贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试题

贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试题
一、 选择题:(每小题5分，共60分)
1、已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，那么35是它的()
A ．第22项
B ．第23项
C ．第24项
D ．第28项
2. 若△ABC 的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，那么△ABC ()
A ．一定是锐角三角形.
B ．一定是直角三角形.
C ．一定是钝角三角形.
D ．锐角三角形或钝角三角形 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===，则() A ．14-B ．13-C ．12-D ．11-
4. 已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，那么∠B 等于() A ．30°B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°
5. 在数列{}n a 中，41
1-=a ，111--=n n a a )1(>n ，那么2013a 的值为() A ．41-
B. 5
C.54
D.4
5 6．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，那么该市
这两年生产总值的年平均增长率为() A ．
2p q + B ．(1)(1)1
2
p q ++- C ．pq D ．(1)(1)1p q ++- 7、在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3
,6)(22π
=+-=C b a c 那么ABC ∆的面积() A.3 B.
239 C.2
3
3 D.33 8．已知－1，a 1，a 2、8成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，那么a 1a 2
b 2
的值为()
A ．－5
B ．5
C ．－52 D.5
2
9．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，那么塔高为()
A.
m 3
400
B.
m 3
3
400 C.
m 3
3
200 D.
m 3
200
10、等比数列{}n a 的各项均为正数且564718a a a a +=，3132310log log log a a a ++
+=()
A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
11．已知等差数列{}n a ，首项1201120120,0a a a >+>，201120120a a ⋅<，那么使数列{}n a 的前n 项
和0n S >成立的最大正整数n 是()
A ．2011
B ．2012
C ．4023
D ．4022
12.定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列,那么称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在
(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数，那么其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号() ①2()f x x =；②()2x f x =；③()||f x x =；④()ln ||f x x =. A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 二、填空题：(每小题5分，共20分)
13. tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________；
14、已知函数22
()1x f x x
=+，那么f(1)+f(2)+ f()+ f(3)+f()+f(4)+ f().
15、.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，
那么
=b
a . 16、ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若3
1
sin =∠BAM ,那么=∠BAC sin ________.
三、解答题：
17、（10分）数列{a n }满足a 1=1，a n+1= （n €N*）
（1）求证{a n }是等差数列（要指出首项与公差）; （2） 求数列{a n }的通项公式;
18、（12分）在△ABC 中,a =3,b =2
,∠B =2∠A .
(I)求cos A 的值; (II)求c 的值
19、（12分）在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.
(I)求角A 的大小;
(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.
20．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n
3
，a ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
21、（12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与
B 点相距
C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达
D 点需要多长时间？
22、（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n和S n满足：4S n＝(a n＋1)2(n＝1,2,3……)，
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n＝
1
a
n
·a n＋1
，求{b n}的前n项和T n；
(3)在(2)的条件下，对任意n∈N*，T n>m
23
都成立，求整数m的最大值．
遵义航天高级中学2014—2015第二学期第一次月考
高一数学答案
一、选择题：
二、填空题：
13、1 14、15、2 16
6 3
三、解答题：
17：（1）证明：由a n+1=
得=+2， 所以
=2
所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列 （2）
所以
=
18：解:(I)因为a =3,b 6,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得
326
sin sin 2A A
=所以2sin cos 26sin 3A A A =.故6
cos 3A =.
(II)由(I)知6cos 3A =
,所以23
sin 1cos 3
A A =-=.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13
B A =-=.所以222
sin 1cos 3B B =-=.
在△ABC 中,53
sin sin()sin cos cos sin 9
C A B A B A B =+=+=
所以sin 5sin a C
c A
==.
19：解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2
A =
,角60A =︒
(II)
1
sin 53
2
S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理
得:2
21a =,()22
2228sin a R A ==25sin sin 47
bc B C R ∴==
20解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n
3
，
a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2
a n －1＝n －13
(n ≥2)，
3
n －1
a n ＝n 3
－
n －13
＝1
3
(n ≥2)， a n ＝1
3
n (n ≥2)．
21、解：由题意知3)海里，
906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒
105ADB ∴∠=︒
在DAB ∆中，由正弦定理得
sin sin DB AB
DAB ADB
=∠∠
sin 5(33)sin 455(33)sin 45sin sin105sin 45cos 60sin 60cos 45AB DAB DB ADB •∠+•︒+•︒
∴=
==∠︒︒•︒+︒•︒
53(13)
103(13)2
+=+（海里）
， 又30(9060)60,203DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒= 在DBC ∆中，由余弦定理得
2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-••∠
= 1
300120021032039002
+-⨯=
CD
∴=30（海里），那么需要的时间
30
1
30
t==（小时）。

答：救援船到达D 点需要1小时。

22：(1)∵4S n＝(a n＋1)2，①
∴4S n－1＝(a n－1＋1)2(n≥2)，②
①－②得
4(S n－S n－1)＝(a n＋1)2－(a n－1＋1)2.
∴4a n＝(a n＋1)2－(a n－1＋1)2.
化简得(a n＋a n－1)·(a n－a n－1－2)＝0.
∵a n>0，∴a n－a n－1＝2(n≥2)．
∴{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
(2)b n＝
1
a
n
·a n＋1
＝
1
2n－12n＋1
＝
1
2
(
1
2n－1
－
1
2n＋1
)．
∴T n＝1
2
〔〕1－
1
3
＋
1
3
－
1
4
＋…＋
1
2n－1
－
1
2n＋1
＝1
2
(1－
1
2n＋1
)＝
n
2n＋1
.
(3)由(2)知T n＝1
2
(1－
1
2n＋1
)，
T n＋1－T n＝
1
2
(1－
1
2n＋3
)－
1
2
(1－
1
2n＋1
)
＝1
2
(
1
2n＋1
－
1
2n＋3
)>0.
∴数列{T n}是递增数列．
∴[T n]min＝T1＝1 3 .
∴m
23
<
1
3
，∴m<
23
3
.
∴整数m的最大值是7.。