河南省安阳市高二数学3月月考试题 文(1)

河南省安阳市2016-2017学年高二数学3月月考试题 文
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知曲线313y x =
在点82,3P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则过P 点的切线方程为（ ） A ．312160x y --= B ．123160x y --= C ．312160x y -+= D ．123160x y -+=
2．函数的零点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3．过椭圆142
2
=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，则B A ,与椭圆的另一个焦点F 2构成2ABF ∆的周长是( )
A ．2
B ． D ．
4．若椭圆
221369
x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A ．2 B ．-2 C ．
13 D ．12
- 5．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）
A ．13 C. 1
2
D 6．过抛物线2
4y x =的焦点且倾斜角为30︒的直线交抛物线于,A B 两点，则AB =（ ） A ．4 B ．8 C.16 D ．32 7．函数()ln 2x
f x x
=
-的图像在点（1，-2）处的切线方程为（ ）
A ．30x y --=
B ．20x y +=
C ．10x y ++=
D ．240x y --=
8．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如下图所示，则函数
()f x 在开区间(),a b 内有极大值点（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 9．已知函数()f x 2
1cos 4
x x =
+，'()f x 是函数()f x 的导函数，则'()f x 的图象大致是（ ）
10．已知f(x)＝2x 3
－6x 2
＋m(m 为常数)在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是( ) A.－37 B.－29 C.－5 D.以上都不对
11．已知0a ≥，函数2
()(2)x
f x x ax e =-,若()f x 在[1,1]-上是单调减函数，则a 的取值范围是( ) A ．304a <<
B ．1324a <<
C ．34a ≥
D ．1
02
a <<
12．已知椭圆)0(1:
112
122
121>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:
222
222
222>>=-b a b y a x C 有相同的焦点
F 1,F 2,点P 是两曲线的一个公共点,21,e e 又分别是两曲线的离心率,若PF 1⊥PF 2,则2
22
14e e +的最小值为( ) A ．25 B ．4 C ．2
9
D ．9
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分．）
13．函数()ln 2f x x x =-的单调递减区间是 .
14．设
321
()252
f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值
范围为 .
15．设F 1，F 2为双曲线22x a
－y 2
＝1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且1PF ·2PF ＝0.
P 到x 轴的距离等于________． 16．以下几个命题中:其中真命题的序号为___________(写出所有真命题的序号) ①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,k =-||||,则动点P 的轨迹为双曲线; ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB,O 为坐标原点,若),(2
1
OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆;
③双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点; ④在平面内,到定点)1,2(的距离与到定直线01043=-+y x 的距离相等的点的轨迹是抛物线.
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．求下列函数的导数 （1）
23e x e y x += （2）x x y sin 2=
（3）ln x y x = （4）
)2)(12
1(32+-=x x y
18．已知4
2
()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-. （1）求()y f x =的解析式； （2）求()y f x =的单调递增区间.
19．已知函数
2()ln 1f x x x ax =+-，且'(1)1f =-．
（1）求a 的值；
（2）若对于任意(0,)x ∈+∞，都有()1f x mx -≤-，求m 的最小值．
20．双曲线C 的中心在原点，右焦点为0F ⎫
⎪⎪⎝⎭
，渐近线方程为 y
=.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；
21．旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件。

通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为)10(<<x x 。

那么月平均销售量减少的百分率为2
x 。

改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的平均利润是y （元）。

（1）写出y 与x 的函数关系式；
（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

22．已知椭圆222
2(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.
2016-2017学年度安阳市第36中学3月月考卷
高二文科数学
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：228
''|44(2)1231603
x y x y y x x y ==⇒=⇒-=-⇒--=,故选B. 2．C 【解析】因为
，令
，可知函数
在区间
和
上单调递增，在区间单调递减；所以的极大值为，极小值为，
所以由此可知函数的零点个数为2个，故选C.
3．B 【解析】
试题分析：由椭圆方程可知22
1
1,4
a b ==1a ∴=，由椭圆定义可知2ABF ∆的周长是44a = 4．D 【解析】
试题分析：设两交点为()()1122,,,x y x y ，
22
22222211221436436,436369
x y x y x y x y +=∴+=∴+=+= 两式相减得()()()()()()121212121212404420x x x x y y y y x x y y +-++-=∴-+⨯-=
()()1212442x x y y ∴-=-⨯-121211
22
y y k x x -∴
=-∴=--
5．D 【解析】
试题分析：设2PF x =，因为212PF F F ⊥，1230PF F ∠=
，所以1122,PF x F F ==，
又由椭圆的定义可知12122,2PF PF a F F c +==，所以
23,2a x c ==，所以椭圆的离
心率为c e a ==，故选D. 6．C 【解析】
试题分析：由22sin p AB α=
得24
16
sin 30AB ==o ，选C.
7．A 【解析】
试题分析：()()2
1ln ''1121(1)30x
f x f y x x y x -=⇒=⇒+=-⇒--=,故选A. 8．B
【解析】试题分析：由极值点的定义可得极大值的导数应为0，且左边的导数为正值、右边的导数为负值，故选B. 9．A 【解析】 试题分析：()'
1
sin 2
f
x x x =
-，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B ，D 两个选项.令()1sin 2g x x x =
-，()()''11cos ,0022g x x g =-=-<，所以()'1
sin 2
f x x x =-在0x =时切线的斜率小于零，排除C ，故选A.
10．A
【解析】f′(x)＝6x 2
－12x ＝6x(x －2)．
当－2<x<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－2,0)上为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上为减函数， f(0)为极大值且f(0)＝m ，
∴f(x)max ＝m ＝3，此时f(2)＝－5，f(－2)＝－37. ∴f(x)在上的最小值为－37. 11．C
【解析】试题分析：2
2
'()(22)(2)[(22)2]x
x
x
f x x a e x ax e x a x a e =-+-=+--，由题意当
[1,1]x ∈-时，'()f x ≤恒成立，即2
(22)20x a x a +--≤恒成立，即
22
(1)(22)(1)2012220
a a a a ⎧-+-⋅--≤⎪
⎨+--≤⎪⎩，解得34a ≥.选C. 12．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长12a ，双曲线的实轴长为22a ，不妨令P 在双曲线的右支上，
由
椭圆的定义
①2+②2得将④代入③得
22
122a a c
+=，∴
(
)22
222222122
2
12211
2222222121212424559
4222222
a a a a a a c c e e a a a a a a +++=+=+=++≥+=
13．),2
1(+∞
【解析】试题分析：0,2ln )(>-=x x x x f ，x
x
x x f 2121)('-=
-=∴； 令02121)('<-=-=x
x
x x f ，得21>x ；所以函数的单调递减区间为),21(+∞.
考点：利用导数研究函数的单调性. 14．(7,)+∞
【解析】试题分析：要使当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则须max [()]m f x >，从而目标指向了函数()f x 的最大值.因为2
()32(1)(32)f x x x x x '=--=-+，()01f x x '>⇔>或
23x <-，2()013
f x x '<⇔-<<，所以()f x 在2[1,]3--单调递增，在2
[,1]3-单调递减，
在[1,2]单调递增，所以max 2
[()]max[(),(2)]3
f x f f =-，而
322212222()()()2()553323327f -=--⨯--⨯-+=，32122(2)224575227
f =-⨯-+=>，
所以max [()]7m f x >=，从而实数
m 的取值范围为(7,)+∞.
15
【解析】∵22x a －y 2＝122
1a a +＝54，∴a 2
＝4. ∵点P 在双曲线24
x －y 2＝1上，∴(|PF 1|－|PF 2|)2
＝16，
即|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||P F 2|＝16.又∵1PF ·2PF ＝0，∴PF ⊥PF 2，
∴|F 1F 2|2
－2|PF 1||PF 2|＝16，解得|PF 1||PF 2|＝2.
设P 点到x 轴的距离等于d ，则12|F 1F 2|·d ＝1
2
|PF 1||PF 2|.解得d ＝5
16．【答案】③ 【解析】
试题分析：因为到两定点距离差的绝对值为一个小于两定点间距离的常数的点的轨迹是双曲线，所以①不对.因为),(2
1
+=
所以P 为AB 中点.由于CP 垂直于AP ,所以动点P 的轨迹为以CA 为直径的圆，因此②不对.双曲线135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆的焦点都
在x 轴上，且半焦距都为6，所以③对. 因为点)1,2(在直线01043=-+y x 上，所以满足条件的点的轨迹是过点)1,2(且与直线01043=-+y x 的直线，所以④不对. 17．（1）2
2
'
3e x e y x
+=； （2）x x x x y cos sin 2'2
+=;
（3）2
ln 1'x x
y -=
． （4）x x x y 232
5'2
4+-=
18、【答案】（1）42
59()122
f x x x =
-+；
（2）(10-，(,)10+∞. 试题解析： （1）4
2
()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，则1c =，
3'()42f x ax bx =+，'(1)421k f a b ==+=，
切点为(1,1)-，则4
2
()f x ax bx c =++的图象经过点(1,1)-，
得1a b c ++=-，得52a =
，92
b =-， 42
59()122
f x x x =
-+.
（2）3
'()1090f x x x =->，010
x -
<<，或10x >，
单调递增区间为(，)+∞. 19．（1）1a =-；（2）1-.
解析：（1）对()f x 求导，得'()1ln 2f x x ax =++， 所以'(1)121f a =+=-，解得1a =-．
（2）由()1f x mx -≤-，得2
ln 0x x x mx --≤，
因为(0,)x ∈+∞，所以对于任意(0,)x ∈+∞，都有ln x x m -≤．
设()ln g x x x =-，则1
'()1g x x
=-， 令'()0g x =，解得1x =，
当x 变化时，()g x 与'()g x 的变化情况如下表：
所以当1x =时，max ()(1)1g x g ==-，
因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()g x m ≤成立，所以1m ≥-， 所以m 的最小值为1-．
20．（1）2
2
31x y -=；（2）1k =±
解析：（1）易知 双曲线的方程是2
2
31x y -=.
（2）① 由22
1,31,
y kx x y =+⎧⎨
-=⎩得()
223220k x kx ---=，
由2
0,30k ∆>-≠且，得k <<且 k ≠设()11,A x y 、()22,B x y ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥， 所以 12120x x y y +=.又12223k x x k -+=
-，12
22
3
x x k =-， 所以 2
12121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=，
所以
2
2
103
k +=-，解得1k =±. 21．（1）)10)(441(53
2
<<--+=x x x x a y
（2）产品的销售价为30元时，旅游部门销售该纪念品的平均利润最大。

解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为)1(20x +， 用平均销售量为)1(2
x a -件，
则月平均利润]15)1(20[)1(2-+⋅-=x x a y （元）
∴y 与x 的函数关系式为)10)(441(53
2
<<--+=x x x x a y （2）由3
2
,210)1224(5'212
-===--=x x x x a y 得（舍） 当0'2
1
0><<y x 时，函数y 是增函数； 当
12
1
<<x 时0'<y ，函数y 是减函数。

∴函数2
1
)10)(441(53
2
=
<<--+=x x x x x a y 在取得最大值。

故改进工艺后，产品的销售价为)2
1
1(20+=30元时，旅游部门销售该纪念品的平均利润最大。

22．【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4
M 使得MA MB ⋅为定值. 【解析】（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，
则22
2a b =，由222
c a b =-得222222
a a c a =-=，
由422
1=⨯⨯c b 解得4,82
2==b a ,则椭圆方程为14822=+y x . （6分）
- 11 - （2）由22(1)
28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(21)4280,k x k x k +-+-=
设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得：,1
282,12422212221+-=+=+k k x x k k x x MA MB ∴⋅=221122121212(,)(,)()(1)(1)x m y x m y x x m x x m k x x -⋅-=-+++--
=22221212(1)()()k x x m k x x k m +-++++ =22222222284(1)()2121
k k k m k k m k k -+-+++++=()22254821m k m k ++-++， （10分） 当5416m +=，即114m =
时，MA MB ⋅=167-为定值，所以，存在点11(,0)4
M 使得MA MB ⋅为定值（12分）．。