河北省邯郸市武安第六中学2022年高二数学文联考试卷含解析

河北省邯郸市武安第六中学2022年高二数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （本小题满分13分）
已知椭圆的右焦点，离心率为．过点的直线交椭圆于两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围
参考答案：
解：（1）由已知得：，所以，
从而椭圆的方程为……………4分
（2）设直线的方程为，
由，得………6分
设，则，且，
所以，
同理………………8分
故
．
由，得………………11分
所以直线的斜率的取值范围是……………13分2. 若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
3. 抛物线的焦点到准线的距离是（）
A． B. C． D.
参考答案：
由，知p＝4w
，又交点到准线的距离就是，故选C．
4. 函数的单调增区间为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
由，解得，
所以函数的定义域为.
令，，
则，函数在定义域内为单调递减函数，
又在上的单调递减区间为，
单调递增区间为.
故选D.
5. 若函数有极值点，且，若关于的方程
的不同实数根的个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
A
6. 已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
参考答案：
A
7. 是椭圆的两焦点，是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠的外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）.
A. 圆
B. 椭圆
C.双曲线
D.抛物线
参考答案：
A
略
8. 已知i为虚数单位，，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A. 第四象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第一象限
参考答案：
A
【分析】
利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论．
【详解】由题知，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），
位于第四象限，
故选A.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
9. 通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号
时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，另一种情形是两次正确一次不正确，分别求出相应的概率，然后利用对立事件的概率公式求出判错一个信号的概率即可．
【解答】解：得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，概率为=
另一种情形是两次正确，一次不正确，概率为=
∴判错一个信号的概率为1﹣﹣=
故选B．
10. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
参考答案：
C
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．
【解答】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，
在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；
在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 向量的夹角为60°，且||=2，||=1，则__________.
参考答案：
6
【分析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得，即可求解.
【详解】由题意，可知向量的夹角为，且
则.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的
运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 .
参考答案：
16
13. 给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有▲种不同的染色方案
．
参考答案：
96
略
14. 用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为．
参考答案：
a，b都不能被3整除
【考点】反证法的应用．
【专题】证明题．
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：a，b都不能被3整除，从而得到答案．
【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．
命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：“a，b都不能被3整除”，
故答案为 a，b都不能被3整除．
【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．
15.
如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第100个图形由多少个点组成（）
A. 9901
B. 9902
C. 9903
D. 9900
参考答案：
A
16. 已知条件“”；条件“”，是的充分不必要条件，则实数的取值范围_____________；
参考答案：
略
17. 不等式<的解集是。

参考答案：
( 1，2 )∪( 3，+ ∞ )
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
参考答案：
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】综合题．
【分析】（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．
（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．
【解答】解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，
解得b=﹣1；
（II）由（I）可知b=﹣1，
把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，
解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，
故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，
即r=|1﹣（﹣1）|=2，
所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
19. (本小题满分14分) 己知圆C: (x – 2 )2 + y 2 = 9, 直线l：x + y = 0.
(1) 求与圆C相切, 且与直线l平行的直线m的方程;
(2) 若直线n与圆C有公共点，且与直线l垂直，求直线n在y轴上的截距b的取值范围;
参考答案：
(1) ∵直线m∥直线x + y = 0,
∴设m: x + y + c = 0,
∵直线m与圆C相切，∴ 3 = ,-
解得 c = – 2 3………………………….5′
得直线m的方程为：x + y – 2 +3=0, 或x + y – 2 –3=0. …………7′
(2) 由条件设直线n的方程为：y = x +b ,
代入圆C方程整理得：2x2 +2 (b – 2)x + b2– 5 = 0, -
∵直线l与圆C有公共点，
∴△ = 4(b – 2)2– 8(b2– 5 ) = – 4b2–16b +56 ≥ 0,………………..12′
即：b2 + 4b –14 ￡ 0
解得：………………………………..14′
20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c=b，
sinB=sinC．
（1）求cosA的值；
（2）求cos（A+）的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的余弦函数；正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理得sinA﹣sinC=sinB=×sinC，即有sinA=2sinC，a=2c，b=c，从而可由余弦定理求出cosA的值；
（2）先求出sinA的值，再由两角和的余弦公式求出cos（A+）的值．
【解答】解：（1）∵a﹣c=b，sinB=sinC．
∴由正弦定理得，sinA﹣sinC=sinB=×sinC，
即有sinA=2sinC，a=2c，b=c，
由余弦定理知，cosA====．
（2）∵由（1）知，cosA=．A为三角形内角，sinA==，
∴cos（A+）=cosAcos﹣sinAsin=．
21. 已知△ABC的三个顶点，其外接圆为圆H．
（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）对于线段BH（包括端点）上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
参考答案：
（1）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，
所以外接圆圆心，半径，
圆的方程为．
设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以
．
当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；
当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则
，解得，
综上，直线的方程为或
．
…………6分
（2）解法一：直线的方程为，设，
因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，
所以即
因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以,
又，所以对成立．
而在[0,1]上的值域为[ , 10]，所以且．
又点在圆外，所以对成立，即．故圆的半径的取值范围为
．
…………15分
解法二：过点作交弦于点，则点为弦的中点．设
，则有，．
由勾股定理知
，整理可得，所以对恒成立．
令，由，可得，所以且，又，所以圆的半径的取值范围是
．
…………15分
22. 如图是总体的一样本频率分布直方图，且在[15，18内的频数为8，
求（1）样本容量；（2）若在[12,15内小矩形面积为，求在[12,15内的频数；（3）在（2）的条件下，求样本数据在[18,33内的频率并估计总体数据在[18,33内的频率．
参考答案：
解：（1）设样本容量为,则=50…………………4分
(2)0.06×50=3 内的频数为3 (8)
分
（3）∵上的频率为
∴在上的频数为
…………………12分
∴估计出总体数据在内的频率为
0.78. …………………14分。