2025届广西柳州市融安县高级中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届广西柳州市融安县高级中学高三第三次模拟考试数学试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）
A ．110
B ．15
C ．140
D ．940
2．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则
函数()
22f x x +的单调递增区间为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(1,)-+∞ 3．已知变量的几组取值如下表：
若y 与x 线性相关，且ˆ0.8y
x a =+，则实数a =（ ） A ．74 B ．114 C ．94 D ．134
4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“
1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．若关于x 的不等式1127
k
x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
6．设双曲线22
221x y a b
-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C
分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A ．(1,0)
(0,1)- B ．(,1)
(1,)-∞-+∞ C ．(2,0)
(0,2)- D ．(,2)(2,)-∞-+∞
7．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 8．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
9．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足
11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．3y x =±
C ．2y x =±
D ．y x =± 10．已知复数12i z i -=
-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．3
1,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．31,55⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．31,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
11．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b α
β=，则“//a α”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）
A ．219
B ．995
C ．4895
D ．519
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______，体积是_____.
14．设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式
1212
()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 15．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____．
16．已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且已知向量a ，b 的夹角为60︒，()()0a c b c --=，则||c 的最小值是__．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知42c =，25sin
2C =. （1）若1a =，求sin A ；
（2）求ABC 的面积S 的最大值.
18．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；
（ii ）若311e p =-
，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
19．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.
（1）证明：DF //平面BCE.
（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ.
20．（12分）已知()π02α∈，，()
ππ2β∈，，1cos 3
β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求sin α的值；
（2）求tan +2βα⎛
⎫ ⎪⎝⎭
的值. 21．（12分）如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；
（2）求点D 到平面PAB 的距离.
22．（10分）某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.
（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；
（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；
（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在[)0,2和[]8,10的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在[)0,2中的个数ζ的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.
【详解】
五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，
所有可能的分组共有2510C =种，
甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关， 故甲和乙恰好在同一组的概率是
110. 故选：A.
【点睛】
本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.
2、D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有()()2x x f x g x a a -+=-+， ①
()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②
①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，
所以2,()22-==-x x a f x ，()f x 在R 上单调递增，
所以函数()
22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞.
故选:D.
【点睛】
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
3、B
【解析】 求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ．
【详解】
据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =
+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114
a =． 故选：B ．
【点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．
4、D
【解析】
x y <，不能得到
1x y <， 1x y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y
=>， 故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“
1x y <”的既不充分也不必要条件， 故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
5、A
【解析】 根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x
=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 【详解】
因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x
≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k
≥．
令()ln x f x x =，则()2
1ln x f x x -'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以
当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==
，故ln 33ln 33k
≥，解得9k ≥． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
6、A
【解析】
由题意, 根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)D
x （，则由 BD AB ⊥得：，
因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以
，
即01b a
<
<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)b k a =±∈-⋃（，故选A ． 7、B 【解析】
列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值.
【详解】
由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；
第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环；
第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环；
第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环；
输出8v =.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时
2311136326
O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．
9、B
【解析】
先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得1
60AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程.
【详解】
如图所示：
由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，
所以12F A AF ⊥，
因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，
故而由几何性质可得1
60AFO ∠=，即260MOF ∠=，
故渐近线方程为y =，
故选B.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题.
10、A
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案.
【详解】 解：1(1)(2)312(2)(2)55
i i i z i i i i --+===---+， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 故选：A .
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 11、C
【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案.
【详解】
若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ；
若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
12、B
【解析】
利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.
【详解】
20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，
则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95
P +=
=. 故选:B.
【点睛】 本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
，.
【解析】
试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积
， 体积，故填：，. 考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.
14、2a ≤
【解析】
试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤
考点：函数单调性
15、1﹣
【解析】
利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】
解：复数()()()1
11z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣
解得1a =﹣．
故答案为：1﹣．
【点睛】
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.
16197- 【解析】
求||c 的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小距离，由此即可得到本题答案.
【详解】
如图所示，设,,OA a OB b OC c ===， 由题，得,||2,||3,,,23cos6033AOB OA OB CA a c CB b c a b π
︒∠====-=-⋅=⨯⨯=，
又()()0a c b c -⋅-=，所以CA CB ⊥，则点C 在以AB 为直径的圆上，
取AB 的中点为M ，则1()2
OM OA OB =+， 设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，则||c 的最小值是||OE ， 因为22211119||()242394222OM OA OB OA OA OB OB =
+=+⋅+=+⨯+=， 又2212cos 604922372
AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以||c 的最小值是1197||22OE OM ME OM AB =-=-=. 197- 【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2sin 10
A =
；（2）4 【解析】
（1）根据已知用二倍角余弦求出cos C ，进而求出sin C ，利用正弦定理，即可求解；
（2）由c 边C 角，利用余弦定理结合基本不等式，求出ab 的最大值，即可求出结论.
【详解】
（1）∵23cos 12sin 25
C C =-=-，∴4sin 5C =， 由正弦定理sin sin a c A C =
得sin sin 10
a C A c ==. （2）由（1）知3cos 5C =-，2222266162cos 2555c
b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225
S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC 的面积S 有最大值4.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.
18、（1）110（2）（i ）()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4. 【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11k p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,
则()232355
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
110
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +, ()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,
若()()12E E ξξ=,则()11k k k k p =+--,则()11k p k
-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥） （ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k <-, 311p =
-,1k k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3f x x x =-
（0x >）, 则()113
f x x '=-,令()0f x '=,则13x =, ∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减,
又ln 4 1.3863≈,4 1.33333
≈, 4ln 43
∴>, 又ln5 1.6094≈,
5 1.66673≈, 5ln 53
∴<, ∴k 的最大值为4
【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性 19、（1）证明见解析（2）725
-
【解析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE //BF ，然后根据勾股定理计算可得BF ＝DE ，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF 的一个法向量为n ，平面CDF 的法向量为m ，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.
【详解】
（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ，
因为AD ＝4，AE ＝5，DE ＝3，同理BF ＝3，
又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，
所以DE //BF ，又BF ＝DE ，
所以平行四边形BEDF ，故DF //BE ，
因为BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE
所以DF //平面BCE ；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （4，0，0），
C （0，4，0），F （4，3，﹣3），
()()0,4,0,4,3,3DC DF ==-，
设平面CDF 的法向量为m x y z =（，，），
由40
4330m DC y m DF x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，令x ＝3，得()3,0,4m =，
易知平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以35m n =
cos ＜，＞， 故27cos 22cos 125θθ=-=-
. 【点睛】
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题. 20、（1）13（2）522
【解析】
（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；
（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan
2β,再由正切的和角公式求解即可.
【详解】 解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭
,
所以
sin β== 又0,2πα⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
,
所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+
71193933
⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）由（1）得,1sin 3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭,
所以cos 3α===,
所以sin tan cos 4
ααα==, 因为2
2222222cos sin 1tan 2
22
cos cos sin 22cos sin 1tan 222ββββ
β
ββββ--=-==
++且1cos 3β=-, 即22
1tan 1231tan 2β
β-=-+,解得2tan 22β=, 因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 02β>,
所以tan 2
β
=
所以2tan tan 25224tan 1221tan tan 122βαβαβα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅- 【点睛】
本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.
21、（1）证明见解析（2）
32
【解析】
（1）由题意可证得PE AB ⊥，AB BE ⊥，所以AB ⊥平面PBE ，则平面PAB ⊥平面PBE 可证；
（2）解法一：利用等体积法由P ADB D APB V V --=可求出点D 到平面PAB 的距离；解法二：由条件知点D 到平面PAB 的距离等于点E 到平面PAB 的距离，过点E 作PB 的垂线，垂足F ，证明EF ⊥平面PAB ，计算出EF 即可.
【详解】
解法一：（1）依题意知，因为CE BE ⊥，所以PE BE ⊥.
又平面PBE ⊥平面ABCD ，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ，
所以PE ⊥平面ABCD .
又AB 平面ABCD ， 所以PE AB ⊥.
由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥.
因为//AB CD ，所以AB BE ⊥.
又PE BE E ⋂=，所以AB ⊥平面PBE .
又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .
（2）在ABD 中，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以3ABD S ∆=由（1）知，PE ⊥平面ABD ，且1PE =，
所以三棱锥P ABD -的体积113V =
=.
在Rt PBE ∆中，1PE =，BE =，得2PB =，
由（1）知，AB ⊥平面PBE ，所以AB PB ⊥，
所以2ABP S ∆=，
设点D 到平面PAB 的距离d ，
则三棱锥E PAB -的体积123V d '=
⨯⨯=，得d =. 解法二：（1）同解法一；
（2）因为//DE AB ，AB
平面PAB ，DE ⊄平面PAB ， 所以//DE 平面PAB .
所以点E 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离.
过点E 作PB 的垂线，垂足F ，即EF PB ⊥.
由（1）知，平面PAB ⊥平面PBE ，平面PAB ⋂平面PBE PB =，EF ⊂平面PBE ，
所以EF ⊥平面PAB ，即EF 为点D 到平面PAB 的距离.
由（1）知，PE BE ⊥，
在Rt PBE ∆中，1PE =，BE =，得2PB =.
又PE BE PB EF ⨯=⨯，所以EF =
.
所以点D 到平面PAB 【点睛】 本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.
22、（1）5500元；（2）32家；（3）分布列见解析；
23
【解析】
（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；
（2）求出[4000,10000]的频率即可；
（3）[)0,2中的个数ζ的所有可能取值为0，1，2，求出ζ可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.
【详解】
（1）频率分布直方图销售额的平均值为
2(0.02510.07530.250.1570.059) 5.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，
所以销售额的平均值为5500元；
（2）不低于4000元的有40(0.20.150.05)232⨯++⨯=家
（3）销售额在[)0,2的店铺有2家，
销售额在[]8,10的店铺有4家.选取两家，
设销售额在[)0,2的有ζ家.则ζ的所有可能取值为0，1，2.
0224262(0)5C C p C ζ===，1124268(1)15
C C p C ζ===， 2024261(2)15
C C p C ζ=== 所以ζ的分布列为
数学期望1215153
E ζ=⨯
+⨯= 【点睛】 本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.。