高中数学必修5解三角形的实际应用举例(提高)知识点巩固练习

目录
解三角形的应用举例 (1)
【学习目标】 (1)
【要点梳理】 (1)
【典型例题】 (3)
【巩固练习】 (8)
解三角形的应用举例
编稿：武小煊审稿：柏兴增
【学习目标】
1. 能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2. 提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3. 掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【要点梳理】
要点一：解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识. 实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决. 其解题的一般步骤是：
(1) 准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4) 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正确.
要点二：解三角形应用题的基本思路
要点三：实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示.坡比是坡角的正切值.
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°.
如图，点B的方位角是0
α=.
135
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度.
如图为南偏西0
60）；
60方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转0
如图为北偏东0
30）：
30方向（指从正北开始向正东方向旋转0
东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四：解三角形应用中的常见题型
用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1. 测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2. 测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3. 测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高.
【典型例题】
类型一：距离问题
例1. 如图，A B 、两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C D 、，测得40CD m =，并且在C D 、两点分别测得060ACB ∠=，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，求河的对岸的两点A B 、间的距离.
【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的两点之间的距离测量问题. 题目条件告诉了边CD 的长以及以C D 、为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理、正弦定理很容易算出AC AD BC 、、或BD ；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离.
【解析】
在ADC ∆中， 030BCD ∠=，060ACB ∠=，045ADC ∠=
000603090ACD ACB BCD ∠=∠+∠=+=，
在Rt ADC ∆中，0
40
2cos sin 45CD AD ADC （m ）
=
==∠ 在BDC ∆中，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，
0006045105BDC ADB ADC ∠=∠+∠=+=，045DBC ∠=
由正弦定理得：0
sin 40sin30202m sin sin 45CD BCD BD DBC ）
∠===∠ 在ABD ∆中，由余弦定理得：)2202cos60206m AB AD BD AD BD =+-⨯=
故A B 、间的距离为206m.
【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
举一反三：
【变式1】如图，设A B 、两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是42 m ， 45BAC =瘡，75ACB =︒¯.求A B 、两点的距离.
【答案】180457560ABC ∠=︒-︒-︒=︒
根据正弦定理，得sin sin AB AC
ACB ABC
=
∠∠， ∴sin 42sin 42sin 7521276(m)sin sin sin 60AC ACB ACB AB ABC ABC ∠∠︒
=
===+∠∠︒
答: A B 、两点间的距离为21276m +.
【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D E 、间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，如图，测得400m 600m 60CA CB ACB ，，==∠=︒，又测得A B 、两点到隧道口的距离80m AD =，40m BE =(A D E B 、、、在一条直线上)，计算隧道DE 的长.
【答案】在△ABC 中，400m 600m 60CA CB ACB ，，==∠= ，由余弦定理得
2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒
∴221
40060024006002007529.2(m)2
AB +-⨯⨯⨯≈ ∴409.2(m)DE AB AD BE =--≈. 答：隧道长约为409.2 m. 类型二：测量高度问题
【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】
例2 某人在塔的正东沿着南偏西60︒的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30︒，求塔高.
【思路点拨】找出“当看到塔的最大仰角时，某人的位置”是解决本题的关键. 先画出空间图形，再
将空间问题转化为平面问题，利用正、余弦定理求解..
【解析】由右图所示，过B 做BE CD ⊥于点E ，由题意知在E 点测得塔的最大仰角030，在
在△0040,30,135BCD CD BCD DBC 中，=∠=∠=. 由正弦定理，得
sin sin CD BD
DBC BCD =
∠∠ ∴0
40sin 30202sin135BD ==
在Rt BED ∆中，00001801353015BDE ∠=--=， ∴062
sin1520210(31)4
BE BD -==⨯
=-， 在Rt ABE ∆中，030,AEB ∠=∴010
tan30(33)3
AB BE ==-（米）. 故所求塔高为
10
(33)3
-米. 【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.
举一反三：
【变式】在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高.
【答案】所求角15θ=，建筑物高度为15m . 类型三：方位角问题
例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在西偏北030的方向上，
行驶82km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北075的方向上，仰角为015，求此山的高度CD .
【思路点拨】欲求出CD ，只需在BCD ∆中求出BD 或BC ，而在BCD ∆中先求BC 边比较适合；或设CD x =，列方程解答.
【解析】
方法一：在ABC ∆中， 030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，82AB =，
根据正弦定理：sin BC A
= sin AB
C ，有0sin 82sin 308sin AB CAB BC ACB ∠===，
∴ 00tan tan158tan151683(km)CD CB DBC CB =∠===-. 方法二：设CD=x ，则0
(23)tan tan15CD CD
CB x DBC =
==+∠，
根据正弦定理：sin BC A
= sin AB
C ，有0sin 82sin 308sin AB CAB BC ACB ∠===，
∴(23)8x +=，解得1683()x km =-，即1683(km)CD =-. 答：此山的高度为83km .
【总结升华】正确地画出其空间示意图、将空间问题转化为平面问题是解题的关键. 举一反三：
【变式1】两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于 km a ，灯塔A 在观察站C 的北偏西30︒，灯塔B 在观察站C 南偏西60︒，则A 、B 之间的距离为 .
【答案】2km a
如图，AC BC a ==，0000180306090ACB ∠=--=，2km AB a =.
【变式2】如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的
北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )
A.akm
B.3akm
C.2akm
D.2akm 【答案】B 类型四：航海问题
【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】
例4. 如图所示，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 为(31-)km 的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 为2 km 的C 处的缉私船奉命以103km/h 的速度追截走私船.此时走私船正以10 km/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.
【思路点拨】仔细审题，画出示意图，即可求出CD 的方位角及由C 到D 所需航行的时间. 这里必须弄清
楚三个概念：
(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等.
【解析】设缉私船追上走私船需h t ，则103CD t =，10BD t =.
由余弦定理，得
222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠
82322(31)cos(4575)=--⨯-+ 6(km)=，
由正弦定理，得sin1202
sin AC ABC BC ⋅∠=
=
， ∴45ABC ∠=，而120CBD ∠=， ∴sin 1sin 2103BD CBD BCD CD t
⋅∠∠=
==
∴30BCD ∠=，30BDC ∠=. ∴6()BD BC km ==，即106t =， ∴ 6
(h).t =
答：缉私船向东偏北30方向，只需
6
h 便能追上走私船. 【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形. 举一反三：
【变式1】如图A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D 点需要多长时间？
【答案】 由题意知()
533
AB ＝＋海里，
906030904545DBA DAB ＝－＝，＝－＝∠∠弿弿弿，
∴180(4530)105ADB ＝－＋＝∠弿弿， 在△DAB 中，由正弦定理得
sin sin DB AB
DAB ADB
=
∠∠ ∴sin sin AB DAB
DB ADB
⋅∠=∠＝0533sin 45+＝0533sin 45+＝103.
又∠30(9060)60DBC DBA ABC ＝＋＝＋－＝∠∠弿弿，203BC ＝， 在△BCD 中，由余弦定理得
2222cos 30012002103CD BD BC BD BC DBC ＝＋－＝－⋅⋅∠+⨯×203×1
2
＝900，
∴30CD ＝ (海里)，则需要的时间30
130
t ＝=(小时).
答：救援船到达D 点需要1小时．
【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】
【变式2】如图所示，海中小岛A 的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B 处测得小岛A 在
船的南偏东30 ，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东045，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC (或AB )，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在ABC ∆中，30BC =，030ABC ∠=，00018045135ACB ∠=-=， ∴015A ∠=， 由正弦定理知：sin sin BC AC A B =，∴30sin15sin30AC
=
︒︒
， ∴30sin3060cos1515(62)sin15AC ︒
=
=︒=+︒
.
于是A 到BC 所在直线的距离为sin 4515(31)40.98AC ⋅︒=+≈(海里). 它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.
【巩固练习】
一、选择题
1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ACB ∠＝45°，CAB ∠＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )
A ．502 m
B ．503 m
C ．252 m D.
252
m 2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )
A ．(15＋33) m
B ．(30＋153) m
C ．(30＋303) m
D ．(15＋303) m
3．某海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°角，则B ，C 两岛之间的距离是( )
A ．103海里 B.
106
海里 C ．52海里 D.56海里
4．如右图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )
A ．a b α，，
B ．a αβ，，
C ．a b γ，，
D．b
αβ
，，
5. 有一长为10 m的斜坡，倾斜角为0
75，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为0
30，则坡底要延长（）
A.5m
B.10m
C.102m
D.103m
6. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是()
A．()
-
562km
+B．()
562km
C．()
-
1062km
1062km
+D．()
二、填空题
7. 一艘船以20km/h的速度向正北方向航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向上，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75的方向上，这时，船与灯塔的距离BC=.
8. 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为0
30，测得塔基B的俯角为0
45，则塔AB的高度为 .
9. 江崖边有一炮台江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，炮台顶部到江面高30m，而且两条船与炮台底部连线成30，则两条船相距.
三、解答题
10．如图所示，已知A，B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东45α
︒+的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和α角的正弦值．
13. 如图，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，BAD
∠=110°，又在B点测得ABD
∠=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD(精确到1m).
14. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东0
105的方向航行60n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿
北偏东030的方向航行
602n mile 后达到海岛C . 如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?
15. 如图所示，已知半圆的直径2AB =，点C 在AB 的延长线上，1BC =，点P 为半圆上的一个动点，以PC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.
16. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从A 点向南走到45点，再测得建筑物顶的仰角是β，设30，B 间的距离是a ．
证明：建筑物的高是
()()
sin sin αβαβ+-．
【答案与解析】
1．答案： A
解析：在△ABC 中，AC ＝50，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105° ∴∠ABC ＝30°，由正弦定理：
sin sin AB AC
BCA ABC
=
∠∠ ∴AB ＝0
sin 50sin 45sin sin30AC BCA ABC ∠⨯=
∠＝502m ．故选A. 2. 答案： C
解析： 由正弦定理可得
000
60sin(4530)sin 30PB
=
-， 00
1
60302sin15sin15PB ⨯
=
=，h ＝PBsin 45°＝(30＋303) m. 故选C. 3. 答案： D
解析： 如图所示，在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°， 由正弦定理sin sin BC AB A C
=
，得00sin 10sin 6056sin sin 45AB A BC C ⋅=== (海里)．
4. 答案： C
解析：由A与B不可到达，故不易测量α，β，故选C.
5. 答案： C
解析：在△ABB’中由正弦定理，得
0 '
2
10
sin452
102
1
sin30
2
AB
BB
⨯
===
6. 答案： D
解析：如图，由题意得∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，
∴
00
sin75sin30
AB BC
=，
∴BC＝
10
sin75
＝()
1062km
-.
7. 答案：202()
km；
如图所示：
20
AC=km，0
30
CAB
∠=，000
754530
ABC
∠=-=，
在ABC
∆中，根据正弦定理
sin20sin45
202()
sin sin30
AC BAC
BC
ABC
⋅∠
===
∠
km.
8. 答案：
203
20()
+m；
如图20
BD=，0
45
MCB
∠=，0
30
MCA
∠=，则
20
BM BD
==，0
203
tan30
AM CM
==，
所以
203
20)
AB AM MB
=+=m.
9.答案：30m；
如图所示：
30AB m =，030ACB ∠=，045ADB ∠=，030CAD ∠=，
则在ACD ∆中，303AC =，30AD =，
根据余弦定理，222cos 30CD AD AC AD AC CAD =+-⨯⨯∠=(m).
10. 解析：设航行x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC=(100-50x)海里，BD=30x 海里(02x ≤≤)， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
2222(10050)(30)2(10050)30cos 6049001300010000
CD x x x x x x =-+-⋅-⋅⋅︒
=-+
∴当130006516
1249004949x ===⨯(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小
∴航行16
1
49
小时，两船之间距离最近． 11．解析： 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1千米．
在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理sin ∠ACB ＝0sin 30AC
·AB ＝3，
∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵
12
BC
×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
12. 解析：如图所示，A 、C 分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x 小时后在B 处追上． 则AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120° 由222(14)12(10)240cos120x x x =+-⋅⋅︒得x=2. 故AB=28，BC=20 20sin12053
sin 28α︒=
=
即所需时间2小时，sin α为
53
.
13. 解析：在△ABD 中，∠ADB=180°-110°-40°=30°， 由正弦定理得sin 800sin 40
1028.5()sin sin 30
AB B AD m ADB ⨯=
=≈∠.
在Rt △ACD 中，CD=ADtan25°≈480(m). 答：山高约为480m.
14、解析：在ABC ∆中， 000018010530105ABC ∠=-+=， 根据余弦定理，222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 2260(602)260602cos105︒=+-⨯⨯⨯
602330(26)=+=+
根据正弦定理，
sin sin BC AC
CAB ABC
=
∠∠ ， 有0
602sin105sin 2
sin 30(26)
BC ABC CAB AC ∠∠===+，
∵BC AC < ∴0105CAB ABC ∠<∠= 所以045CAB ∠= ，0010560CAB -∠=
答:此船应该沿北偏东060的方向航行，需要航行30(26)+n mile 15. 解析：设∠POB=θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得： PC 2=OP 2+OC 2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ
∴ｙ=Ｓ△OPC +Ｓ△PCD =1
12sin 2
θ⨯⨯3
(5-4cos θ) =2sin(θ-3
π53∴当θ-3π=2π即θ=56
π
时，ｙmax 5316. 证明：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h h
AC BC αβ
=
=
，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，
所以2
2
2tan tan b h a αβ⎛⎫
⎛⎫+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 2
2
2
222tan tan tan tan a h αβ
αβ
=
-
α
A
B
D
C
β
a
h
2222222
sin sin sin cos cos sin a αβ
αβαβ
=- ()()
222sin sin sin sin a αβ
αβαβ=
--． 所以，h =
．。