2018年中考数学复习 第6单元 圆 第26课时 直线与圆的位置关系检测 湘教版

课时训练(二十六)直线与圆的位置关系
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．已知⊙O 的半径是6 cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法判断
2．[2016·无锡]如图K26－1，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C＝70°，则∠AOD 的度数为( )
A ．70°
B ．35°
C ．20°
D ．40°
K26－1
3．[2017·自贡]如图BC ，若∠P＝40°，则∠B 等于( )
A ．20°
B ．25°
C 4．[2016·衢州]如图AB 的延长线于点E ，若∠A＝30°，则sin ∠E A.12 B.22 C.32 D.
5．[2016·荆州]如图K26－4，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧AB ︵
上不与点A ，点B 重合的一个动点，连接AD ，CD ，若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是( )
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
6．[2017·泰安]如图K26－5，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( )
A．20° B．35°
C．40° D．55°
7．[2017·百色]以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( ) A．0≤b<2 2 B．－2 2≤b≤2 2
C．－2 3<b<2 3 D．－2 2<b<2 2
二、填空题
8．如图K26－6，⊙O的半径为3，P是OB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于点A，则PA＝________．
9．[2016·齐齐哈尔]如图D，则∠C＝________度．
10．[2017·镇江]如图若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________．
11．[2016·德州]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，如图K26－9所示，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？________．
12．[2017·湖州]如图K26－10，已知∠AOB＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．
三、解答题
13．[2017·济宁]如图K26－11，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是BC ︵
的中点，过点D 作DE⊥AC 交AC 的延长线于点E.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．
图K26－11
14．[2017·遵义]如图K26－12，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB ＝60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC ，BC.
(1)求证：四边形ACBP 是菱形；
(2)若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．
图K26－12
15．[2016·漳州]如图K26－13，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵
的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC ，BC.
(1)试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若AD ＝2，AC ＝6，求AB 的长．
图K26－13
|拓 展 提 升|
16．[2016·衡阳]如图K26－14，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)．
(1)求△ABC 的内切圆⊙D 的半径；
(2)过点E(0，－1)的直线与⊙D 相切于点F(点F 在第一象限)，求直线EF 的表达式； (3)以(2)为条件，P 为直线EF 上一点，以P 为圆心，以2 7为半径作⊙P，若⊙P 上存在一点到△ABC 三个顶点的距离相等，求此时圆心P 的坐标．
图K26－14
参考答案
1．A [解析] 设⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d. ∵d ＝5 cm ，r ＝6 cm ，∴d ＜r ， ∴直线l 与圆相交．故选A.
2．D [解析] 依题意，AC 切⊙O 于点A ，且AB 是圆O 的直径，∴AB ⊥AC ，∴∠CAB ＝90°. 又∵∠C＝70°，∴∠CBA ＝20°.∴∠DOA ＝40°. 3．B [解析] ∵PA 切⊙O 于点A ，∴∠PAO ＝90°.∵∠P ＝40°，∴∠POA ＝180°－90°－40°＝50°.∵OC ＝OB ，∴∠B ＝∠OCB.∵∠POA 是△COB 的外角，∴∠B ＋∠OCB＝50°，∴∠B ＝50°÷2＝25°.
4．A [解析] 连接OC ，根据直线CE 与⊙O 相切可得OC⊥CE.又∠A＝30°，∴∠BOC ＝2∠A＝60°，
∴∠E＝90°－∠BOC＝30°，∴sin ∠E ＝sin30°＝1
2
.
5．C [解析] 连接OB ，OA ，易得∠BOA＝360°－90°－90°－80°＝100°.又∵AC ︵＝BC ︵
，∴∠AOC ＝∠BOC＝50°，
∴∠ADC ＝1
2
∠AOC＝25°.
6．A [解析] 连接OC ，因为CM 为⊙O 的切线，所以OC⊥MC.因为AM⊥MC，所以AM∥OC.所以∠MAB＝∠C OB ，∠MAC ＝∠OCA.因为OB ＝OC ，所以∠OCB＝∠OBC＝55°，所以∠MAB＝∠COB＝180°－2×55°＝70°，因为OA ＝OC ，所以∠OAC
＝∠OCA＝∠MAC，所以∠MAC＝1
2
∠MAB＝35°.因为∠ADC＋∠ABC＝180°，所以∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－55°＝
125°.所以∠ACD＝180°－∠ADC－∠MAC＝180°－125°－35°＝20°.
7．D [解析] 如图，y ＝－x y ＝－x ＋b(b>0)，当y ＝－x ＋b 与圆相切时，b 最大，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC ＝2，∴OA ＝b ＝2 2，同理将y ＝－x 向下平移为y ＝－x ＋b(b<0)，当y ＝－x ＋b 与圆相切时，b 最小，同理可得b ＝－2 2，∴当y ＝－x ＋b 与圆相交时，－2 2＜b ＜2 2.
8．4 [解析] ∵PA 切⊙O 于点A ，
∴OA ⊥PA.在Rt △OPA 中，OP ＝5，OA ＝3，
∴PA ＝OP 2－OA 2
＝4.故答案为4.
9．45 [解析] 连接OD ，则OD⊥CD，∴△AOD C ＝∠A＝45°.
10．120° [解析] 由AC 与⊙O 30°，故∠OAD＝60°.由OA ＝OD ，可得∠OAD ＝∠ODA＝60°，∠BOD ＝∠OAD＋∠ODA＝60°＋60°＝120°.
11．6步 [解析] 过点O 分别作OD⊥AC，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ， 设⊙O 的半径是r ，
∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴OD ＝OE ＝OF ＝r. ∵AB ＝15，BC ＝8， 在Rt △ABC 中，
由勾股定理得，AC ＝AB 2＋BC 2
＝17， ∴12×15×8＝1
2×(15＋17＋8)×r， ∴r ＝3.
12．29
[解析] 作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别垂直OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝EO 3，
∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙O n 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝29，故答案为29
.
13．解：(1)证明：连接OD ，∵D 是BC ︵
的中点，
∴BD ︵＝12
BC ︵.
∴∠BOD ＝∠BAC， ∴OD ∥AE. ∵DE ⊥AC ， ∴∠AED ＝90°. ∴∠ODE ＝90°. ∴OD ⊥DE.
∴DE 是⊙O 的切线．
(2)过点O 作OF⊥AC ∵AC＝10，
∴AF ＝CF ＝12AC ＝1
2
×10＝∵∠OFE ∴四边形OFED 是矩形，∴FE ＝OD ＝1
2
AB.
∵AB ＝12， ∴FE ＝6，
∴AE ＝AF ＋FE ＝5＋6＝14．解：(1)证明：连接PB ，∠APO ＝∠BPO＝1
2
∠APB
＝30°，∴∠AOP ＝60°，∵＝30°，∴∠ACO ＝∠APO，∴AC ＝AP ，同理BC ＝PB ，∴(2)连接AB 交PC 于D ＝3
2，∴PC ＝3，AB ＝3，∴
菱形ACBP 的面积＝12AB·PC＝15．解：(1)∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝∴∠1＝∠2.
∵∠3＝2∠1，∴∠3＝∠OAE， ∴OC ∥AD. ∵CD ⊥AD ， ∴OC ⊥CD.
∴CD 是⊙O 的切线．
(2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∵AD ⊥CD ，
∴∠ACB ＝∠ADC. ∵∠1＝∠2， ∴△ABC ∽△ACD ， ∴AB AC ＝AC AD ， ∴AB ＝AC 2
AD ＝（6）2
2
＝3.
16．解：(1)连接BD ，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴OB ＝3，OC ＝3，∴tan ∠CBO ＝OC
OB
＝3，
∴∠CBO ＝60°.
∵点D 是△ABC 的内心，∴BD 平分∠CBO， ∴∠DBO ＝30°，
∴tan ∠DBO ＝OD
OB
，∴OD ＝1，
∴△ABC 内切圆的半径为1.
(2)连接DF ，过点F 作FG⊥y 轴于点G.
∵E(0，－1)，∴OE ＝1，DE ＝2.
∵直线EF 与⊙D 相切，∴∠DFE ＝90°，DF ＝1，
∴sin ∠DEF ＝DF DE ＝1
2
，∴∠DEF ＝30°，
∴∠GDF ＝60°.
∴在Rt △DGF 中，∠DFG ＝30°，∴DG ＝1
2，
由勾股定理可求得GF ＝
32，∴F(32，12
)． 设直线EF 的表达式为y ＝kx ＋b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，12＝3
2
k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝3，b ＝－1， ∴直线EF 的表达式为y ＝3x －1.
(3)∵⊙P 上存在一点到△ABC 三个顶点的距离相等， ∴该点必为△ABC 外接圆的圆心． 由(1)可知，△ABC 是等边三角形，
∴△ABC 外接圆的圆心为点D ， ∴DP ＝2 7.
设直线EF 与x 轴交于点H ， 令y ＝0，代入y ＝3x －1，
∴H(
33，0)，∴FH ＝33. 当P 在x 轴上方时， 过点P 作PM⊥x 轴于M ，
由勾股定理可求得PF ＝3 3，
∴PH ＝PF ＋FH ＝10 3
3
.
∵∠DEF ＝∠HPM＝30°，
∴HM ＝12PH ＝5 33
，PM ＝5，
∴OM ＝2 3，∴P(2 3，5)．
当P 在x 轴下方时，
过点P 作PN⊥x 轴于点N ，
由勾股定理可求得PF ＝∴PH ＝PF －FH ＝8 3
3
.
又∠DEF＝30°，∴∠OHE ∴sin ∠OHE ＝PN
PH
，
∴PN ＝4.
令y ＝－4，代入y ＝3x ∴x ＝－3，
∴P(－3，－4)．
综上所述，若⊙P 5)或(－3，－4)．。