2020-2021学年阳江市江城区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年阳江市江城区九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是()
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③3x2−4=0④(x−2)(x+5)=x2−1．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个
几何体的小正方体的个数是()
A. 2个或3个
B. 3个或4个
C. 4个或5个
D. 5个或6个
3.在下列函数中，属于反比例函数的是()
A. y=x−1
B. y=8
x2C. y=−2
x
D. y
x
=2
4.方程组的最优解法是()
A. 由①得y=3x−2，再代入②
B. 由②得3x=11−2y，再代入①
C. 由②−①，消去x
D. 由①×2+②，消去y
5.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的
面积比为()
A. 1：2
B. 1：4
C. 1：8
D. 1：16
6.有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数
字是奇数的概率为()
A. 1
2B. 1
4
C. 1
3
D. 1
6
7.关于x的一元二次方程x2−√2x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角a等于()
A. 0°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
8.下列图案中，含有旋转变换的有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
9.如图，在数轴上，点A，B对应的实数分别为1，3，BC⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC为半
径画弧交数轴正半轴于点P，则P点对应的实数为()
A. √5+1
B. √5
C. √5+3
D. 4−√5
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，它与x
轴x=2正半轴相交于点A，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，
且OA=OC，则下列结论：
①abc>0；②9a+3b−c>0；③c>−1；④关于x的方程ax2+
bx+c=0(a≠0)有一个根为−1
，其中正确的结论有()
a
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.用配方法将一元二次方程x2+4x+1=0化为(x+m)2=n(n≥0)的形式是______．
12.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角
器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向
以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第26秒时
点E在量角器上对应的读数是______度．
13.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑
步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是______．
(x>0)的图象上有四个点A，B，它们的横坐标
14.如图，在反比例函数y=4
x
依次为a，2a，3a，4a，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部
分的面积之和为______．
15.如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点(DE≠BC)，当______或______
或______时，△ADE与△ABC相似．
16.如图，PA和PB均是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠ACB的度
数为______．
17.如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水
柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地
处离池中心3m，水管的长为____．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
18.如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC⏜的中点，
作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
(1)求证：EF为半圆O的切线．
(2)若AO=BF=2，求阴影区域的面积．
四、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
19.解方程
(1)x2−5x−7=0
(2)2(x−3)=x(x−3)
20.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例
如，点(1,1)是函数y=1
2x+1
2
的图象的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+2，y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”
的坐标；如果不存在，说明理由；
(x>0)，y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足(2)设函数y=3
x
为C.当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2.当W1，W2两部
分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
21.我校组织九年级同学参加户外拓展活动，规定每人只能从A、B、C、D四个项目中选一个项目参
加。

对参加各项活动的人数做了统计，得到下列两幅不完整的统计图。

(1)求扇形统计图中圆心角a的值，并补全条形统计图；
(2)本次活动中，王老师和包老师都可以从这四个项目中任选一项参加，求王老师和包老师选中
同一个项目的概率(要求画树状图或列表)．
22. 小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔
开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两颗银杏树B、C之间的距离(结果保留根号)．
23. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时
间x(时)成正比例；1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)请求出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”不
能驾车上路，参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天最早几点驾车去上班？请说明理由．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E．
(1)用尺规作CF⊥BD于点F(要求保留作图痕迹，不要求写作法与证明)；
(2)求证：AE=CF．
25. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,−3)，点P(m,n)是抛物线y=−1
6x2−3
2
上的一个动点．过
动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA．
(1)请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关系：PA______PB(直接填写“>”“<”或“=”，不
需解题过程)；
(2)点C的坐标为(2,−5)，连接PC，AC，请利用(1)的结论解决下列问题：
①△APC的周长是否存在最小值？若存在，求点P的坐标及△APC的周长的最小值；如果不存在，
简单说明理由；
②当△APC的面积等于3
2
时，求PA的长．
参考答案及解析
1.答案：B
解析：解：①3x2+7=0是一元二次方程，
②ax2+bx+c=0，a=0时是一元一次方程，
③3x2−4=0是一元二次方程，
④(x−2)(x+5)=x2−1是一元一次方程，
故选：B．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.答案：C
解析：本题考查了由几何体的视图获得几何体的方法．在判断过
程中要寻求解答的好思路，不要被几何体的各种可能情况所困绕．
根据题意，主视图以及俯视图都是由3个小正方形组成，利用空间
想象力可得出该几何体由4或5个小正方形组成．
解：根据本题的题意，由主视图可设计该几何体如图：
想得到题意中的俯视图，只需在图(2)中的A位置添加一个或叠放1个或两个小正方形，
故组成这个几何体的小正方形的个数为4个或5个．
故选C．
3.答案：C
解析：解：A、y=x−1中x的指数是1，它属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数表示y与x2成反比例关系，它不属于一次函数，故本选项错误；
C、该函数表示y与x成反比例关系，属于反比例函数，故本选项正确；
D、该函数表示y与x成正比例关系，属于正比例函数，故本选项错误；
故选：C．
根据反比例函数的定义进行解答．
本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广．反比例函数解析式的一般形
式y=k
x
(k≠0)，也可转化为y=kx−1(k≠0)的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
4.答案：C
解析：选项中的四种方法都能求得方程组的解.对于C选项，可直接消去未知数x，所以选C．
5.答案：D
解析：解：∵△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，
∴S△ABC
S△DEF =(1
4
)2=1
16
．
故选D．
先根据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
6.答案：A
解析：解：∵在1～6这6个整数中奇数有1、3、5共三个数，
∴当投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为奇数的概率是3
6=1
2
；
故选：A．
投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有1，3，5三个奇数，则有3种可能，根据概率公式即可得出答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种
结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
．
7.答案：D
解析：解：∵关于x的一元二次方程x2−√2x+cosα=0有两个相等的实数根，
∴△=(−√2)2−4cosα=2−4cosα=0，
解得：cosα=1
2
．
∵α为锐角，
∴α=60°．
故选：D．
根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于cosα的一元一次方程，解之即可得出cosα的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角a的度数．
本题考查了根的判别式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8.答案：B
解析：解：根据旋转的含义可知：选项中给出的4个图都可以通过旋转得到，
其中第3个也可以利用平移得到；
故选：B．
根据利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素(①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度)设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的
图案，进而判断得出即可．
本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点得出是解题关键．
9.答案：A
解析：解：∵点A，B对应的实数分别为1，3，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC=√AB2+BC2=√22+12=√5，
则AP=√5，
∴P点对应的实数为√5+1，
故选：A．
根据题意求出AB，根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴的关系解答即可．
本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10.答案：D
解析：解：由图象开口向下，可知a<0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，
>0，所以b>0，
又对称轴方程为x=2，所以−b
2a
∴abc>0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y>0，
∴9a+3b+c>0，
∵c<0，即−c>0
∴9a+3b>0，
∴9a+3b−c>0，故②正确；由图象可知OA<1，
∵OA=OC，
∴OC<1，即−c<1，
∴c>−1，故③正确；
假设方程的一个根为x=−1
a ，把x=−1
a
代入方程可得1
a
−b
a
+c=0，
整理可得ac−b+1=0，
两边同时乘c可得ac2−bc+c=0，
即方程有一个根为x=−c，
由②可知−c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=−c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个：①②③④4个．
故选：D．
由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；
由图象可知当x=3时，y>0，可判断②；由OA=OC，且OA<1，可判断③；把−1
a
代入方程整理可得ac2−bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．
11.答案：(x+2)2=3
解析：解：x2+4x=−1
x2+4x+4=−1+4
(x+2)2=3
故答案为：(x+2)2=3
根据一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12.答案：156
解析：解：连接OE，
∵∠ACB=90°，
∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵∠ACE=3×26=78°，
∴∠AOE=2∠ACE=156°．
∴点E在量角器上对应的读数是：156°．
故答案为156．
首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．
本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13.答案：0.25
解析：解：画树状图得：
∴一共有24种情况，恰好由甲将接力棒交给
乙的有6种情况；
=
∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是6
24
0.25．
故答案为：0.25．
列举出所有情况，让恰好由甲将接力棒交给乙的情况数除以总情况数即为所求的概率．
本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．还要注意题目是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.答案：2
解析：解：如图，∵反比例函数的解析式为y=4
，
x
∴矩形AEOF的面积为4．
×矩形AEOF的面积=2，
由题意，图中阴影部分的面积之和=1
2
故答案为2．
由题意，图中阴影部分的面积之和=1
2
×矩形AEOF的面积，根据比例系数k的几何意义即可解决问题；本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.答案：∠ADE=∠C∠AED=∠B AD
AC =AE
AB
解析：解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB时，△ADE与△ABC相似．
要使△ADE与△ABC相似，已知有一个公共角，则可添加一个角或该角的两边对应成比例．
此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
16.答案：70°
解析：解：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°−∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB=1
2
∠AOB=70°，
故答案为：70°．
由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，构造等腰三角形解决问题．17.答案：2.25m
解析：解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a(x−1)2+3(0≤x≤3)，
代入(3,0)求得：a=−3
．
4
将a值代入得到抛物线的解析式为：
(x−1)2+3(0≤x≤3)，
y=−3
4
=2.25．
令x=0，则y=9
4
则水管长为2.25m．
故答案为：2.25m．
设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3(0≤x≤3)，将(3,0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
18.答案：(1)证明：如图1，连接OD，
∵D为BC⏜的中点，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
(2)解：如图2，连接OC，CD，
∵AO=OB=OD=2，BF=2，∴OF=4，
∵∠ODF=90°，
∴∠DFO=30°，
∴∠DOF=60°，
∴∠COD=∠DOF=60°，
又∵OC=DO，
∴△COD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠CAO=60°，
∵AF=AO+OB+BF=6，
∴AE=6⋅sin30°=6×1
2
=3，∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=30°，
∴DE=AE⋅tan30°=√3，
∵∠DCO=∠AOC=60°，
∴CD//AB，
故S△ACD=S△COD，
∴S
阴影=S△AED−S
扇形COD
=1
2
×3×√3−60×π×4
360
=3√3
2
−2π
3
=9√3−4π
6
．
解析：(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；
(2)求出AE ，DE 的长，证明CD//AB ，得出S △ACD =S △COD ，再利用S 阴影=S △AED −S 扇形COD ，求出答案．
此题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质直角三角形的性质以及扇形面积的求法等知识，得出S △ACD =S △COD 是解题关键．
19.答案：解：(1)x 2−5x −7=0，
b 2−4a
c =(−5)2−4×1×(−7)=53>0，
x =5±√532
， ∴x 1=5+√532，x 2=5−√532;
(2)2(x −3)=x(x −3)，
2(x −3)−x(x −3)=0，
(x −3)(2−x)=0，
x −3=0或2−x =0，
∴x 1=3，x 2=2．
解析：(1)先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可;
(2)先移项得到2(x −3)−x(x −3)=0，然后利用因式分解法求解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法和公式法，主要考查学生的解方程的能力；解一元二次方程−因式分解法的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程；解一元二次方程−公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，当b 2−4ac ≥0时，代入求根公式来求解．
20.答案：解：(1)在y =x +2中，令x =x +2，得0=2不成立，
∴函数y =x +2的图象上不存在“等值点”；
在y =x 2−x 中，令x 2−x =x ，
解得：x 1=0，x 2=2，
∴函数y =x 2−x 的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；
(2)在函数y =3x (x >0)中，令x =3x ，
解得：x =√3，
∴A(√3,√3)，
在函数y =−x +b 中，令x =−x +b ，
解得：x=1
2
b，
∴B(1
2b,1
2
b)，
∵BC⊥x轴，
∴C(1
2
b,0)，
∴BC=1
2
|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴1
2×1
2
|b|×|√3−1
2
b|=3，
当b<0时，b2−2√3b−24=0，
解得b=−2√3，
当0≤b<2√3时，b2−2√3b+24=0，
∵Δ=(−2√3)2−4×1×24=−84<0，
∴方程b2−2√3b+24=0没有实数根，
当b≥2√3时，b2−2√3b−24=0，
解得：b=4√3，
综上所述，b的值为−2√3或4√3；
(3)令x=x2−2，
解得：x1=−1，x2=2，
∴函数y=x2−2的图象上有两个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，
①当m<−1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，W1：y=x2−2(x≥m)，
W2：y=(x−2m)2−2(x<m)，
令x=(x−2m)2−2，
整理得：x2−(4m+1)x+4m2−2=0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ<0，
∴(4m+1)2−4(4m2−2)<0，
∴m<−9
8
，
②当m=−1时，有3个“等值点”(−2,−2)、(−1,−1)、(2,2)，
③当−1<m<2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m=2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2,2)，
⑤当m>2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<−9
8
或−1<m<2．
解析：(1)根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
(2)先根据“等值点”的定义求出函数y=3
x
(x>0)的图象上有两个“等值点”A(√3,√3)，同理求出
B(1
2b,1
2
b)，根据△ABC的面积为3可得1
2
×1
2
|b|×|√3−1
2
b|=3，求解即可；
(3)先求出函数y=x2−2的图象上有两个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．
本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．21.答案：解：(1)观察统计图知参加B项目的有240人，占总人数的40%，
故调查的总人数有240÷40%=600人，
喜欢D的有600−60−240−120=180人，
故扇形的圆心角α=360°×=108°，
根据参加D的人数补全条形图；
(2)画树状图得，
∵共有16可能的结果，王老师和包老师选中同一个项目的有4情况，
∴王老师和包老师选中同一个项目的概率为：=．
解析：本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识，解题的关键是仔细的观察两种统计图，并结合两种统计图得到进一步解题的有关信息．
(1)根据参加B项目的人数和所占的百分比，求得调查的总人数，用总人数减去其他三个项目的人数即是参加D项目的人数，然后用360°×参加D的人数与总人数之比，即是圆心角的度数；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与王老师和包老师选中同一个项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．
22.答案：解：(1)由题意得：BE//AD，
∵BE//AD且∠EBD=60°，
∴∠BDG=∠EBD=60°，
∵∠BDG=∠C+∠CAD且∠CAD=30°，
∴∠C=∠BDG−∠CAD=30°；
(2)过点B作BG⊥AD于G．
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
在Rt△AGB中，AB=20米，∠BAG=45°，
AG=BG=20×sin45°=10√2(米)，
在Rt△BGD中，∠BDG=60°，
∴BD=BG
sin60∘=20√6
3
(米)，DG=BG
tan60∘
=10√6
3
(米)，
∵∠C=∠CAD=30°，
∴CD=AD=AG+DG=(10√2+10√6
3
)(米)，
∴BC=BD+CD=(10√2+10√6)米，
答：两颗银杏树B、C之间的距离为(10√2+10√6)米．
解析：(1)根据平行线的性质得到∠BDG=∠EBD=60°，于是得到∠C=∠BDG−∠CAD=30°；(2)过点B作BG⊥AD于G.根据垂直的定义得到∠AGB=∠BGD=90°，在Rt△AGB中，根据三角函数
的定义得到AG=BG=20×sin45°=10√2米，解直角三角形得到BD=BG
sin60∘=20√6
3
(米)，DG=
BG tan60∘=10√6
3
(米)，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决此题的关键是构建含特殊角的直角三角形．23.答案：解：(1)由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，
则150=1.5k，
解得：k=100，
故y=100x，
当1.5≤x时，设函数关系式为：y=a
x
，
则a=150×1.5=225，
解得：a=225，
故y=225
x
(x≥1.5)，
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y={100x,(0≤x≤1.5) 225
x
,(x>1.5)；
(2)在y=225
x
中令y=20得x=11.25，
21+11.25−24=8.25(小时)，
所以第二天最早8点(15分)能驾车去上班．
解析：(1)直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
(2)根据题意得出y=20时x的值进而得出答案．
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题，属于中考常考题型．
24.答案：解：(1)如图，①以C为圆心，大于AE长为半径画弧，
分别交BD于点M，N两点，
②再分别以M，N为圆心，以大于1
2
MN为半径画弧，交于点G，
③连接CG并延长，交BD于点F，
即CF为所求；
(2)∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AOE和△COF中，
{∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF OA=OC
，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF．
解析：(1)以C为圆心，大于AE长为半径画弧，分别交BD于点M，N两点，再分别以M，N为圆心，
以大于1
2
MN为半径画弧，交于点G，连接CG并延长，交BD于点F，即可得CF⊥BD于点F；
(2)由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得∠AEO=∠CFO=90°，又由在平行四边形ABCD中，OA= OC，即可利用AAS，判定△AOE≌△COF，继而证得结论．
本题主要考查较简单的尺规作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是关键．
25.答案：(1)=；
(2)①存在，
如图，作CD⊥x轴，
∵A(0,−3)，C(2,−5)，
∴AC=2√2，CD=5，
∴△APC的周长=AC+PC+PA=2√2+PC+PA
∵△APC的周长最小，
∴PC+PA最小，
由(1)有，点P到x轴的距离等于点P到点A的距离，∴点P在CD上，
∴PC+PA=CD=5，
∴△APC的周长最小值为2√2+5，
∵点P在CD上，
∴m=2，
∴n=−1
6m2−3
2
=−13
6
，
∴P(2,−13
6
)，
②如图，
过点C作CE⊥y轴，
∴CE=2，
∵A(0,−3)，E(0,−5)，
∴AE=2，
∴∠CAE=45°将AC平移向上平移，交y轴于F，
过点F作FD⊥AC于D，
∴∠DAF=45°，
在Rt△ADF中，sin∠DAF=DF
AF =CE
AC
=
2√2
=√2
2
，
∴AF=√2DF，
∵AC=2√2，△APC的面积等于3
2
，
∴点P到直线AC的距离ℎ=3√2
4
，
∴AF =√2ℎ=32，
∵A(0,−3)，C(2,−5)，
∴直线AC 解析式为y =−x −3，
∴过点P 平行于AC 的直线l 解析式为y =−x −3−32①或y =−x −3+32②
∵抛物线解析式为y =−16x 2−32③，
联立①③，解得 {x =3+3√3y =−(152−3√3)或 {x =3−3√3y =152+3√3{x =3−3√3y =−(152
+3√3)， 由(1)结论，得，PA =−y =152
−3√3或152+3√3， 联立②③，解方程组得y =−32或y =−152，
∴PA =32或152
； 即：PA 的长为152−3√3或152+3√3或32或152．
解析：解：(1)∵点P(m,n)，PB ⊥x 轴，垂足为B ，
∴PB =|n|=−n ，
∵点P(m,n)是抛物线y =−16x 2−32上的一个动点，
∴n =−16m 2−32，
∴m 2=−6n −9，
∵A(0,−3)，P(m,n)
∴PA =√m 2+(n +3)2=√−6n −9+n 2+6n +9=√n 2=|n|=−n ，
∴PA =PB ，
故答案为：=
(2)①见答案，②见答案；
(1)利用两点间的距离公式证明即可；
(2)①先确定出点P 在过点C 垂直于x 轴和抛物线的交点，利用(1)的结论求出即可
②先用三角形的面积求出过P 的直线解析式，从而求出点P 坐标，利用(1)的结论求出即可
此题是二次函数综合题，主要考查了两点间的距离公式，图象的交点坐标的确定方法，面积的计算，解本题的关键是会用(1)的结论解决问题．。