空间向量部分基础练习题

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一、选择题
1.下列说法中不正确的是( )
A. 平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B. 一个平面的所有法向量互相平行
C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D. 如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量
2.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A. 90°
B. 60°
C. 30°
D. 0° 3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ等于( ) A. 28 B. －28 C. 14 D. －14
4.若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是
( )
A. a
B. b
C. c
D. a ＋b
5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )
A. a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)
B. a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)
C. a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)
D. a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
6.已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45° 7.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD
⃗⃗⃗⃗⃗ +mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则m ，n 的值分别为( ) A.11,22- B. 11,22-- C. 11,22- D. 11,22
8.已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )
A. 116
B. －116
C. 12
D. 13 9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、
面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )
A. 1
B. √52
C. √62
D. 32 10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( )
A. 27
B. 2√357
C. √357
D. 1
11.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E
是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )
A. 12
B. √22
C. 13
D. 16 12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，
G 是CC
1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )
A. 120°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
二、填空题
13.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP
⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 的坐标为__________．
14.已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为
2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．
15.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．
16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．
三、解答题
17.若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．
18.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F ＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
19.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面
BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝√2．
(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；
(2)求二面角A－FC－B的余弦值．
21.如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，
，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．
22. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，将ADB ∆沿直线DB 折起到PDB ∆的位置（点P 不与A ，C 两点重合）.
（1）求证：不论PDB ∆折起到何位置，都有BD ⊥平面PAC ；
（2）当PO ⊥平面ABCD 时，点M 是线段PC 上的一个动点，若OM 与平面PBC 所成的角为30，求
PM MC 的值.。