7年级数学下册第5章相交线与平行线5.1.2垂线备课资料教案新版新人教版4

第五章 5.1.2垂线
知识点1：垂直的定义
1. 垂直:直线a,b相交于点O(如图),当有一个夹角为90°时,称直线a,b互相垂直,记作a⊥b 或b⊥a.在图中我们用⊥作为表示两条直线互相垂直的标识,它们相交的交点O叫做垂足.日常生活中,如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.
2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图,过直线l外一点P,作PO⊥直线l,垂足为O,则线段OP叫做点P到直线l的垂线段.
知识点2：垂线的画法
1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法:
(1)利用三角板;(2)利用量角器;(3)利用直尺和圆规.
运用(1)或(2)两种工具作图时可以按下面的步骤操作:
①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线(或是将量角器的0°线与已知直线重合);
②二过:使三角板的另一直角边经过已知点(或是使量角器的90°线经过这一点);
③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线(或者是沿量角器90°线所在直线画出).如图所画的PQ就是直线AB的垂线.
2. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度,叫做点到直线的距离,在上图
中,PQ的长度就是点P到直线AB的距离.
注意：(1)垂线、垂线段的垂足都要作垂直符号;(2)垂线段和表示距离的线段要画出端点,而垂线则可向两方延伸;(3)作线段(射线)的垂线时,如果垂足在其延长线(反向延长线)上,则应将其延长(或反向延长),并且用虚线表示.
知识点3：垂线的性质
性质(1):在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上,也可以在直线外;“有”表示存在,“只有”则表示唯一,意思是说,肯定有一条并且不能多于一条.
性质(2):连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.
考点1:利用垂直定义求角度的大小
【例1】如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD∶∠BOD=3∶1,求∠COE的度数.
解:∵OE⊥AB,∴∠EOB=∠AOE=90°.
∵∠EOD∶∠DOB=3∶1,
∴∠BOD=∠EOB=×90°=22.5°.
又∵∠AOC=∠BOD=22.5°,∠COE=∠AOC+∠AOE,
∴∠COE=22.5°+90°=112.5°.
点拨：垂直是两条直线的位置关系,而90°是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90°的角之间的联系.由于∠COE=∠AOC+∠AOE,∠AOE=90°,因此只需求出∠AOC即可,又因为∠AOC=∠BOD,故将求∠AOC的度数转化成求∠BOD的度数,又由于∠EOD∶∠BOD=3∶1,∠EOD+∠BOD=90°,从而可求出∠BOD的度数.
考点2:垂线段与点到直线的距离的应用
【例2】点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=2 cm,则点P 到直线m的距离( )
A.为4 cm
B.为2 cm
C.小于2 cm
D.不大于2 cm
答案:D
点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度,虽然垂线段最短,但是在PA,PB,PC 中并没有说明PC是垂线段,所以垂线段的长可能小于2 cm,也可能等于2 cm.
考点3:垂线段与点到直线的距离的应用
【例3】如图,点A表示小明家,点B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.
解:如图,连接AB,作BM垂直河边于点M.
折线A-B-M即为所求.
点拨：从点A到点B的最短路线是线段AB,理由是“两点之间,线段最短”;从点B到河边的最短路线是点B到河边的垂线段,理由是“垂线段最短”.第八章 8.2.2消元——解二元一次方
程组(一)
知识点1:加减消元法
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
知识点2:列二元一次方程组解实际应用题的步骤
列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的思路基本相似,也是审题、设元、列方程、检验、作答几个步骤.其中与列一元一次方程解应用题不同的是,列一元一次方程解应用题的时候,我们需要考虑设哪个未知量为x,运用哪个相等关系来列方程,而列二元一次方程组解应用题时,如果题目有两个未知量,两个相等关系,我们直接将未知量设为x和y,两个相等关系都用来列方程.
考点1:先化简再求方程组的解
【例1】解方程组
解:原方程组可化为②×5-①,得26y=104,解得y=4.
把y=4代入②,得x+20=28,解得x=8.所以原方程组的解为
点拨∶对于比较复杂的二元一次方程组,首先将两个方程化简成ax+by=c的形式,然后再使用代入消元法或加减消元法求解.
考点2:换元法解方程组
【例2】解方程组
解:设a=,b=,则原方程组可变形为
解得∴解得
点拨：仔细观察方程组,我们不难发现两个方程中均出现和,我们可将和分别看作两个未知数a,b,这个复杂的方程组就可以转化成一个简单的方程组来解决了,这种方法叫做换元法.
考点3:轮对称的二元一次方程组的求解策略
【例3】解方程组
解:①+②,得27x+27y=81,化简得x+y=3.③
①-②,得-x+y=-1.④
③+④,得2y=2,解得y=1.
③-④,得2x=4,解得x=2.∴原方程组的解是
点拨：呈现形式的方程组称为轮对称方程组.
考点4:一个二元一次方程组与一个二元一次方程同解的问题
【例4】若关于x,y的方程组的解也是方程3x+2y=17的解,求m的值.
解法一:①-②,得3y=-6m,即y=-2m.
把y=-2m代入①,得x-4m=3m,解得x=7m.
把x=7m,y=-2m代入3x+2y=17,得21m-4m=17,解得m=1.
解法二:
①×3-②,得2x+7y=0.根据题意可得:
解这个方程组,得
把代入①,得7-4=3m,解得m=1.
点拨：解法一:把m看作已知数,用含m的代数式表示x,y,然后把x,y的值代入3x+2y=17中,得到一个关于m的一元一次方程,解这个一元一次方程即可求出m的值.
解法二:由原方程组消去m,得到一个关于x,y的二元一次方程,这个二元一次方程和3x+2y=17组成一个方程组,解出x,y的值,然后代入原方程组中任意一个方程求出m的值.。