选修2-3离散型随机变量的均值与方差基础学案

第08讲 离散型随机变量的均值与方差
在次独立重复试验中事件A 恰好发生次的概率是
，（）．
于是得到离散型随机变量的概率分布如下：
知识要
点一
n k ()()k k n k
n n n P k P k C p q -===ξ0,1,2,...,k n =ξ
，称离散
类型一、离散型随机变量的期望 典例分析
例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望Eξ＝8．9，则y 的值为________．
0,1,2,3,,,
n
例2．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0．8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和数学期望；
（2）求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．
例3．若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。

举一反三
1．某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E （ξ）=1．5，则a －b 为（ ）．
A ．－0．1
B ．0
C ．0．1
D ．0．2
2．设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），
，则 ；
3．一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
ξ()P k ak b ξ==+1,2,3,4k =3E ξ=a b +=
4．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
5．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0．9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
类型二：离散型随机变量的方差
例1．设X是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求E（X）和D（X）．
例2．设某运动员投篮投中的概率为p=0．6．
（1）求一次投篮时，投中次数X的数学期望和方差；
（2）求重复5次投篮时，投中次数Y的数学期望和方差．
举一反三
1．设随机变量X的概率分布为
求D(X）。

2．已知随机变量ξ的分布列如下表：
（1）求E（ξ），D（ξ），η；（2）设η=2ξ+3，求E（η），D（η）．
3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0．7，求他罚球三次得分的期望和方差。

类型三：离散型随机变量的期望和方差的应用
例1．甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X1和X2，它们的概率分布分别为
（1）求a，b的值；
（2）计算X1和X2的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况．
举一反三
1．某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一
次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1
9
，
1
10
，
1
11
，且各车是否发生事故
相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；（2）获赔金额X的分布列与期望．
知识要
点二
2常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算
()(2
22n x E p x +-ξ++
如果对于任何实数随机变量满足：，
的期望与方差分别为：．正态密度曲线
4．正态曲线的性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ,()a b a b <X ,()()b
a
P a X b x dx μσϕ<≤=⎰
2(,)N μσ2(,)N μσEX x x x μ=
典例分析
例1．如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
举一反三
1．如图是三个正态分布X～N（0，0．25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________。

初出茅庐
建议用时：10分钟
1．下面说法中正确的是()
A．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
2．已知ξ的分布列为
则Dξ等于（ ）
A ．0．7
B ．0．61
C ．－0．3
D ．0
3．随机变量ξ服从二项分布B （100，0．2），那么D （4ξ+3）的值为（ ）． A ．64 B ．256 C ．259 D ．320
4．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（
）．
A ．150．2克
B ．149．8克
C ．149．4克
D ．147．8克
优学学霸
建议用时：15分钟
1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差为（ ）． A ． B ． C ． D ．
2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2．5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1．6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是
A ．706元
B ．690元
C ．754元
D ．720元
2
5
651825625
18125
3．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考查，X 、Y 的分布列分别为
A ．甲比乙质量好
B ．乙比甲质量好
C ．甲与乙质量相同
D ．无法判定
4．已知随机变量服从二项分布即，则 ；
5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．
1．【2013·课标Ⅰ，19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1
2，且各件产品是
否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．
ξ1~(6,)3
B ξE =ξD =ξ
建议用时：30分钟
1．某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0．9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，设损耗子弹数为X，则E（X）=________，D（X）=________．（精确到0．01）2．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．
3．一袋中装有6只球，编号为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取3只，求三只球中的最大号码ξ的数学期望．
4．某批产品的合格率为98％，检验员从中有放回地随机抽取100件进行检验．（1）抽出的100件产品中平均有多少件正品？
（2）求抽出的100件产品中正品件数的方差和标准差．
5．设甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下：
甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10．
乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9．
试问哪一名射手的射击技术较好？。