河北省2020届中考数学大一轮新突破 习题：微专题 三角形的内心和外心

微专题三角形的内心和外心
(2018.15，2018.23，2017.23，2016.9，2015.6)
1. 如图，在△ABC中，BC＝6，∠B＝90°，∠A＝60°，点O为△ABC的外心，则点O到BC边的距离是()
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
第1题图第2题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点I是Rt△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D，若CD＝2，则AC的长为()
A. 3
B. 2
C. 3＋1
D. 3
3. 如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，H均在网格的格点上，下面结论：①点H是△ABC的内心；②点H是△ABD的外心；③点H是△BCD的外心；④点H是△ADC的外心，其中正确的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
第3题图第4题图
4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是()
A. △ABC的内心
B. △ABC的外心
C. △ABF的内心
D. △ABF的外心
第5题图
5. 如图，在Rt △ABC 中，点B 的坐标(1，5)，点C 的坐标(4，1)，若反比例函数y ＝k x
图象经过△ABC 的内心，则k 的值为( )
A. 3
B. 6
C. 2
D. 4
6. 如图，等边△ABC 的边长为1, 点E 、F 分别是BC 、AB 的中点，连接AE 、CF 交于点G ，边BC 下方有一动点D ，连接BD 、CD , ∠BDC 始终保持120°，将△BCD 折叠，点D 的对应点为G ′，则下列结论正确的有( )
①G 为△ABC 的内心；②BD ＝CD ；③CG ＞AG ；④点G 是△BCD 的外心；⑤G ′E 的最小值为
36
. A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ②④⑤
第6题图 第7题图 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，垂足分别为点D ，E .BD ＝4，CE ＝3，若点M 、N 分别是△ADB 、△ACE 的外心，则MN ＝________．
8. 已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB ，∠ACB ＝70°，点O 是△ACD 的内心，则∠AOB ＝________．
第8题图 第9题图
9. 如图，在锐角△ABC 中，∠A ＝70°，F 是边BC 上一点，且四边形CDEF 是菱形，将菱形CDEF 绕点C 顺时针旋转，当旋转角最小为________度时，点F 是△ABE 的外心．
10. 如图，在等边△ABC 的三边上，分别取点D ，E ，F ，使AD ＝BE ＝CF ，连接DE ，EF ，DF ，得到△DEF .若点O 为△ABC 的外心，求证：点O 也是△DEF 的外心．
第10题图
参考答案
微专题 三角形的内心和外心
1. C 【解析】如解图，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，∴∠ODC ＝90°.在△ABC 中，BC ＝6，∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠C ＝30°，∴AB ＝tan30°×BC ＝33
×6＝2 3.∵点O 为△ABC 的外心，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ＝12AB ＝ 3.∴点O 到BC 边的距离是 3.
第1题解图
2. C 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵点I 是Rt △ABC 的内心，∴CD 平分∠ACB . ∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°.∵DE ⊥AC ，∴∠ACD ＝∠EDC ＝45°.设DE ＝CE ＝x ，在Rt △DEC 中，根据勾股定理可得：x 2＋x 2＝(2)2，∴x ＝1.在Rt △ADE 中，∠AED ＝90°， ∠A ＝30°，∴AD ＝2DE ＝2×1＝2，根据勾
股定理可得：AE ＝AD 2－DE 2＝3，∴AC ＝AE ＋CE ＝3＋1.
第2题解图
3. C 【解析】点H 在AC 边上，由内心定义可知，点H 不可能是△ABC 的内心；∵点H 是线段BD 、AD 、BC 、CD 垂直平分线的交点，∴点H 是△ABD 、△BCD 、△ACD 的外心，故正确的有3个.
4. B 【解析】如解图，连接OB 、OC ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO ＝∠OAC ，又∵AB ＝AC ，AO ＝AO ，∴△BAO ≌△CAO (SAS).∴BO ＝CO .由折叠的性质得：OC ⊥EF ，∴∠OCF ＝90°－50°＝40°.∵AB ＝AC ，
∴∠ACB ＝12(180°－50°)＝65°，∴∠OCA ＝65°－40°＝25°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠OAC ＝12
×50°＝25°，∴OA ＝OC ，∴点O 是△ABC 的外心.
第4题解图
5. D 【解析】如解图，设点O 为△ABC 的内心，过点O 作OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，∵点B 的坐标(1，
5)，点C 的坐标(4，1)，∴点A 的坐标(1，1)，AC ＝3，AB ＝4.在Rt △ABC 中，根据勾股定理得BC ＝32＋42
＝5，∴OE ＝OF ＝a ＋b －c 2＝3＋4－52
＝1，∴点O 的坐标(2，2).∴k ＝2×2＝4.
第5题解图
6. C 【解析】∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°.∵点E 、F 是BC 、AB 的中点，∴CF 、AE 平分∠BCA 、∠BAC .∴点G 为等边△ABC 的内心，①正确；只有当点D 在BC 垂直平分线上时，才有BD ＝CD ，②错误；∵CF 、AE 平分∠BCA 、∠BAC ，∴∠GAC ＝∠ACG ＝30°，
∴CG ＝AG ，③错误；∵∠BAC ＝60°，∠BDC ＝120°，∴四边形ABDC 的四个顶点共圆，∴点G 为四边形ABDC 的外接圆的圆心，∴点G 是△BCD 的外心，④正确；当点D 在BC 垂直平分线上时，DE 最小，∴DE
＝BE ·tan30°＝12×33＝36.∵△BDC 折叠得到△BCG ′.∴G ′E ＝DE ，即G ′E 的最小值为36
，⑤正确.综上所述正确的为①④⑤.
7. 522
【解析】∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°.∵BD ⊥DE ，∴∠BDA ＝90°，∴∠BAD ＋∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC .∵CE ⊥DE ，∴∠E ＝90°，在△BDA 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠CAE ∠D ＝∠E ，
AB ＝CA
∴△BDA ≌△AEC (AAS )，∴DA ＝EC ＝3，AE ＝DB ＝4，根据勾股定理可得，AB ＝AC ＝5，∴BC ＝5 2.∵直
角三角形的外心在斜边的中点上，∴M 、N 分别是AB 、AC 的中点.∴MN ＝12BC ＝522
. 8. 135° 【解析】如解图，连接OC . ∵AB ＝AC ， ∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°－70°－70°＝40°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝90°－∠BAC ＝90°－40°＝50°.∵点O 是△ACD 的内心，∴ OC
平分∠ACD ，AO 平分∠BAC .∴∠ACO ＝12
×50°＝25°，∠BAO ＝∠CAO ＝20°. ∴∠AOC ＝180°－20°－25°＝135°.∵AB ＝AC ，∠BAO ＝∠CAO ，AO ＝AO ， ∴△BAO ≌△CAO .∴∠AOB ＝∠AOC ＝135°.
第8题解图
9. 20° 【解析】如解图，要使点F 是△ABE 的外心，则BF ＝AF ＝EF ，则F 为△ABC 的外心，∵∠A ＝70°，F A ＝FB ＝FC ，∴∠BAF ＝∠ABF ，∠CAF ＝∠ACF ， ∠FBC ＝∠FCB .∴∠ABF ＋∠ACF ＝∠CAF ＋
∠BAF ＝70°.∴∠FBC ＝∠FCB ＝12
(180°－70°－70°)＝20°.故最小旋转角为20°时，点F 是△BAE 的外心.
第9题解图
10. 证明：如解图，连接OA 、OD 、OC 、OF 、OE ，
∵点O 为等边△ABC 的外心， ∴OA ＝OC ，∠AOC ＝2∠B ＝120°. ∴∠OAF ＝∠OCF ＝30°. ∴∠OAD ＝30°.
在△AOD 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，
∠OAD ＝∠OCF ，
AD ＝CF ，
∴△AOD ≌△COF (SAS ). ∴OD ＝OF .
同理可得OD ＝OE .
∴OD ＝OE ＝OF .
∴点O 是△DEF 的外心.
第10题解图。