抛物线定义得2122
1
2k AB AF BF x x p p k
+=+=++= 同理用
k
1
-
p
CD AB 211=
+ …………………(5分) （2）①2
121212p p (x )(x )x x ()2224p p AF BF x x ⋅=++=+++
22222
22
2122p k p k p k k
++=+⋅=⋅ …………………(8分) 当243AF BF p ⋅=时222
2143k p p k +⋅=，
又0k >，解得k =……………(9分)
②由①同理知2
2
(1)CF DF k p ⋅=+,22
2
1k AF BF p k +⋅=⋅ 由变形得2222
21(1),,k p k p BF CF k AF DF
++⋅== …………………(10分)
又AB CD ⊥11
22
S AF CF BF DF ∴=
⋅+⋅ 22
22DF 11(k 1)2|AF|AF k p DF k ⎡⎤+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
…………………(12分) 22
22p ≥= 2211
11,(1)(1)1AF DF k k k k DF AF k
=⇔==+=+⇔=“”，
即当1k =时S 有最小值22p …………………(14分) 22、（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞…………………(1分)
2
1
'()ax f x x -=
…………………(2分) 0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1
(,)a
+∞上单调递增
当1
x a =时()f x 有极小值ln a a a -，无极大值 …………(4分)
0a ≤时，()f x 在(0,)+∞递减，()f x 无极值 …………(6分)
（2）由12121212
11
|()()|,,[1,3],f x f x x x x x x x -<
-∀∈<恒成立，得 12121221
11
()()11()()f x f x x x f x f x x x ⎧
-<-⎪⎪⎨
⎪->-⎪⎩对1212,[1,3],x x x x ∀∈<恒成立………(8分)
即12121212
11()()11()()f x f x x x f x f x x x ⎧
-<-⎪⎪⎨
⎪+>+⎪⎩
对1212,[1,3],x x x x ∀∈<恒成立……(10分)
∴有1
()()ln g x f x a x x =-
= 在[1，3]递增 112
()()ln h x f x a x x x x
=+=+ 在[1，3]递减
从而有22022
'()0a a ax h x x x x >⎧
⎪-⎨=-=≤⎪⎩
对x ∈[1，3]恒成立 ∴ 2
03
a <≤
…………………(13分)。