一元二次方程基础讲义(一)

专题三 ：一元二次方程讲义（一）
第一部分：填空题
1、一元二次方程12)3)(31(2
+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

2、有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

3、在关于x 的方程(m －5)x m －
7+(m+3)x －3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

4、已知关于x 的一元二次方程x 2+kx+k=0的一个根是–2，那么k=_ __。

5、若－2是关于x 的一元二次方程（k 2－1）x 2+2kx+4=0的一个根，则k=________．
6、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0,有共同的根－1, 则a= , b= .
7、若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为－1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= 8、方程x x =2
3的解是 。

方程x 2－2x －3=0的根是________.
9、已知y=x 2－2x －3，当x= 时，y 的值是－3。

10、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 11、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可） 12、若方程032
=+-m x x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根分别为 。

13、已知关于x 的方程x 2－（a ＋2）x ＋a －2b ＝0的判别式等于0，且x ＝1
2
是方程的根，则a ＋b 的值为 ______________。

14、已知关于x 的一元二次方程01)12()2(2
2
=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是
15、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。

16、已知二次三项式x 2+2mx+4－m 2
是一个完全平方式，则m= 。

17、代数式22418x x -+-有最________值为________。

18、若方程0892
=+-x kx 的一个根为1，则k = ，另一个根为 。

19、已知3x 2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 . 20、已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m•的值为_______.
21、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；
1x +1x = ；x 21+x 22= ；｜x 1－x 2｜= 。

22、已知x 1、x 2是关于x 的方程(a －1)x 2+x+a 2－1=0的两个实数根,且x 1+x 2=
1
3
,则x 1·x 2=__ __. 23、已知α，β是方程0522
=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________。

24、已知一元二次方程两根之和为4，两根之积为3，则此方程为____ ______。

25、以和2为根的一元二次方程是____ _____.
26、长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为1. 5 立方分米, 则铁片的长等于_____,宽等于______.
27、已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x 2－5x+3=0的根，则这个三角形的周长为_______．
28、两数和为－7，积为12，则这两个数是 。

29、等腰三角形的底和腰是方程x 2－6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是
30、某厂2003年的钢产量是a 吨,计划以后每一年比上一年的增长率为x,那么2005年的钢产量是_________________吨.
31、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。

32、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是 。

第二部分：选择题 1、方程()()1231=+-x x 化为02
=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ）
（A ）1，–2，–15 （B ）1，–2，–15（C ）1，2，–15 （D ）–1，2，–15 2、已知x ＝2是方程3
2x 2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值是 ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3、一元二次方程2x(x －3)＝5(x －3)的根为 ( )
A ．x ＝52
B ．x ＝3
C ．x 1＝3，x 2＝52
D ．x ＝－5
2
4、使分式256
1
x x x --+ 的值等于零的x 是 ( )
A.6
B.－1或6
C.－1
D.－6 5、方程x 2－4│x│+3=0的解是 ( )
A.x=±1或x=±3
B.x=1且x=3
C.x=－1或x=－3
D.无实数根 6、当代数式x 2+3x+5的值为7时，代数式3x 2+9x －2的值是（ ）． （A ）4 （B ）0 （C ）－2 （D ）－4
7、用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为 ( )
（A ） 22()24p p x += （B ） 224()24
p p q
x -+=
（C ） 224()24
p p q
x +-=
（D ） 2
24()24
p q p x --=
8、将方程2x 2－4x －3=0配方后所得的方程正确的是（ ）
A 、(2x －1)2=0
B 、(2x －1)2－4=0
C 、2(x －1)2－1=0
D 、2(x －1)2－5=0 9、下列一元二次方程中,有实数根是( ).
A.x 2－x+1=0
B.x 2－2x+3=0；
C.x 2+x －1=0
D.x 2+4=0 10、方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ）
（A ） 有两个不相等的实数根 （B ）没有实数根 （C ） 有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根 11、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）
A 、有两个不相等的同号实数根
B 、有两个不相等的异号实数
C 、有两个相等的实数根
D 、没有实数根
12、已知关于x 的方程221(3)04
x m x m --+= 有两个不相等的实根，则m 的最大整数是（ ） A ．2 B ．－1 C ．0 D ．l
13、关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ） （A ）0,0==n m （B ）0,0≠=n m （C ）0,0=≠n m （D ）0,0≠≠n m
14、若方程07532
=--x x 的两根为x 1，x 2，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（ ）
（A ）7,52121-=⋅=+x x x x （B ）3
7,3
5
2121=⋅-=+x x x x （C ）37,352121=⋅=+x x x x （D ）3
7
,352121-=⋅=+x x x x
15、已知21x x 、是方程122
+=x x 的两个根，则2
111x x +的值为（ ） （A ）2
1
-
（B ）2 （C ）21 （D ）－2
16、以2，－3为根的一元二次方程是 ( )
A.x 2+x+6=0
B.x 2+x －6=0
C.x 2－x+6=0
D.x 2－x －6=0
17、如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=3，x 2=1，•那么这个一元二次方程是（ ）．
（A ）x 2+3x+4=0 （B ）x 2－4x+3=0 （C ）x 2+4x －3=0 （D ）x 2+3x －4=0 18、如果一元二次方程()012
=+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么（ ）
（A ）m =0 （B ）m =－1 （C ）m =1 （D ）以上结论都不对
19、已知x 1，x 2是方程2560x x --=的两个根，则代数式2212x x +的值是 （ ）
A 、10
B 、13
C 、26
D 、37
A 、2
B —9
C 、—9 或2
D 9 或2
21、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A ．x(x ＋1)＝1035 B ．x(x －1)＝1035×2 C ．x(x －1)＝1035 D ．2x(x ＋1)＝1035 22、已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A 、 ±5
B 、 5
C 、 4
D 、 不能确定 23、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( ) A 、±15 B 、15 C 、－15 D 、11
24、某商品降价20％后欲恢复原价，则提价的百分数为（ ）
A 、18％
B 、20％
C 、25％、
D 、 30％
25、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （ ）
A 、10%
B 、20%
C 、120%
D 、180%
26、某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x ，则列出方程正确的是( )
A.2
580(1+x )=1185 B.2
1185(1+x )=580 C.2
580(1-x )=1185 D.2
1185(1-x )=580
27、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( )
A 、200(1+x)2=1000
B 、200+200×2x=1000
C 、200+200×3x=1000
D 、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
28、在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，•那么x 满足的方程是
（ ）．
（A ）x 2+130x －1 400=0 （B ）x 2+65x －350=0 （C ）x 2－130x －1 400=0 （D ）x 2－65x －350=0
第三部分：解答题
1、解方程
(1)3x 2－7x ＝O ； (2) 2x(x ＋3)＝6(x ＋3) （因式分解法）
（3）9)12(2
=-x （直接开平方法） （4）8y 2－2=4y （配方法）
(5)2x2－7x＋7＝0；（6）（x－2）（x－5）=－2
2、关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x+2m－1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.
3、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。

4、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是－9和－1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.
5、已知a≠b,且满足 2a －3a+1=0, 2
b －3b+1=0求
1
1
1122++
+b a 的值
6、已知关于x 的方程x 2－2(m+1)x+m 2=0. (1)当m 取什么值时,原方程没有实数根. (2)对m 选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.
7、已知．关于x 的方程m 2
x ―(2m―1)x+m －2=0(m>0) ①求证：这个方程有两个不相等的实数根②如果这个方程的两个实数根分别是1x 和2x ,且（1x ―3）（2x ―3）=5m,求m 的值。

8、已知：关于x 的方程2
x ―（m －2）x―4
2
m =0, ①求证，无论m 取什么值，方程总有两个不等实根，
②若这个方程的两实根是1x 和2x ，且满足1x =2x +2，求m 的值及1x 和2x 。

9、已知关于x 的一元二次方程022
122
2
=-+
-k kx x ①求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实根 ②设21,x x 是方程两根，且5222112
1=+-x x kx x ,求k 的值
10、关于x 的方程42
m 2
x +（8m+1）x+4=0有两个不相等的实数根：①若所给方程的两实数根的倒数和不小于－2，求m 的取值范围 ②m 为何值时，方程的两根之比为1：4。

11、已知关于x 的方程x 2－2(m+1)x+m 2－2m －3=0……①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x 的方程x 2－(k －m)x －k －m 2+5m －2=0……②的两个实数根x 1,x 2之差的绝对值为1?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
12、某厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?
13、新亚百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？要想盈利最多，每件童装应降价多少元？
14、马鞍山采石矶旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给采石矶旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
15、a,b,c,是△ABC 的三边长，且关于x 的方程b(2
x －1)－2ax+c(2
x +1)=0有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。

16、阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－l ＝y ，则 (x 2－1)2＝y 2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0．① 解得y 1＝1，y 2＝4
当y ＝1时，x 2－1＝1．∴x 2＝2．∴x ＝±2； 当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5，∴x ＝±5。

∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5 解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了降次的目的。

．
(2)解方程：x 4－x 2
－6＝0．
17.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。

① 鸡场的面积能达到150m 2
吗？
② 鸡场的面积能达到180m 2
吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元 如果人数超过25人，
每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。