人教版四年级下册第五单元《三角形内角和》公开课研究报告

抓住数学思想的本质培养学生思维的深度
——“三角形内角和”的教学案例研究报告【教学内容】
人教版四年级下册第五单元《三角形》例 6。

【课前体味】
一、课标与教材的解读
课标要求：
在“学段目标”中提出：“了解一些几何体和平面图形的基本特征”。

在“课程内容”中提出：“认识三角形，通过观察、操作，了解三角形内角和是180°”。

课标解读：三角形是常见的一种图形，在平面图形中，三角形是最简单的多边形，也是最基本的多边形。

学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。

本单元的教学将进一步丰富学生对三角形的认识和理解。

图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识；二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

对图形自身的认识，是进一步研究图形的基础。

如：本单元中认识三角形，认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和是180°等都是对图形自身特征的认识。

对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。

如：本单元中体味两点
间所有连线中线段最短，了解三角形两边之和大于第三边等，是对图形大小关系的认识。

教材解读：
学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。

本单元内容的设计是在上述内容基础上进行的，通过这一内容的教学进一步丰富学生对三角形的认识和理解。

图形与几何知识是培养学生逻辑推理能力的良好载体。

人教版教材让学生通过量一量、算一算、剪一剪、拼一拼等活动掌握了三角形内角和是180°后，做一做中就编排了已知三角形中两个角的度数，利用三角形内角和180°推导出第三个角的度数的题目。

并用例7替换了实验教材中“图形的拼组”这一内容。

例7主要是让学生利用探索三角形内角和的经验探索四边形内角和。

在探索过程中，有的学生会连接对角线，把求四边形内角和的问题转化为求2个三角形内角和的问题，渗透了转化的思想。

教材在第69页第4题中进一步探索五边形、六边形……的内角和，使学生通过“画一画”的方法发现多边形与三角形的关系，把求多边形内角和的问题转化为求几个三角形内角和的
问题，从而逐步探索出多边形内角和的规律，可以匡助学生建立数学模型：多边形内角和＝(边数－2)× 180°，并在探索规律的过程中培养学生的合情推理能力。

从编排上来看，新教材更关注学生的探索精神，在三角形的内角和是180°的研究中学生积
累了活动经验，研究四边形、五边形...多边形的内角和就水到渠成为了，通过表格，寻觅规律，经历“猜想——验证——结论”这样科学研究的过程，渗透数学不彻底归纳法。

三角形及多边形
的内角和是多少度并非最重要的，让学生经历数学知识的形成过程才是数学学习的根与魂。

苏教版教材《三角形的内角和》编排在四年级下册第七单元《三角形、平行四边形
和梯形》中的例4。

教材首先以问题“你知道每块三角尺 3 个内角的和是多少度吗？”然后
出示了两块三角尺内角和的度数。

接着让学生用量角器动手量3个不同类型的三角形的内角，计算出它们的的内角和；教材在“量”的基础上也给学生介绍了2 种不同的“拼”的方法。

为了更加科学严谨，教材还提出了“自己再任意画一个三角形，先剪下来，再拼一拼。

”让学
生也体验一下“拼”的方法。

最后得出结论“三角形的内角和等于180°”这个结论。

之后安排了“
平行四边形和梯形”这个知识，而人教版教材把“平行四边形和梯形”放在了
四年级上册。

“多边形的内角和”作为综合实践活动则安排在这个单元的“整理与练习”
之后了，先研究四边形的内角和，四边形给出的是一个“直角梯形”，再研究五边形的内
角和，最后研究六边形的内角和。

通过表格将研究过程进行整理，观察发现得出结论：多边形内角和= (边数－2) ×180°。

在教材的最后环节还进行了数学思想方法的总结。

北师大版教材《三角形的内角和》编排在四年级下册第二单元《认识三角形和四边形》中的“探索与发现：三角形内角和”。

教材首先出示了一个大三角形和一个小三角形的对话，提出研究的问题，激发学生去探索与发现。

学生进行小组活动：每人准备一个三角形，量一量，填一填。

小组交流发现“每一个三角形的三个内角和都在180°摆布”，智慧老爷爷说“因为测量有误差”。

教材也出示了 2 种用“拼”的方法来验证量得出的结论，最后得出“三角形内角和等于180°”这个结论。

教材把“四边形的内角和”放在了后面的练习中，“练一练”第 2 题借助两块三角尺拼成正方形；第 3 题在长方形中剪三角形，这两道题让学生感受三角形和四边形的关系；第 7 题直接提出“探索四边形内角和”。

教材中没有涉及“多边形的内角和”。

根据教材的对照分析，我以为人教版教材度的安排特殊合理，将“三角形、四边形”的内角和作为例题进行研究，让学生经历观察、猜想、实验、操作、验证这样一些研究过程，因为有老师和学习小火伴的合作学习，学生也不会觉得有难度。

再把“多边形的内角和”放在练习题中，学生能够自主进行问题解决。

这样安排也让学生对“三
角形的内角和及内角和的作用”有一个较全面的认识，匡助学生建构完整的知识体系。

二、对学情的分析
在课前调查时，笔者发现，学生存在以下几个方面的问题：
大部份学生课前就已经知道特殊三角形“三角尺”的内角和是 180 °：
900+300+600=180°或者 900+450+450=180°，又在测量了几个三角形的内角和都非常接近 180°之后，就比较“武断”地得出“三角形的内角和是180°”，他们难以想到更加科学的证明方法。

有些孩子不相信所有的三角形的内角和都是 1800，因为教师说“量”有误差，就算是“拼”也有缝隙，更何况操作验证的三角形个数又有限，质疑的声音让教师非常尴尬。

为了让学生经历探索的过程，启示学生想到更多的验证方法，一节课可能就在得出“三角形的内角和是1800”这个结论时结束了，没有时间练习，更没有时间拓展到“四边形、多边形的内角和”的探索，如此一来，学生就很难体味到三角形内角和的真正作用与价
值。

三、对教学的思量
1、在提问中激发学生的探索欲望。

爱因期坦曾经说：“提出一个问题比解决一个问题更重要。

”为了使学生迅速进入研
究状态，激发学生探索的欲望，教师可以给学生出示一些大小不同、形状各异的三角形，
再板书课题：三角形内角和，让学生根据课题提出相关的研究问题：什么是三角形的内角？三角形的内角和是多少？三角形的内角和有什么作用？四边形及多边形的内角和是
多少？随着问题的提出，学生一定会迫不及待地想要解决这些问题，老师正好趁此机会
鼓励学生斗胆进行猜想。

2、在实践操作中激发理性思量。

荀子的《儒效篇》中有一句名言：“不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若知之，知之
不若行之；学至于行之而止矣。

”在数学教学中，动手实践是非常有效的学习方式之一，教师要倡导学生通过“做数学”的方式来达到对问题的理解。

教学时不仅把重点放在对三
角形的内角和的探索上，还要将“猜想—验证—得出结论”这样的数学研究方法渗透给学生，让学生真正成为数学知识的研究者、发现者。

因此研究时要给学生足够的时间与
空间，让学生先动手量一量，再小组内交流，交流时将浮现矛盾冲突(量的度数不一样) ，学生自主进行二次测量，最后全班交流。

激发每位学生进行深度的思量，体验数学研
究的快乐。

对于学生很难想到“拼”或者“折”的方法时，教师可以这样进行引导：“刚才我
们在测量三角形三个角的度数时会浮现误差，有没有不同的方法来验证三角形的内角和是 1800呢？测量是把三角形三个角的度数量出来再合并，可不可以不测量直接把三角形
的三个角合并在一起呢？”相信学生一定会跃跃欲试去“拼”了。

在经历了“量”与“拼”的方法
之后，学生如果还浮现质疑，我们非但不要觉得学生“叛逆”，而且还要认为学生具有严谨
的数学思量能力。

小学阶段我们可以借助长方形进行简单的演绎推理证明，把一个长方
形分成两个彻底相同的直角三角形，每一个直角三角形的内角和是 1800，任意的锐角三
角形或者钝角三角形沿着它的高剪开都能变成两个直角三角形，两个直角三角形的和是3600，剪开之后比原来的三角形增加了两个直角，所以原来三角形的内角和就为：3600
－1800=1800。

本节课不仅给学生渗透了不彻底归纳法，还培养了
学生初步的演绎推理能力。

3、在理性思量中实现方法的迁移。

经历了“猜想—验证—结论”的过程后，学生得到了解决问题的研究方法，并通过把任意一个三角形分成两个直角三角形来推理出内角和是 180°，培养了严谨的思维能力。

当学生遇到“四边形的内角和是多少度？”这个问题时，学生也会用“量、拼”的方法发现四边形的内角和是 3600。

因此，本课通过学习三角形内角和的推理方法，可以将演绎推理的思想，很自然的迁移到此处来证明四边形的内角和度数。

要证明四边形的内角和是 360°，还可以
把任意一个四边形分成 2个三角形，每一个三角形的内角和是180°，四边形的内角和就是 2个180°既360°，通过演绎推理的方法类推，发现规律，依此类推，还可以得到n 边形的内角和是(n－2) ×180°。

通过这样的学习过程，培养了学生的理性思量能力，在体验研究过程中，使知识掌握得更坚固。

基于以上思量，我确定以下教学目标：
1.通过画、量、折、分等操作活动，使学生经历探索活动，发现三角形内角和是180°，并在发现、提出、分析和解决问题的过程中，在边数增加变化中感悟数学研究方法，发现多边形的内角和，渗透合情推理。

2. 学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探索活动，向学生渗透“转化”的数学思想。

3. 体验成功的欢跃，培养学生主动学习数学的兴趣。

【课中品味】
一、提出问题 1.
出示课题。

课件出示大小不同、形状各异的三角形。

老师：孩子们，前面我们已经学习了三角形的分类，知道了任意的三角形中至少有 2 个锐角，最多只能有1个直角或者钝角。

你们知道为什么不能有2个直角或者钝角吗？其实这和我们今天要学习的三角形的内角和有关系。

(板书课题)
2．认识三角形的内角和内角和。

老师：看到今天的课题，有什么想问的？
学生：什么是三角形的内角？
1
学生：三角形有几个内角？
2
学生：什么是三角形的内角和？
3
学生：三角形的内角和是多少？
4
学生：三角形的内角和有什么作用？
5
学生：四边形、五边形、多边形的内角和又是多少呢？
6
老师：同学们真善于思量，一下提了这么多问题，我们一个一个来解决吧！
学生：三角形的三个角就叫做三角形的内角。

7
学生：三个内角加起来的度数和就叫三角形的内角和。

8
老师：请看屏幕(多媒体课件演示三条线段围成三角形的过程)。

老师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成为了三个角，(多媒体课件分别闪烁三个角及的弧线)，我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。

三角形的内角和就是三个内角的度数之和。

今天我们就一起来研究三角形的内角和。

二、研究问题
1．提出猜想。

老师：请看屏幕。

(播放课件)熟悉这副三角尺吗？请拿出形状与这块一样的三角尺，同桌互相指一指各个角的度数。

(课件闪动其中的一块三角尺)
学生：90°、 60°、 30°。

(课件演示：由三角尺抽象出三角形)
1
老师：这个三角形的内角和是多少度？
学生：90°+60°+30°=180°。

2
老师：(课件演示另一块三角尺的各角的度数。

)它的内角和是多少度呢？
学生：90°+45°+45°=180°。

3
老师：从刚才两个三角形内角和的计算中，你发现什么？
学生：这两个三角形的内角和都是 180°。

4
学生：这两个三角形都是直角三角形，并且是特殊的三角形。

5
学生：我猜想，所有的三角形的内和角可能都是 180°。

6
2.验证猜想。

老师：我们知道三角形有各种形状，大小也不一，是不是所有三角形的内角和都是 1800呢？这还只是我们的一个猜想，怎么证明呢？
学生分组探索，老师参预指导
有的小组拿出量角器量每一个角的度数，并记录下来；有的小组把角撕下来拼在一起，也有的小组在想办法折……
学生汇报，得出结论
老师：哪个组来汇报一下你们的研究结果？你们是用什么方法证明的，得到三角形的内角和是多少度？
( 1 ) 测量的方法
老师根据学生的汇报进行适当的板书
通过量的方法，老师发现有的学生量出的内角和是180°，有的是 1780，而有的是 1850。

老师小结：直接量的方法挺好，虽然测量有误差，但我们发现，三角形的内角和很接近180°，究竟是不是 1800呢？我们能下结论了吗？
老师：谁还有别的方法？
(2)剪拼的方法
学生汇报后师小结：能想到这个方法不简单，拼成的看起来像平角，到底是不是平角呢，
我们一起来试试看。

(教师和学生剪一剪、拼一拼)
老师：把三角形的三个内角直接拼到一起组成为了平角，但在操作的过程中也会有误差哦，比如角与角拼接时有细微的缝隙。

谁还有不同的方法吗？
(3)折拼的方法
学生汇报后老师小结：我们要研究三角形的内角和，实际上就是想办法把三角形的三个内角合并到一起，刚才的“剪拼”与“折拼”都是把三个内角拼到一起组成为了 1800的平角，把
三个内角拼在一起变成一个平角的过程就是非常重要的转化方法，数学上时常把新知转化
为旧知。

老师：这三种方法都不错，但在操作的过程中，会有误差，在数学上都还不够严谨。

想
一想，你还能想出更科学严谨的证明方法吗？
(4)演绎推理的方法
(借助长方形，把一个长方形沿对角线分成两个彻底相同的直角三角形。

)
老师：你认为这种方法好不好？我们看看是不是这么回事。

(演示课件：两个彻底相同的直角三角形内角和等于 360°，一个直角三角形内角和等
于180°)
老师：当遇到锐角三角形、钝角三角形又该怎样证明？
学生先说，老师再课件演示。

1800 ×2－1800=1800
老师小结：这种方法避免了在测量及剪拼过程中由于操作浮现的误差，能严谨地证明三角形的内角和是 1800。

当我们进入中学以后，还将学习一种更加科学严谨的证明方法，敬请大家期待吧！
3.得出结论。

老师：请学生把刚才研究的三角形举起来，分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三类三角形的内角和都是 1800，我们可以得出结论：三角形的内角和是 1800。

老师：这个结论和课前刚才知道的或者猜的一样吗？
学生：一样。

4.解释课前问题。

老师：现在你能用内角和的知识解释课前的问题吗？
问题：为什么在一个三角形中不能有2个直角或者钝角？
学生：因为所有三角形的内角和都是 180°，如果一个三角中有两个直角或者是两个钝角，1
内和角就不止 180°了。

三、总结学法
老师：我们刚才是怎样得到“三角形的内角和是180°”这一结论的？
学生：先提出“猜想”，再想多种办法“验证”，最后才干得出“结论”。

1
老师：其实，数学上、科学上任何一项伟大的发现都经历着这样一个复杂的探索过程，希翼孩子们在以后的学习中斗胆猜想，多动手实践，你也能够有伟大的成就哦！孩子们，加油吧！
四、学法迁移
老师：今天我们学习了三角形的内角和，你们刚才提出的一些问题已经解决了，但还有“三角形的内角和有什么作用？”、“四边形、五边形、多边形的内角和是多少度？”没有解决怎么办？
学生：我们可以用刚才研究三角形的内角和的方法进行研究。

老师：首先请在小组内快速地研究“四边形的内角和是多少？”这个问题。

学生分小组进行研究。

学生汇报交流。

学生：我认为四边形的内角和是 3600，因为长方形和正方形有四个直角，每一个直角都是1
900，所以 900×4=3600。

学生：我觉得他说的有些特殊，并非每一个四边形每一个角都是直角，普通的四边形我们2
可以用量角器测量一下每一个角的度数，再把每一个角的度数相加，就可以得到四边形的内角和了，我测量了一个梯形的 4 个内角，再把这 4 个内角相加得 3600。

学生：我把四边形的 4 个内角撕下来拼在一起就成为了一个周角，周角的度数是 3600。

3
学生：我把四边形分成两个三角形，每一个三角形的内角和是 1800，所以四边形的内角和4
是 1800×2=3600。

老师：孩子们太棒了，能想出这么多种不同的方法得出四边形的内角和，老师非常佩服你们。

特别欣赏大家能够利用三角形内角和的方法来研究四边形的内角和，把新的知识转化成旧的知识，这是数学上非常重要的方法，希翼大家永远带上他们在数学王国里快乐地遨游。

五、布置作业
老师：由于时间的关系，我们还有一个问题“五边形、六边形、多边形的内角和是多少度？”没有解决，请大家带着这个问题回家继续研究吧！利用今天数学课所学的知识与方法进行
研究，一边研究一边把数据填入表格中，明天的数学课我们一起交流。

【课后回味】
本课笔者既遵循了教学大纲的要求，又创造性的处理教材。

让学生经历了探索过程，并掌握科学的研究问题的方法，渗透“不彻底归纳法、演绎推理、转化”等重要的数学思想方
法。

学生在课堂的 40 分钟享受了思维的大餐，对他今后研究类似问题提供了重要的研究思路
和方法。

在实践的过程中，我们也进行了一些反思。

既有研究的收获也有新问题的产生。

1．学生运用多种方法验证“不同类型三角形的内角和是否是180°”这一结论时，都会不可
避免地浮现不同程度的误差，如何看待误差的浮现？
不管学生是选择测量出每一个内角的度数后再相加，还是想办法将三个内角拼在一起看看是不是一个平角，都会浮现不同程度的误差。

我们忽略误差显然不是一种科学的态度，
误差过大也会造成学生对结论正确性的质疑，验证所期望达到的效果会受到很大的影响。

因此，尽可能匡助学生掌握科学有效的操作方法，便成为在学生验证时教师需要关注的问题。

如：教师在组织教学时可要求学生先标注出三角形的三个内角，要求同桌两人先后多次测
量同一个三角形的内角度数再相加。

这样能够有效地减少验证产生的误差。

正确的操作方
法有助于学生对三角形认识的进一步深化，也是进一步学习多边形内角和的基础；伴有活
动而产生的成功体验，会给学生带来对这种研究方法的认同，并主动地在今后的实践中加以运用。

正确的操作方法，并非刻意回避误差，或者暗示学生不尊重实验的事实，而是要估计
到学生在操作过程中可能浮现的问题，及早干预，避免在学生测量、剪拼活动时受技术因素的干扰出现过大的偏差，减少不必要的错误。

2.今后的学习中还有哪些知识的研究可以经历这样的过程？
这是值得教师思量的，也是值得学生斗胆猜想的问题。

本节课中学生通过小组合作的方
式学到方法，分享经验，更重要的是领悟到科学研究问题的方法。

就学生的发展而言，探索
的过程比探索获得的结论更有价值。

学生用的方法会非常多，怎样对这些方法进行引导，是
值得思量的问题。

这些方法的思维水平不应该是平行的：直接测量的方法是学生利用已有的知识，测量出每一个角的度数，再用加法求和；剪拼和折拼这两种方法，都是将三个内角拼成一个平角；而演绎推理，即把两个彻底相同的直角三角形拼成长方形，或者把长方形分成两个彻底相同的直角三角形，这是一种更高级的思维方法，更加严谨与科学。

前两种方法是不完全归纳法，能使我们确定研究的范围在 1800摆布。

最后一种方法具有演绎推理的色采，
把一个长方形沿对角线分成两个彻底相同的直角三角形后，因为两个直角三角形的内角和是原来长方形的四个内角之和 3600，所以一个直角三角形的内角和就是 360° ÷2＝180°，而任意的锐角三角形或者钝角三角形都能沿着高剪开变成两个直角三角形从而证明锐角三角形或者钝角三角形的内角和是 1800。

这种方法从科学证明的角度阐述了三角形的内角和，它有严密性和精确性。

基于以上的想法，我觉得在课上不能停留在学生对方法的描述上，而应引导学生的思维经历从直观到抽象、从低级到高级的过程，感悟数学思维的严谨性、深刻性、系统性。

通过三角形内角和的研究，教师更应宏观地研读教材，在今后的教学中不断的采集和整
理此类相关的知识，使研究方法进一步完善，思想方法进一步使用妥当。

3.学生不是零基础，怎样让孩子乐学而好学？
教师的教学设计要备教材，更要备学生。

有的孩子可能提前看了书，早就知道“三角形
的内角和是 1800”这个结论了，有的孩子能够用学过的旧知“量角”的方法即将得出三角形的
内角和。

在一部份孩子已经提前知道新知的情况下如何调控和把握课堂，使不会的孩子好
学，会的孩子乐学呢？当学生已经知道知识或者结论时，我们要让学生“知其然更要知其所
以然”，将学生的思维向“更广、更深、更高”处引领，让他们当小组长，带领着小组内的同
学共同学习，发挥他们的长处，建构学习共同体，各美其美，美人之美，美美与共。

无非，抓住数学本质的思想将学生的思维引向深处，让学生学会数学地思量从而感受数
学的力量，这是我们希翼达成的更高目标。

4. 教学实践后浮现的新问题。

“三角形的内角和”与旧教材相比，内容增加了，难度也加大了， 2 个例题再加 1 个重量级
别的练习题，教学容量非常大。

如何设计好这样一堂大容量的课？这节课的重点是要教给
学生什么？根据课标的要求，通过对教材进行反复研读，我们从教与学两个维度进行了分
析，以期通过研究这些问题，更好地进行教学。

(1)这节课的思维含量较高，动手操作活动较多，三角形的内角和、四边形的内角和及
多边形的内角和能否放在一节课进行？
(2)学生很容易想到用“量”的方法来探索三角形的内角和，但很难想到用“拼”或者“折”的方法，教师该如何引导与启示？
(3) 教材中介绍了“量”和“拼”两种研究三角形内角和的方法，如果学生课前进行了预习，这
节课的探索将失去它原本的价值，如果一上课就有学生说“三角形的内角和是 1800”教师该如何
应对，并且能够继续激发学生的探索欲望和积极性？
(4)新课标由“双基”变成为了“四基”，本节课能够很好地给学生积累“数学活动经验”、渗透“
数学思想方法”。

我们认为本节课的重点不仅是让学生掌握三角形的内角和是1800这个知识，更重要的是让孩子们通过探索培养研究问题的能力，掌握研究问题的方法，形成解决实际问
题的能力。

那末教学中该如何有效地培养学生的研究能力与问题意识？
【专家点评一】
一、教师预设大问题，培养学生的问题意识。

在课的开始环节，教师就用一个大的问题，“看到今天的课题，你有什么想问的吗？”。