数学建模y05B飞机空中加油方案

=
é1 êë 2
+
1 3 log3
(n
+1)ùúû
L；
② k 为其他情况（由以上同理求得）
k=4
时， rn
=
é1 êë 2
+5 12
log4
(n
+1)ùúû
L
；
k=5
时， rn
=
é1 êë 2
+
1 2
log5
(n
+1)ùúû
L
；
k=6
时， rn
=
é1 êë 2
+
11 20
log6
(n
+1)ùúû
L；
所以该结构中飞机的总数目为 w = k m ，辅机数目为 n＝w－1＝ km -1。
引理：满足上述结构图的作战计划可保证主机飞到最大作战半径为
rn
=
1 2
+
hm
。
证明：由性质①可知，不同层的步进距离 h 是相同的；
由性质②可知，同一层不同的基步进距离也为 h；
由性质③④⑤可以保证主机在结构图的最顶点处再前进 1/2L 距离返回时可
3 29/30L
4 29/30L
5 1L
6
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由此可以看出 n-m 接 m 送与 m 接 n-m 送的结果是完全相同的，也从一个侧 面验证了引理二。
基 k、层数 m、每层步进 h、辅机架数 n 以及 rn 之间的关系： ① k=3 时，h＝1/3L
m＝1 n= 31 -1=2 rn =1/2+1/3=5/6L
此时的 Rn* 。对问题 5，求出满足主机最快到达目的地并返回和最少辅机数两种情 况下的作战方案，并给出 n 值分别为 580 和 186。最后对基 k 模型进行了优化， 给出了改进。
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1
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飞机空中加油方案
一、 问题的提出
对于一般的军用飞机来说，不着陆一次飞行上万公里，过去似乎是难以想象 的事，而今随着空中加油技术的出现却已成为现实。空中加油简单地说就是在空 中一架飞机（辅机）给另一架或几架飞机（辅机或主机）加注燃油，提高飞机的 直航能力。为便于讨论，我们作如下假设。
Rn ： n 架辅机每架允许在基地多次加油时的最大作战半径；
Rn* ： 有 2 个待建的空军基地时的 n 架辅机每架允许在基地多次加油时 的最大作战半径；
L： 飞机装满油后的最大航程； k： 基中的飞机数目； m： 飞机组成的作战结构图中的层数； j： 结构图中每层的编号，由上至下依次为 j＝1，2······m； h： 步进距离（结构图中每层推进距离）； xp ： p 架辅机前进距离，p＝1，2······n；
基3
基4
基5
基6
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3
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基7
基8
基9
基11
基13
下面我们对上面定义的两种结构图中的飞机状况进行说明： ① 结构图中由相同的基构成。 ② 同一层中的每个基都是平行的，在层的起点，每个飞机满油，在层的终 点，只有每个基上最顶点飞机满油。 ③ 基中的飞机都可以由位于最低点满油起飞，油耗尽时返回最低点。 ④ 基中位于最高点的 Z 在最高点处满油。 ⑤ 主机位于最上方层的 Z 处。 ⑥ j＝m 层的最低点为基地 A，j＝1 层的最高点为辅机接送的最大距离。
以上只简单得给出了引理二的定性说明，在下面模型建立与求解的过程中可 以看到有关引理二的定量说明。
引理三：飞机按照纯基的形式飞行比按照类基中其它非纯基的形式具有更优
的 rn 。
证明：下面首先利用穷举法找出 k 比较小的时候的 rn 最优值，然后得到辅机
架数 n 以及 rn 之间的关系。 k=3 时，有两架辅机，共有 3 种飞行可能如图所示：
n＝1，2，3，4
时的
rn
分别为
2 3
L
，
5 6
L
，
11 12
L
，L，并推出
n ® ¥ 时， rn 以对数形式趋向无穷。对问题 3，计算出 n＝1，2，3，4 时 Rn 分别
为 5 L， 6
L，
10 9
L
，
59 48
L
，并在问题
2
的基础上对
Rn
进行改进，改进的
Rn
相比
rn 增长更快。对问题 4 给出了一般的选址原则，确定了 A1、 A2 的位置，并求出
以到达基地 A。
由性质⑥可以给出 rn 与 n 的关系。
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五、 模型的建立与求解：
(一) 每架飞机只能上天一次。 首先，给出对于问题一的解答如下表所示：
n
1
rn (L)
2 3
2
3
4
5
11
1
6
12
在论文第三部分假设的基础上，增加假设：每架飞机只能上天一次。辅机可 以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务。 飞机的空中加油问题总的任务是使得主机飞的尽可能的远，并且要保证油尽 可能的耗尽。下面给出三个引理。 引理一：主机飞的尽可能得远，等价于辅机飞的总路程尽可能得近。 证明：设定所有飞机的油全部耗尽，则所有飞机飞行的总路程等于所有飞机
g p ： 辅机加满油一次后对其余飞机的供油量，称为贡献量；
ap ： 对于多次加油，p 架飞机回基地加满油后至第二次起飞之前的时 间间隔，称为空闲时间。
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三、 模型假设
1．主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数。 2．油箱装满油后的最大航程均为 L （公里），飞机在油箱油量减为 0 之
略不计。 7．主机在基地 A 起飞，最终在基地 A 降落。
四、 模型分析
（1）分层塔式作战结构图： 在此结构图中，总体上分为若干层 m，由上至下依次为 1，2······m，每
层由若干相同单元构成，其中的一个单元称为一个基，j＝1 的层仅含有一个基， 该基中最顶点的飞机为主机，随着 j 的增加，每层的基的数目增大，j＝m 的层 含有的基最多。 （2）树状式基图：
情况
1
最大距离
4/5L
2
3（纯基）
4/5L
11/12L
k=5 时，有 5 种可能如图：
（4）
4（纯基） 11/12L
（1）
（2）
(3)
(4)
(5)
(1) 4 接 (2) 4 送 (3) 1 接 3 送 (4) 3 接 1 送 (5) 2 接 2 送
情况
1
2
最大距离
5/6L
5/6L
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主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在 n 架辅机的协助下所能飞 到的（并安全返回）离基地 A 的最远距离。显然当 n = 0 时，作战半径 r0 = L / 2 。 下面我们的任务是讨论在各种不同的情况下主机最大作战半径与辅机数目取值 的关系。
二、 符号说明
A： 主机基地； n： 辅机数目； rn ： n 架辅机每架只允许起飞一次时的最大作战半径；
山
全国第二届部分高校研究生数模竞赛
题目
飞机空中加油方案
山
摘
要
对飞行中的飞机进行空中加油，可以大大提高飞机的直航能力，本文针对这 一实际问题，建立了一种模拟飞机空中加油的基于飞机空中加油机理的基 k 模
型，给出了辅机数目 n 与主机最大作战半径 rn （或 Rn ）的关系式。对问题 1 和
问题
2，计算出
2 1.8
rn
1.6 1.4 1.2
1 0.8
0
k=3 k=5 k=7 k=11 k=13
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n=500
由上面两幅图可以看出，当 n 取不同值时， k 取值由 3 到 5 时， rn 增大，k
取值由 5 逐渐增大到 13 时， rn 值开始变小。由此我们推断出 k 在 5 附近 rn 可能
k=7
时， rn
=
é1 êë 2
+
3 5
log7
(n
+1)ùúû
L
；
k=9
时， rn
=
é1 êë 2
+
2 3
log9
(n +1)ùúû
L；
k=11
时， rn
=
é1 êë 2
+
5 7
log11
(n
+1)ùúû
L
；
k=13
时， rn
=
é1 êë 2
+
3 4
log11
(n
+1)ùúû
L
；
基 k 为奇数时，位于顶点两侧飞机数目相同，称这种基为对称基，基 k 为偶数时，位于顶点两侧飞机数目不相等，一侧比另一侧多一架，称这种基 为非对称基。
每个基中所含飞机数目为 k，对于每个基，有一架飞机位于最上方，记为 Z， 其余 k－1 架飞机如下图分布在两侧，位于左侧的飞机负责将 Z 从本基最低点送 至最高点，位于右侧的飞机负责将 Z 从本基最高点接回至最低点。
基中外侧的点代表该飞机与 Z 同时起飞，而内侧的点代表该辅机只为迎接 与之连接的辅机服务，易知迎接辅机的飞机的迎接距离均为 L/3。
n
n
å å 的储油量，有以下公式： xk + rn = (n +1)L ，或者是： xk + Rn = (n +1)L 。
k =1
k =1
n
å 则欲使得 rn 或者是 Rn 最大，则使得 k=1 xk 最小。
引理二：对于有 n 架辅机的情况，专为主机前进服务的辅机数为 m ，则专为 主机返回服务的为 n - m ，欲使主机飞的最远，则 n 架辅机的安排应该保证 m 和 n - m 尽量相等。
说明：如下图所示：主机由基地 A 到最远目的地 C 的战斗半径 rn ，记为任
务量为 rn ，则从目的地 C 回到基地的任务量也同样为 rn ，前进需要 m 架辅机送，
则返回需要相同数量的辅机接回，所以当 n 为偶数时： m ＝ n - m ，当 n 为奇数 时： m 与 n - m 应该相差 1。
我们用 MATLAB 模拟了 k=3，5，7，9，11，13 的情况，如下图所示：
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2
1.8
1.6
k=3
1.4
k=5
k=7
1.2
k=11
k 15 20 25 30 35 40 45 50
n=50
rn
2.6 2.4 2.2
前都可以正常运速飞行。 3．辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油，加油时可以只对一
架飞机加油，也可以同时对多架加油。 4．为了使问题简化，假定辅机与主机性能完全相同，辅机只有一个油仓
（即油箱）。 5．不讨论飞机在空中回旋的情况。 6．飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽
m＝2 n= 32 -1=8 rn =1/2+(1/3)*2=5/6L
m＝3 n= 33 -1=26 rn =1/2+(1/3)*3=3/2L
m＝2 n= 34 -1=80 rn =1/2+(1/3)*4=11/6L
所以有 n= 3m -1, rn =1/2+hm,进一步有 n 与 m 的关系：
rn
架辅机完成接送主机至2l处的任务因为基5模型的步进距离为05l而2l05l15l3所以选取基5模型0562所以以ad中点n为中心取上下对称的d05l类似于1的讨论可以得出路线有在基地a将主机送至将主机送至距c地12l1568架显然不如路线所以当主机由再由飞行时所需辅机数目最少为模型评价本文针对飞机空中加油问题提出了分析解决该问题的一种模型以定义的基为基础讨论了基k不同情况下辅机数目n与最大作战半径山东大学
2.6 2.4 2.2
当 k－1 为偶数，飞机平均分布在 Z 两侧，k－1 为奇数， k -1+1 架飞机位 2
于 Z 的左侧（或者右侧）， k -1-1 架飞机位于 Z 的右侧（或者左侧）。经过下面 2
模型求解可以证明，对于 k－1 为奇数的两种布局，它们之间是相互等效的。符 合以上结构的基我们称之为纯基（下面为了叙述的方便我们简称其为基，并且将 满足 k－1 为偶数的基称为对称基）。其余的不加限制的 k－1 架飞机成串分布在 Z 的两侧的情况构成的基称之为类基，显然类基包含了纯基的情况。有关纯基的 情况如下图所示：
设 A 为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和 n 架加油机（简称辅 机）。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的 最大航程均为 L （公里）。辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今 主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求 返回基地。
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(1)
(2)
(1) 2 送；
(2) 2 接；
(3) 1 接 1 送；
情况
1
最大距离
3/4L
k=4 时，共有 4 种可能如图所示：
(3)
2 3/4L
3（纯基） 5/6L
（1） （2）
（3）
(1) 3 送 (2) 3 接 (3) 1 接 2 送 (4) 2 接 1 送
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有较大的取值。 下面我们用 MATLAB 模拟了 k=4,5,6,7 的情况，如下图所示：
2
1.8
rn
1.6
k=3
1.4
k=4
k=5
1.2
k=6
k=7
1
0.8
rn
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
n=50
第 j 层及其以上层含有飞机总数目为 wj ，则第 j＋1 层新增飞机数目为 wj（k+1），
j＝1，2······m-1。根据该性质有：
j＝1 时 w1 ＝k
j＝2 时 w2 ＝（k－1） w1 ＋k＝ k 2
j＝3 时 w3 ＝（k－1） w2 ＋ w2 ＝（k－1） k 2 ＋ k 2 ＝ k3